隔板法、插入法、捆綁法解決組合問題

1、10.3 組合（六）教學(xué)目標(biāo): 1掌握組合數(shù)的性質(zhì)，并能應(yīng)用組合數(shù)的性質(zhì)解題.2培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用公式、性質(zhì)的能力.教學(xué)重點(diǎn): 隔板法、插入法、捆綁法解決組合問題.教學(xué)難點(diǎn): 隔板法、插入法、捆綁法.教學(xué)過程: 講授新課例1有10個(gè)相同的小球，放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)不同盒子，要求每個(gè)盒子非空，共有多少種放法？要求每個(gè)盒子放入的小球數(shù)不少于盒子的編號(hào)數(shù)，共有多少種放法？方法一:設(shè)xyz10, xyz, 其正整數(shù)解為：x8，y1，z1；x7，y2，z1；x6，y3，z1；x6，y2，z2；x5，y4，z1；x5，y3，z2；x4，y4，z2；x4，y3，z3則放法有:先將1個(gè)、2個(gè)小球分別放入第2、

2、3個(gè)盒子，再按放入每個(gè)盒子的小球數(shù) > 0，設(shè)xyz7, xyz, 其正整數(shù)解為：x5，y1，z1；x4，y2，z1；x3，y3，z1；x3，y2，z2則放法有:方法二：隔板法.如:對(duì)應(yīng): 答:練習(xí)1.某中學(xué)從高中7個(gè)班中選出12名學(xué)生組成校代表隊(duì)，參加市中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題競(jìng)賽活動(dòng)，使代表中每班至少有1人參加的選法有多少種？ 462練習(xí)2. 6人帶10瓶汽水參加春游，每人至少帶1瓶汽水，共有多少種不同的帶法？練習(xí)3.北京市某中學(xué)要把9臺(tái)型號(hào)相同的電腦送給西部地區(qū)的三所希望小學(xué)，每所小學(xué)至少得到2臺(tái)，共有 種不同送法.例2. 已知方程xyzw100，求這個(gè)方程的正整數(shù)解的組數(shù). 練習(xí)4. 已知

3、方程x1x2x350，求這個(gè)方程有多少組非負(fù)整數(shù)解.隔板法： 就是把“|”當(dāng)成隔板，把考察的對(duì)象分成若干份例3. 一座橋上有編號(hào)為1，2，3，10的十盞燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，問不同的關(guān)燈方法有多少種？ 練習(xí)5. 一條長(zhǎng)椅上有9個(gè)座位，3個(gè)人坐，若相鄰2人之間至少有2個(gè)空椅子，共有幾種不同的坐法？ 例4. 一條長(zhǎng)椅上有七個(gè)座位，四人坐，要求三個(gè)空位中有兩個(gè)空位相鄰，另一個(gè)空位與這兩個(gè)相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？ 課堂小結(jié)1. 隔板法；2. 插入法；3. 捆綁法 .捆綁法和插空法是解排列組合問題的重要方法之一，主要用于

4、解決"相鄰問題"及"不鄰問題"?？偟慕忸}原則是"相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法"。在實(shí)際公務(wù)員考試培訓(xùn)過程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)員經(jīng)常碰到這樣的困惑，就是一樣類型的題目，不過表達(dá)的形式有所變化，就很難用已解 過的題目的方法去解決它，從而降低了學(xué)習(xí)效率。下面結(jié)合有關(guān)捆綁法和插空法的不同變化形式，以實(shí)際例題詳細(xì)講解。 "相鄰問題"捆綁法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題時(shí)，先整體考慮，也就是將相鄰元素視作一個(gè)大元素進(jìn)行排序，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法注運(yùn)用捆綁法解決排列組合問題時(shí)，一定要注意“捆綁”

5、起來的大元素內(nèi)部的順序問題內(nèi)部各元素間排列順序的解題策略。 例1 若有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須站在相鄰位置，則有多少排隊(duì)方法？【解析】：題目要求A和B兩個(gè)人必須排在一起，首先將A和B兩個(gè)人"捆綁"，視其為"一個(gè)人"，也即對(duì)"A，B"、C、D、E"四個(gè)人"進(jìn)行排列，有 種排法。又因?yàn)槔壴谝黄鸬腁、B兩人也要排序，有 種排法。根據(jù)分步乘法原理，總的排法有 種。 例2 有8本不同的書；其中數(shù)學(xué)書3本，外語書2本，其它學(xué)科書3本若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起

6、的排法共有多少種(結(jié)果用數(shù)值表示) 解：把3本數(shù)學(xué)書“捆綁”在一起看成一本大書，2本外語書也“捆綁”在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個(gè)元素，共有A(5,5)種排法；又3本數(shù)學(xué)書有A(3,3)種排法，2本外語書有A(2,2)種排法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法A(5,5)A(3,3)A(2,2)=1440(種).【解析】：把3本數(shù)學(xué)書"捆綁"在一起看成一本大書，2本外語書也"捆綁"在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個(gè)元素，共有 種排法；又3本數(shù)學(xué)書有 種排法，2本外語書有 種排法；根據(jù)分步乘法原理共有排法 種。 【王永恒提示】：運(yùn)用捆綁法解決

7、排列組合問題時(shí)，一定要注意"捆綁"起來的大元素內(nèi)部的順序問題。解題過程是"先捆綁，再排列"。 6個(gè)球放進(jìn)5個(gè)盒子，有多少種不同的方法？其實(shí)，由抽屜原理可知，必然有兩個(gè)球在一起。 所以答案是 C（6, 2）X A(5,5)其實(shí) 就是6取2，與5的階乘 的積1、 有10本不同的書：其中數(shù)學(xué)書4本，外語書3本，語文書3本。若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有( )種。2、5個(gè)人站成一排，要求甲乙兩人站在一起，有多少種方法？3、6個(gè)不同的球放到5個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多少種方法？4、一臺(tái)晚會(huì)上有

8、6個(gè)演唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少不同的安排節(jié)目的順序？1、有ABCDE共5個(gè)人并排站在一起,如果AB必須相鄰,并B在A的右邊,那么不同的排法有多少種2、 將袋子里面的所有球排成一排，要求紅色的球彼此相鄰，有（    ）種方法3、將袋子里面的所有球排成一排，要求紅色的球互不相鄰，有（    ）種方法 部分題目答案：2、【解】P(5,5)×P(5,5)3、【解】P(4,4)×P(5,5)1、將袋子里面的所有球分成三組，每組至少一個(gè)，有（    

9、 ）種方法2、將袋子里面的所有球分成三組，每組恰好三個(gè)，有（     ）種方法3、將袋子里面的所有球分成至多三組，每組至少一個(gè)，有（     ）種方法4、 將袋子中的五個(gè)紅球排成一排，若要求1號(hào)球不在第一個(gè)位置，3號(hào)球不在第二個(gè)位置，5號(hào)球不在第三個(gè)位置，7號(hào)球不在第四個(gè)位置，9號(hào)球不在第五個(gè)位置，有（   ）種方法"不鄰問題"插空法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰的問題時(shí)，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問題解決的策略。 例3

10、 若有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須不站在一起，則有多少排隊(duì)方法？ 【解析】：題目要求A和B兩個(gè)人必須隔開。首先將C、D、E三個(gè)人排列，有 種排法；若排成D C E，則D、C、E"中間"和"兩端"共有四個(gè)空位置，也即是： D C E ，此時(shí)可將A、B兩人插到四個(gè)空位置中的任意兩個(gè)位置，有 種插法。由乘法原理，共有排隊(duì)方法： 。 例4 在一張節(jié)目單中原有6個(gè)節(jié)目，若保持這些節(jié)目相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去3個(gè)節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少種？ 【解析】：直接解答較為麻煩，可根據(jù)插空法去解題，故可先用一個(gè)節(jié)目去插7個(gè)空位（原來的6個(gè)節(jié)目排

11、好后，中間和兩端共有7個(gè)空位），有 種方法；再用另一個(gè)節(jié)目去插8個(gè)空位，有 種方法；用最后一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有 方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為 =504種。 例5 一條馬路上有編號(hào)為1、2、9的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？ 【解析】：若直接解答須分類討論，情況較復(fù)雜。故可把六盞亮著的燈看作六個(gè)元素，然后用不亮的三盞燈去插7個(gè)空位，共有 種方法（請(qǐng)您想想為什么不是 ），因此所有不同的關(guān)燈方法有 種。 【王永恒提示】：運(yùn)用插空法解決排列組合問題時(shí)，一定要注意插空位置包括先排好元素"中間空位&qu

12、ot;和"兩端空位"。解題過程是"先排列，再插空"。 例6 練習(xí)：一張節(jié)目表上原有3個(gè)節(jié)目，如果保持這3個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去2個(gè)新節(jié)目，有多少種安排方法？（國(guó)考2008-57） A20 B12 C6 D4 解排列組合應(yīng)用題的21種策略 排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握，實(shí)踐證明，掌握題型和解題方法，識(shí)別模式，熟練運(yùn)用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑；下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略. 1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列. 例1. 五人并排站成一排，

13、如果 必須相鄰且 在 的右邊，那么不同的排法種數(shù)有（ ） A、60種 B、48種 C、36種 D、24種 解析：把 視為一人，且 固定在 的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列， 種，選 . 2.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ） A、1440種 B、3600種 C、4820種 D、4800種 解析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為 種，再用甲乙去插6個(gè)空位有 種，不同的排法種數(shù)是 種，選 . 3.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個(gè)

14、元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法. 例3. 五人并排站成一排，如果 必須站在 的右邊（ 可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（ ） A、24種 B、60種 C、90種 D、120種 解析： 在 的右邊與 在 的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即 種，選 . 4.標(biāo)號(hào)排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成. 例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ） A、6種 B、9種 C、11種 D、23種 解析：先把1填

15、入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選 . 5.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法. 例5.（1）有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（ ） A、1260種 B、2025種 C、2520種 D、5040種 解析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有 種，選 . （2）12

16、名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案有（ ） A、 種 B、 種 C、 種 D、 種 答案： . 6.全員分配問題分組法: 例6.（1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？ 解析：把四名學(xué)生分成3組有 種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有 種，故共有 種方法. 說明：分配的元素多于對(duì)象且每一對(duì)象都有元素分配時(shí)常用先分組再分配. （2）5本不同的書，全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ） A、480種 B、240種 C、120種 D、96種 答案： . 7.名額分配問題隔板法: 例7：10個(gè)三好

17、學(xué)生名額分到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？ 解析：10個(gè)名額分到7個(gè)班級(jí)，就是把10個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成7堆，每堆至少一個(gè)，可以在10個(gè)小球的9個(gè)空位中插入6塊木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為 種. 8.限制條件的分配問題分類法: 例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？ 解析：因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況： 若甲乙都不參加，則有派遣方案 種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有

18、 方法，所以共有 ；若乙參加而甲不參加同理也有 種；若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個(gè)城市有 種，共有 方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為 種. 9.多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計(jì)數(shù)，最后總計(jì). 例9（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ） A、210種 B、300種 C、464種 D、600種 解析：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有 個(gè)， 個(gè)，合并總計(jì)300個(gè),選 . （2）從1，2，3，100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它

19、們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法（不計(jì)順序）共有多少種？ 解 析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，他們的乘積就能被7整除，將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做 共有14個(gè)元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做 共有86個(gè)元素；由此可知，從 中任取2個(gè)元素的取法有 ，從 中任取一個(gè)，又從 中任取一個(gè)共有 ，兩種情形共符合要求的取法有 種. （3）從1，2，3，100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計(jì)順序）有多少種？ 解 析：將 分成四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集 ；能被4除余1的數(shù)集 ，能被4除余2的數(shù)集 ，能被4除余3的數(shù)集 ，易見這四個(gè)集

20、合中每一個(gè)有25個(gè)元素；從 中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從 中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從 中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 種. 10.交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式 . 例10.從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？ 解析：設(shè)全集=6人中任取4人參賽的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有： 種. 11.定位問題優(yōu)先法：某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排其它的元素。 例11

21、.1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？ 解析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有 種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有 種方法；所以共有 種。. 12.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。 例12.（1）6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是（ ） A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種 解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共 種，選 . （2）8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？ 解析：看成

22、一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有 種，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有 種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有 種，故共有 種排法. 13.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法: 例13.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有 （ ） A、140種 B、80種 C、70種 D、35種 解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有 種,選. 解析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有 臺(tái),選 . 14.選排問題先取

23、后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例14.（1）四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？ 解析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有 種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有 種，故共有 種. （2）9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？ 解析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有 種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有 中排法，故共有 種. 15.部分合條件問題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求. 例15.（1）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的

24、四面體共有（ ） A、70種 B、64種 C、58種 D、52種 解析：正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成 四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有 個(gè). （2）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（ ） A、150種 B、147種 C、144種 D、141種 解析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有 種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：在四面體的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為 ，四個(gè)面共有 個(gè)；過空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)；過棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)的三角形共6個(gè).所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是 種. 16.圓排問題單排法

25、:把 個(gè)不同元素放在圓周 個(gè)無編號(hào)位置上的排列，順序（例如按順時(shí)鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計(jì)順序而首位、末位之分，下列 個(gè)普通排列： 在圓排列中只算一種，因?yàn)樾D(zhuǎn)后可以重合，故認(rèn)為相同， 個(gè)元素的圓排列數(shù)有 種.因此可將某個(gè)元素固定展成單排，其它的 元素全排列. 例16.5對(duì)姐妹站成一圈，要求每對(duì)姐妹相鄰，有多少種不同站法？ 解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有 種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式 種不同站法. 說明：從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素作圓形排列共有

26、 種不同排法. 17.可重復(fù)的排列求冪法:允許重復(fù)排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地 個(gè)不同元素排在 個(gè)不同位置的排列數(shù)有 種方法. 例17.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？ 解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有 種不同方案. 18.復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法: 例18.馬路上有編號(hào)為1，2，3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？ 解析：

27、把此問題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的燈 種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種. 說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型可使問題容易解決. 19.元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法: 例19.設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問有多少種不同的方法？ 解 析：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有 種，還剩下3個(gè)球與3個(gè)盒子序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號(hào)球與3，4，5號(hào)盒子時(shí)，3號(hào)球不能裝入

28、3號(hào)盒子，當(dāng)3號(hào)球裝入4號(hào)盒子 時(shí)，4，5號(hào)球只有1種裝法，3號(hào)球裝入5號(hào)盒子時(shí)，4，5號(hào)球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為 種. 20.復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法: 例20.（1）30030能被多少個(gè)不同偶數(shù)整除？ 解析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依題意偶因數(shù)2必取，3，5，7，11，13這5個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成成積，所有的偶因數(shù)為 個(gè). （2）正方體8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少隊(duì)異面直線？ 解析：因?yàn)樗拿骟w中僅有3對(duì)異面直線，可將問題分解成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成多少

29、個(gè)不同的四面體，從正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體有 個(gè)，所以8個(gè)頂點(diǎn)可連成的異面直線有3×58=174對(duì). 21.利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對(duì)應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題處理. 例21.（1）圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？ 解析：因?yàn)閳A的一個(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形就對(duì)應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，于是問題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不同的四邊形，顯然有 個(gè)，所以圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有 個(gè). （2）某城市的街區(qū)有12個(gè)全等的矩形組成，

30、其中實(shí)線表示馬路，從 到 的最短路徑有多少種？ 解析：可將圖中矩形的一邊叫一小段，從 到 最短路線必須走7小段，其中：向東4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要確定向東走過4段的走法，便能確定路徑，因此不同走法有 種.排列組合問題的求解策略(本周回顧）方肇飛 （歸納版） 1.計(jì)數(shù)原理：加法原理：N=n1+n2+n3+nM(分類)乘法原理：N=n1·n2·n3·nM(分步)；2. 排列（有序）與組合（無序）；排列一般為總元素中選部分，然后對(duì)選出元素進(jìn)行安排，要各得其所。（一對(duì)一）3.公式和性質(zhì)：（自己寫）4. 排列組合混合題的解題原則：先選后排，先分再

31、排。5. 排列組合題的主要解題方法：解答排列組合問題，首先必須認(rèn)真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答。同時(shí)還要注意講究一些策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法。一、合理分類與準(zhǔn)確分步法   解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，作到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。例1 、五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有（   ）A120種B96種C78種D72種 分析：由題

32、意可先安排甲，并按其分類討論：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有 種排法；2）若甲在第二，三，四位上，則有 種排法，由分類計(jì)數(shù)原理，排法共有 種，選C。二、正難反易轉(zhuǎn)化法    對(duì)于一些生疏問題或直接求解較為復(fù)雜或較為困難問題，從正面入手情況較多，不易解決，這時(shí)可從反面入手，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單問題來處理。例2、 馬路上有8只路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？分析：  關(guān)掉第1只燈的方法有6種，關(guān)第二只，第三只時(shí)需分類討論，十分復(fù)雜。若從反面入手

33、考慮，每一種關(guān)燈的方法對(duì)應(yīng)著一種滿足題設(shè)條件的亮燈與關(guān)燈的排列，于是問題轉(zhuǎn)化為“在5只亮燈的4個(gè)空中插入3只暗燈”的問題。故關(guān)燈方法種數(shù)為 。三、混合問題“先選后排”對(duì)于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列。    例 3、 4個(gè)不同小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，恰有一空盒的方法有多少種？分析：  因有一空盒，故必有一盒子放兩球。1）選：從四個(gè)球中選2個(gè)有 種，從4個(gè)盒中選3個(gè)盒有 種；2）排：把選出的2個(gè)球看作一個(gè)元素與其余2球共3個(gè)元素，對(duì)選出的3盒作全排列有 種，故所求放法有 種。四、“優(yōu)先安排法”：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，

34、再考慮其他元素. 以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.例4、 用0，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）。A24個(gè)B。30個(gè)C。40個(gè)D。60個(gè)分析由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因?yàn)?不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時(shí)，有 個(gè)，2）0不排在末尾時(shí)，則有 個(gè)，由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù) =30個(gè)，選B。五、間接法（總體淘汰法）對(duì)于含有否定字眼的問題，可以從總體中把不符合要求的除去，此時(shí)需注意不能多減，也不能少減。例如在例4中，也可用此法解答：五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的全排

35、列有 個(gè)，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要除去，故有 個(gè)偶數(shù)。六、局部問題“整體優(yōu)先法”對(duì)于局部排列問題，可先將局部看作一個(gè)元與其余元素一同排列，然后在進(jìn)行局部排列。例5、7人站成一排照相，要求甲乙兩人之間恰好隔三人的站法有多少種？分析：  甲、乙及間隔的3人組成一個(gè)“小整體”，這3人可從其余5人中選，有 種；這個(gè)“小整體”與其余2人共3個(gè)元素全排列有 種方法，它的內(nèi)部甲、乙兩人有 種站法，中間選的3人也有 種排法，故符合要求的站法共有 種。七、相鄰問題“捆綁法”對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問題，可將相鄰的元素看作一個(gè)“元”與其他元素排列，然

36、后在對(duì)“元”內(nèi)部元素排列。例6、 7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？分析： 把甲、乙、丙三人看作一個(gè)“元”，與其余4人共5個(gè)元作全排列，有 種排法，而甲乙、丙、之間又有 種排法，故共有 種排法。八、不相鄰問題“插空法”對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。例7、在例6中， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？分析： 先將其余四人排好有 種排法，再在這人之間及兩端的5個(gè)“空”中選三個(gè)位置讓甲乙丙插入，則有 種方法，這樣共有 種不同排法。九、順序固定問題用“除法”對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可

37、先把這幾個(gè)元素與其他元素一同排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例8、6個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種？分析：  不考慮附加條件，排隊(duì)方法有 種，而其中甲、乙、丙的 種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有 種。十、構(gòu)造模型 “隔板法”對(duì)于較復(fù)雜的排列問題，可通過設(shè)計(jì)另一情景，構(gòu)造一個(gè)隔板模型來解決問題。例9、  方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？分析：建立隔板模型：將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，而每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，即為a

38、,b,c,d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有 。再如 方程a+b+c+d=12非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)；三項(xiàng)式 ,四項(xiàng)式 等展開式的項(xiàng)數(shù)，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后都可用此法解。十一、分排問題“直排法”把幾個(gè)元素排成前后若干排的排列問題，若沒有其它的特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理。例10、7個(gè)人坐兩排座位，第一排3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種？分析：7個(gè)人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件，故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有 種。十二、表格法有些較復(fù)雜的問題可以通過列表使其直觀化。例11、9 人組成籃球隊(duì)，其中7人善打前鋒，3人善打后衛(wèi)，現(xiàn)從中選5人（兩衛(wèi)三鋒，且鋒分左、中、右，

39、衛(wèi)分左右）組隊(duì)出場(chǎng)，有多少種不同的組隊(duì)方法？分析：由題設(shè)知，其中有1 人既可打鋒，又可打衛(wèi)，則只會(huì)鋒的有6人，只會(huì)衛(wèi)的有2 人。列表如下：人數(shù)6人只會(huì)鋒2人只會(huì)衛(wèi)1人即鋒又衛(wèi)結(jié)果不同選法32311（衛(wèi)）221（鋒）由表知，共有 種方法。   除 了上述方法外，有時(shí)還可以通過設(shè)未知數(shù)，借助方程來解答，簡(jiǎn)單一些的問題可采用列舉法，還可以利用對(duì)稱性或整體思想來解題等等。排列組合是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn) 和難點(diǎn)之一，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)。事實(shí)上，許多概率問題也可歸結(jié)為排列組合問題。這一類問題不僅內(nèi)容抽象，解法靈活，而且解題過程極易出現(xiàn)“重復(fù)” 和“遺漏”的錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤甚至不容易檢查出

40、來，所以解題時(shí)要注意不斷積累經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)解題規(guī)律，掌握若干技巧。6. 在求解排列與組合應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)注意：(1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；(2)通過分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理；(3)用何種方法？(4)分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；(5)列出式子計(jì)算和作答.三經(jīng)常運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是：分類討論思想；轉(zhuǎn)化思想；對(duì)稱思想.7.解排列組合題的一般思路（步驟）及方法：（剛開始學(xué)時(shí)的關(guān)鍵所在，即找出框架）a、先分析事件是什么，并判斷完成這件事情是分步還是分類？如分步，則分幾步？每個(gè)步驟又分幾種情況？如分類，如何分類，在你選好某種個(gè)人分類方法后則分幾類？每類又有幾種情況？在某類

41、中是否依步進(jìn)行不了還需再分類。b、先考慮以上兩個(gè)原則，再考慮這件事情的發(fā)生有無順序，有序則排列，無序則組合；然后考慮題意，根據(jù)題意選擇用何種方法：插空法、優(yōu)先法、捆綁法、間接法、去雜法、樹形法等等；一定要確保其中無重復(fù)，無遺漏！當(dāng)然只要找準(zhǔn)套路就沒問題。  題型可由你歸納為排隊(duì)問題，數(shù)字問題和幾何問題（染色）等。要以典型例題為本來模仿！不要以為是出現(xiàn)了新問題而束手無策。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，若能把一個(gè)題的解答分析過程清楚地?cái)⑹龀鰜恚敲?，就一定?duì)該題該類都了如指掌了，這正如有的同學(xué)為什么幫別人解答了問題提高了自己。在此我希望高二（11），（12）班的同學(xué)們能夠齊心協(xié)力，按時(shí)按質(zhì)完

42、成每天的任務(wù)，不在中途落下。能把高考中的這21分拿到手。同時(shí)激發(fā)年輕人的斗志，無往不勝！牛刀小試：1、設(shè)集合M=a,b,c,d, N=a1,b1,c1, 則M到N上的映射的個(gè)數(shù)為_81_.2、現(xiàn)有6張同排連座號(hào)的電影票, 分給3名老師與3名學(xué)生, 要求師生相間而坐, 則不同的分法數(shù)為_72_.3、一名數(shù)學(xué)教師和四名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一行留影, 若老師不排在兩端, 則共有多少種不同的排法_72_.4、從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái),其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各2臺(tái), 則不同的選法有_350_.5、集合11,7,0,1,2,3,5從中每次取出3個(gè)不重復(fù)的元素作為直線Ax+By+C=0中的

43、字母A、B、C, 則斜率小于零的直線共有_70_條.6、有一個(gè)田字格，用四種不同的顔色去涂，相鄰的格子不能用同一種顏色，則有_84_種填涂方法。7、7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰, 則共有_240_排法.8、8人排成一排, 其中甲、乙、丙三人中有2人相鄰,但這3人不同時(shí)相鄰的排法有_21600_種.解答排列組合應(yīng)用題的策略（第二周回顧 ）方肇飛07.03.25解 決排列組合問題要講究策略，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列(有序)還是組合(無序)，還是排列與組合混合問題。其次，要抓住問題的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確合理地利 用兩個(gè)基本原則進(jìn)行“分類與分步”。加法原理的特征是分類解決

44、問題，分類必須滿足兩個(gè)條件：類與類必須互斥(不相容)，總類必須完備(不遺漏)；乘法 原理的特征是分步解決問題，分步必須做到步與步互相獨(dú)立，互不干擾并確保連續(xù)性。分類與分步是解決排列組合問題的最基本的思想策略，在實(shí)際操作中往往是“ 步”與“類”交叉，有機(jī)結(jié)合，可以是類中有步，也可以是步中有類。以上解題思路分析，可以用順口溜概括為：審明題意，排（組）分清；合理分類，用準(zhǔn)加乘；周密思考，防漏防重；直接間接，思路可循；元素位置，特殊先行；一題多解，檢驗(yàn)真?zhèn)?。下面?duì)幾種典型的排列組合問題進(jìn)行策略分析，擬找到解決相應(yīng)問題的有效方法。具體題目在審題時(shí)一定要明白題意，理解對(duì)了才能做對(duì)。每個(gè)字眼都要看清。如種，

45、個(gè)，相同不相同，不重復(fù)或沒提到，否則千錯(cuò)萬錯(cuò)。有的題目從不角度做有難易之分，比如從元素或位置做。一定打好基礎(chǔ)，對(duì)定義理解（可以編一個(gè)情景）才能在遇到任何題時(shí)充滿自信，進(jìn)行模仿或變通，找出做題的方法。有時(shí)需要的可能是一點(diǎn)點(diǎn)技巧，公式轉(zhuǎn)化。要有類比思想，歸一或轉(zhuǎn)化區(qū)分。一、特殊優(yōu)先，一般在后對(duì)于問題中的特殊元素、特殊位置要優(yōu)先安排。在操作時(shí)，針對(duì)實(shí)際問題，有時(shí)“元素優(yōu)先”，有時(shí)“位置優(yōu)先”。例1 0、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有幾個(gè)？練習(xí)1由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有 _個(gè)（用數(shù)字作答）。二、排組混合，先選后排對(duì)

46、于排列與組合的混合問題，宜先用組合選取元素，再進(jìn)行排列。這就是分組的作用。避免直接分配（即分步去做）行不通。例2 (95年全國(guó))4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒內(nèi)，則恰有一個(gè)空盒的放法有幾種。練習(xí)2 由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7組成有3個(gè)奇數(shù)字，2個(gè)偶數(shù)字的五位數(shù)， 數(shù)字不重復(fù)的有多少個(gè)？三、元素相鄰，整體處理對(duì)于某些元素要求相鄰排列的問題，可先將相鄰元素捆綁成整體并看作一個(gè)元素再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素進(jìn)行自排。例3 5個(gè)男生3個(gè)女生排成一列，要求女生排一起，共有幾種排法？練習(xí)3 四對(duì)兄妹站一排，每對(duì)兄妹都相鄰的站法有多少種？四、元素間隔，分位插入對(duì)于某些元素要求

47、有間隔（本質(zhì)）的排列，用插入法。不要后來放東西也認(rèn)為是插空。例45個(gè)男生3個(gè)女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法？練習(xí)4 4男4女站成一行，男女相間的站法有多少種？練習(xí)5 從1、2、10這十個(gè)數(shù)中任選三個(gè)互不相鄰的自然數(shù)，有幾種不同的取法？五、元素定序，先排后除或選位不排或先定后插對(duì)于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對(duì)其它元素進(jìn)行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。例6 5人參加百米跑，若無同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)的情況，則甲比乙先到有幾種情況？練習(xí)6 要編制一張演出節(jié)目單，6個(gè)舞蹈節(jié)目已排定順序

48、，要插入5個(gè)歌唱節(jié)目，則共有幾種插入方法？六、“小團(tuán)體”排列，先“團(tuán)體”后整體對(duì)于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先按制約條件“組團(tuán)”并視為一個(gè)元素再與其它元素排列。例7 四名男歌手與兩名女歌手聯(lián)合舉行一場(chǎng)演唱會(huì)，演出的出場(chǎng)順序要求兩名女歌手之間有兩名男歌手，則出場(chǎng)方案有幾種？練習(xí)7 6人站成一排，其中一小孩要站在爸媽之間的站法有多少種？七、不同元素進(jìn)盒，先分堆再排列對(duì)于不同的元素放入幾個(gè)不同的盒內(nèi)，當(dāng)有的盒內(nèi)有不小于2個(gè)元素時(shí)，不可分批進(jìn)入，必須先分堆再排入。例8 5個(gè)老師分配到3個(gè)班搞活動(dòng)，每班至少一個(gè)，有幾種不同的分法？練習(xí)8 有6名同學(xué)，求下列情況下的分配方法數(shù)：分給數(shù)

49、學(xué)組3人，物理組2人，化學(xué)組1人；分給數(shù)學(xué)組2人，物理組2人，化學(xué)組2人；分給數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)這三個(gè)組，其中一組3人，一組2人，一組1人；平均分成三組進(jìn)行排球訓(xùn)練。八、相同元素進(jìn)盒，用檔板分隔例9 10張參觀公園的門票分給5個(gè)班，每班至少1張，有幾種選法？練習(xí)9 從全校10個(gè)班中選12人組成排球隊(duì)，每班至少一人，有多少種選法？九、兩類元素的排列，用組合選位法例10 10級(jí)樓梯，要求7步走完，每步可跨一級(jí)，也可跨兩級(jí)，問有幾種不同的跨法？練習(xí)10 3面紅旗2面黃旗，全部升上旗桿作信號(hào)，可打出幾種不同的信號(hào)？例11 從5個(gè)班中選10人組成?；@球隊(duì)(無任何要求)，有幾種選法？十、個(gè)數(shù)不少于盒子編號(hào)數(shù)

50、，先填滿再分隔例1215個(gè)相同的球放入編號(hào)為1、2、3的盒子內(nèi)，盒內(nèi)球數(shù)不少于編號(hào)數(shù)，有幾種不同的放法？十一、多類元素組合，分類取出。例13 車間有11名工人，其中4名車工，5名鉗工，AB二人能兼做車鉗工。今需調(diào)4名車工和4名鉗工完成某一任務(wù)，問有多少種不同調(diào)法？練習(xí)11 有紅、白、蘭三色卡片各五張（都標(biāo)有代號(hào)1、2、3、4、5），若每次取出五張，要求三色齊全，各代號(hào)都有，問有多少種不同取法？練習(xí)12 在無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，能被3整除的數(shù)有多少個(gè)？十二、正難則反，間接處理對(duì)于某些排列組合問題的正面情況較復(fù)雜而其反面情況卻較簡(jiǎn)單時(shí)，可先考慮無限制條件的排列，再減去其反面情況的總數(shù)。例14 編號(hào)

51、為1、2、3、4、5的五人入座編號(hào)也為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，至多有2人對(duì)號(hào)的坐法有幾種？練習(xí)14 圖書室新到20本不同的書，某老師要借其中的5本但3本不同的字典至少留1本不借出，問有多少種不同的借法？。練習(xí)15從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有兩個(gè)面不相鄰的選法共有_種。                                   能力訓(xùn)練

52、1五個(gè)成年人和兩個(gè)小孩（一男一女）排成一排照相，要求每個(gè)小孩兩邊都是成年人，且小女孩要和其母親（五個(gè)成年人之一）排在一起，問：有多少種不同的排法？解：第一步：從其他四位成年人中選出一人和小女孩的母親排在小女孩的兩邊成“成女母”的方法數(shù)為： 。第二步：把“成女母”看成一個(gè)成年人和另外三位成年人排成一排的方法數(shù)： 第三步：把小男孩插入相應(yīng)的位置的方法數(shù)為： .滿足條件的排法數(shù)為：8×24×3=576.評(píng)注：由于小女孩最為特殊，故首先照顧小女孩，即從特殊的元素入手；小女孩必須和母親在一起，且兩邊都是成年人，故易想到用“捆”的技巧；由于小男孩必須排在兩成年人之間，故可采用“插”的技

53、巧。2編號(hào)為1.2.3n的n個(gè)人，坐到編號(hào)為1.2.3n的n把椅子上，且每個(gè)人都不對(duì)號(hào)入座的方法數(shù)記為 。求， 。解：易見： =0 , ， ，n個(gè)人坐到n把不同的椅子上的方法數(shù)為 。其中：有且僅有n個(gè)對(duì)號(hào)入座的方法數(shù)為：1.有且僅有（n-1）個(gè)人對(duì)號(hào)入座的方法數(shù)為： .有且僅有（n-2）個(gè)人對(duì)號(hào)入座的方法數(shù)為： .有且僅有（n-3）個(gè)人對(duì)號(hào)入座的方法數(shù)為： .有且僅有（n-k）個(gè)人對(duì)號(hào)入座的方法數(shù)為： .有且僅有1個(gè)人對(duì)號(hào)入座的方法數(shù)為： .有且僅有0個(gè)人對(duì)號(hào)入座的方法數(shù)為： . =1+ + + + + .令n=4可得：24=1+ + + =1+6+8+    =9.令n=

54、5可得：120=1+ + + + =1+10+20+45+ ， =44.評(píng)注：給出的問題本身就有點(diǎn)遞推數(shù)列的“味道”，故選擇遞推方法解之。在實(shí)施遞推策略的過程中，注意到問題的反面至少有一人對(duì)號(hào)入座的問題已經(jīng)解決，故又使用了“正難則反”的解題策略。從理論上講，上述給出的公式已徹底解決了n個(gè)元素對(duì)n個(gè)位置的錯(cuò)位排列問題。3：（1993年全國(guó)高考題）同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡的不同分配方式有（    ）A.6種B.9種C.11種D.23種解評(píng)：本題可轉(zhuǎn)化為：編號(hào)為：1.2.3.4的四個(gè)人坐在編號(hào)為1.2.3.4的四把椅上，

55、4人都不對(duì)號(hào)入座的方法數(shù)為多少？由例5可知： =9.故選（B）.4：4對(duì)夫妻排成一排照相，每對(duì)夫妻要排在一起的方法數(shù)為多少？解：第一步：請(qǐng)每對(duì)夫妻各自手拉手（捆）的方法數(shù)為：2×2×2×2=16.    第二步：把每對(duì)夫妻看成一個(gè)人排成一排的方法數(shù)為： .    滿足條件的排法數(shù)為：16×24=384.評(píng)注：由于每對(duì)夫妻要排在一起，故使用先捆后排的策略。54對(duì)夫妻排成前后兩排，每排4人，使每對(duì)夫妻前后對(duì)號(hào)的排法有多少種？解評(píng)：易見本題和例4是同一個(gè)問題，故方法數(shù)為384.6對(duì)夫妻排成前后兩排，每排人，使每對(duì)夫妻前后

56、都不對(duì)號(hào)的排法有多少種？解：第一步：對(duì)四對(duì)夫妻進(jìn)行重新組合，建立個(gè)新的臨時(shí)家庭，使每個(gè)家庭一男一女，但不是夫妻，由例5可知其方法數(shù)為 .第二步：對(duì)四個(gè)臨時(shí)家庭進(jìn)行排隊(duì)，由例解法可知，其方法數(shù)為384.滿足條件的排法數(shù)為：9×384=3456.評(píng)注：本題看似復(fù)雜，但利用分步計(jì)數(shù)原理可以分解為兩個(gè)小題，事實(shí)上本題可以看成是由3和例5組合并成的。牛刀小試：1.書架上原來排放著6本書，現(xiàn)要插入3本書，則不同插法的種數(shù)為（       ）。2.三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)為（       

57、; ）。3.把6件相同的商品擺成一排，第一排1件，第二排2件，第三排3件，則共有（）種不同的擺法。從，中取出個(gè)不同元素作為方程ax+by+c=0的系數(shù)，可表示出的不同直線條數(shù)為（）從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)選取個(gè)，作為四面體的頂點(diǎn)，可得到的不同四面體的個(gè)數(shù)為（）。小于50000且含有奇數(shù)個(gè)數(shù)碼的五位數(shù)共有（      ）個(gè)。7.某小組8人，現(xiàn)從男生中選3人，女生中選2人，參加語文，數(shù)學(xué)，外語三學(xué)科的單科知識(shí)競(jìng)賽，每科均不得缺賽，但不能兼報(bào)。已知共有4500種不同的參賽方案，則該小組男女生人數(shù)應(yīng)為（).8.能被3整除，且構(gòu)成每個(gè)數(shù)的數(shù)字僅限于1，2，3（但三數(shù)字可以不全用到）的小于20000的不同自然數(shù)幾個(gè)？9.某師范大學(xué)的2名男生和4名女生被分配到兩所中學(xué)作實(shí)習(xí)教師，每所中學(xué)分配1名男生和2名女生，則不同的分配方法有（ ）A6種B8種 C12種D16種10從10種不同的作物種子中選出6種放入6個(gè)不同的瓶子中展出，如果甲、乙兩種種子不能放入第1號(hào)瓶?jī)?nèi)，那么不同的放法共有（      ）11。3張一元，4張一角，一張5分，2張2分幣可組成多少種不同的幣值？（一張不取不計(jì)算在內(nèi)）12。四人從一副牌（52張），同時(shí)各抽一張牌。（1）四人抽到同一花色，有幾種抽法？   （2）四人抽到