隔板法、插入法、捆綁法解決組合問題

1、10.3 組合（六）教學(xué)目標(biāo): 1掌握組合數(shù)的性質(zhì)，并能應(yīng)用組合數(shù)的性質(zhì)解題.2培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用公式、性質(zhì)的能力.教學(xué)重點: 隔板法、插入法、捆綁法解決組合問題.教學(xué)難點: 隔板法、插入法、捆綁法.教學(xué)過程: 講授新課例1有10個相同的小球，放入編號為1、2、3的三個不同盒子，要求每個盒子非空，共有多少種放法？要求每個盒子放入的小球數(shù)不少于盒子的編號數(shù)，共有多少種放法？方法一:設(shè)xyz10, xyz, 其正整數(shù)解為：x8，y1，z1；x7，y2，z1；x6，y3，z1；x6，y2，z2；x5，y4，z1；x5，y3，z2；x4，y4，z2；x4，y3，z3則放法有:先將1個、2個小球分別放入第2、

2、3個盒子，再按放入每個盒子的小球數(shù) > 0，設(shè)xyz7, xyz, 其正整數(shù)解為：x5，y1，z1；x4，y2，z1；x3，y3，z1；x3，y2，z2則放法有:方法二：隔板法.如:對應(yīng): 答:練習(xí)1.某中學(xué)從高中7個班中選出12名學(xué)生組成校代表隊，參加市中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題競賽活動，使代表中每班至少有1人參加的選法有多少種？ 462練習(xí)2. 6人帶10瓶汽水參加春游，每人至少帶1瓶汽水，共有多少種不同的帶法？練習(xí)3.北京市某中學(xué)要把9臺型號相同的電腦送給西部地區(qū)的三所希望小學(xué)，每所小學(xué)至少得到2臺，共有 種不同送法.例2. 已知方程xyzw100，求這個方程的正整數(shù)解的組數(shù). 練習(xí)4. 已知

3、方程x1x2x350，求這個方程有多少組非負整數(shù)解.隔板法： 就是把“|”當(dāng)成隔板，把考察的對象分成若干份例3. 一座橋上有編號為1，2，3，10的十盞燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，問不同的關(guān)燈方法有多少種？ 練習(xí)5. 一條長椅上有9個座位，3個人坐，若相鄰2人之間至少有2個空椅子，共有幾種不同的坐法？ 例4. 一條長椅上有七個座位，四人坐，要求三個空位中有兩個空位相鄰，另一個空位與這兩個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？ 課堂小結(jié)1. 隔板法；2. 插入法；3. 捆綁法 .捆綁法和插空法是解排列組合問題的重要方法之一，主要用于

4、解決"相鄰問題"及"不鄰問題"。總的解題原則是"相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法"。在實際公務(wù)員考試培訓(xùn)過程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)員經(jīng)常碰到這樣的困惑，就是一樣類型的題目，不過表達的形式有所變化，就很難用已解 過的題目的方法去解決它，從而降低了學(xué)習(xí)效率。下面結(jié)合有關(guān)捆綁法和插空法的不同變化形式，以實際例題詳細講解。 "相鄰問題"捆綁法，即在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，也就是將相鄰元素視作一個大元素進行排序，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法注運用捆綁法解決排列組合問題時，一定要注意“捆綁”

5、起來的大元素內(nèi)部的順序問題內(nèi)部各元素間排列順序的解題策略。 例1 若有A、B、C、D、E五個人排隊，要求A和B兩個人必須站在相鄰位置，則有多少排隊方法？【解析】：題目要求A和B兩個人必須排在一起，首先將A和B兩個人"捆綁"，視其為"一個人"，也即對"A，B"、C、D、E"四個人"進行排列，有 種排法。又因為捆綁在一起的A、B兩人也要排序，有 種排法。根據(jù)分步乘法原理，總的排法有 種。 例2 有8本不同的書；其中數(shù)學(xué)書3本，外語書2本，其它學(xué)科書3本若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起

6、的排法共有多少種(結(jié)果用數(shù)值表示) 解：把3本數(shù)學(xué)書“捆綁”在一起看成一本大書，2本外語書也“捆綁”在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個元素，共有A(5,5)種排法；又3本數(shù)學(xué)書有A(3,3)種排法，2本外語書有A(2,2)種排法；根據(jù)分步計數(shù)原理共有排法A(5,5)A(3,3)A(2,2)=1440(種).【解析】：把3本數(shù)學(xué)書"捆綁"在一起看成一本大書，2本外語書也"捆綁"在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個元素，共有 種排法；又3本數(shù)學(xué)書有 種排法，2本外語書有 種排法；根據(jù)分步乘法原理共有排法 種。 【王永恒提示】：運用捆綁法解決

7、排列組合問題時，一定要注意"捆綁"起來的大元素內(nèi)部的順序問題。解題過程是"先捆綁，再排列"。 6個球放進5個盒子，有多少種不同的方法？其實，由抽屜原理可知，必然有兩個球在一起。 所以答案是 C（6, 2）X A(5,5)其實 就是6取2，與5的階乘 的積1、 有10本不同的書：其中數(shù)學(xué)書4本，外語書3本，語文書3本。若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有( )種。2、5個人站成一排，要求甲乙兩人站在一起，有多少種方法？3、6個不同的球放到5個不同的盒子中，要求每個盒子至少放一個球，一共有多少種方法？4、一臺晚會上有

8、6個演唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少不同的安排節(jié)目的順序？1、有ABCDE共5個人并排站在一起,如果AB必須相鄰,并B在A的右邊,那么不同的排法有多少種2、 將袋子里面的所有球排成一排，要求紅色的球彼此相鄰，有（    ）種方法3、將袋子里面的所有球排成一排，要求紅色的球互不相鄰，有（    ）種方法 部分題目答案：2、【解】P(5,5)×P(5,5)3、【解】P(4,4)×P(5,5)1、將袋子里面的所有球分成三組，每組至少一個，有（    

9、 ）種方法2、將袋子里面的所有球分成三組，每組恰好三個，有（     ）種方法3、將袋子里面的所有球分成至多三組，每組至少一個，有（     ）種方法4、 將袋子中的五個紅球排成一排，若要求1號球不在第一個位置，3號球不在第二個位置，5號球不在第三個位置，7號球不在第四個位置，9號球不在第五個位置，有（   ）種方法"不鄰問題"插空法，即在解決對于某幾個元素要求不相鄰的問題時，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問題解決的策略。 例3

10、 若有A、B、C、D、E五個人排隊，要求A和B兩個人必須不站在一起，則有多少排隊方法？ 【解析】：題目要求A和B兩個人必須隔開。首先將C、D、E三個人排列，有 種排法；若排成D C E，則D、C、E"中間"和"兩端"共有四個空位置，也即是： D C E ，此時可將A、B兩人插到四個空位置中的任意兩個位置，有 種插法。由乘法原理，共有排隊方法： 。 例4 在一張節(jié)目單中原有6個節(jié)目，若保持這些節(jié)目相對順序不變，再添加進去3個節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少種？ 【解析】：直接解答較為麻煩，可根據(jù)插空法去解題，故可先用一個節(jié)目去插7個空位（原來的6個節(jié)目排

11、好后，中間和兩端共有7個空位），有 種方法；再用另一個節(jié)目去插8個空位，有 種方法；用最后一個節(jié)目去插9個空位，有 方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為 =504種。 例5 一條馬路上有編號為1、2、9的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？ 【解析】：若直接解答須分類討論，情況較復(fù)雜。故可把六盞亮著的燈看作六個元素，然后用不亮的三盞燈去插7個空位，共有 種方法（請您想想為什么不是 ），因此所有不同的關(guān)燈方法有 種。 【王永恒提示】：運用插空法解決排列組合問題時，一定要注意插空位置包括先排好元素"中間空位&qu

12、ot;和"兩端空位"。解題過程是"先排列，再插空"。 例6 練習(xí)：一張節(jié)目表上原有3個節(jié)目，如果保持這3個節(jié)目的相對順序不變，再添加進去2個新節(jié)目，有多少種安排方法？（國考2008-57） A20 B12 C6 D4 解排列組合應(yīng)用題的21種策略 排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握，實踐證明，掌握題型和解題方法，識別模式，熟練運用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑；下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略. 1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排列. 例1. 五人并排站成一排，

13、如果 必須相鄰且 在 的右邊，那么不同的排法種數(shù)有（ ） A、60種 B、48種 C、36種 D、24種 解析：把 視為一人，且 固定在 的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列， 種，選 . 2.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ） A、1440種 B、3600種 C、4820種 D、4800種 解析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為 種，再用甲乙去插6個空位有 種，不同的排法種數(shù)是 種，選 . 3.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個

14、元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法. 例3. 五人并排站成一排，如果 必須站在 的右邊（ 可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（ ） A、24種 B、60種 C、90種 D、120種 解析： 在 的右邊與 在 的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即 種，選 . 4.標(biāo)號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成. 例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ） A、6種 B、9種 C、11種 D、23種 解析：先把1填

15、入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選 . 5.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法. 例5.（1）有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（ ） A、1260種 B、2025種 C、2520種 D、5040種 解析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有 種，選 . （2）12

16、名同學(xué)分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有（ ） A、 種 B、 種 C、 種 D、 種 答案： . 6.全員分配問題分組法: 例6.（1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？ 解析：把四名學(xué)生分成3組有 種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有 種，故共有 種方法. 說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配. （2）5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ） A、480種 B、240種 C、120種 D、96種 答案： . 7.名額分配問題隔板法: 例7：10個三好

17、學(xué)生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？ 解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為 種. 8.限制條件的分配問題分類法: 例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？ 解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況： 若甲乙都不參加，則有派遣方案 種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有

18、 方法，所以共有 ；若乙參加而甲不參加同理也有 種；若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個城市有 種，共有 方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為 種. 9.多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計數(shù)，最后總計. 例9（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ） A、210種 B、300種 C、464種 D、600種 解析：按題意，個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有 個， 個，合并總計300個,選 . （2）從1，2，3，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它

19、們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法（不計順序）共有多少種？ 解 析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做 共有14個元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做 共有86個元素；由此可知，從 中任取2個元素的取法有 ，從 中任取一個，又從 中任取一個共有 ，兩種情形共符合要求的取法有 種. （3）從1，2，3，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？ 解 析：將 分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集 ；能被4除余1的數(shù)集 ，能被4除余2的數(shù)集 ，能被4除余3的數(shù)集 ，易見這四個集

20、合中每一個有25個元素；從 中任取兩個數(shù)符合要；從 中各取一個數(shù)也符合要求；從 中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 種. 10.交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式 . 例10.從6名運動員中選出4人參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？ 解析：設(shè)全集=6人中任取4人參賽的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有： 種. 11.定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。 例11

21、.1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？ 解析：老師在中間三個位置上選一個有 種，4名同學(xué)在其余4個位置上有 種方法；所以共有 種。. 12.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。 例12.（1）6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（ ） A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種 解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共 種，選 . （2）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？ 解析：看成

22、一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有 種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有 種，其余5個元素任排5個位置上有 種，故共有 種排法. 13.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法: 例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙 型電視機各一臺，則不同的取法共有 （ ） A、140種 B、80種 C、70種 D、35種 解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有 種,選. 解析2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有 臺,選 . 14.選排問題先取

23、后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例14.（1）四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？ 解析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有 種，再排：在四個盒中每次排3個有 種，故共有 種. （2）9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？ 解析：先取男女運動員各2名，有 種，這四名運動員混和雙打練習(xí)有 中排法，故共有 種. 15.部分合條件問題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求. 例15.（1）以正方體的頂點為頂點的

24、四面體共有（ ） A、70種 B、64種 C、58種 D、52種 解析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成 四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有 個. （2）四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（ ） A、150種 B、147種 C、144種 D、141種 解析：10個點中任取4個點共有 種，其中四點共面的有三種情況：在四面體的四個面上，每面內(nèi)四點共面的情況為 ，四個面共有 個；過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；過棱上三點與對棱中點的三角形共6個.所以四點不共面的情況的種數(shù)是 種. 16.圓排問題單排法

25、:把 個不同元素放在圓周 個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之分，下列 個普通排列： 在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認為相同， 個元素的圓排列數(shù)有 種.因此可將某個元素固定展成單排，其它的 元素全排列. 例16.5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？ 解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有 種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式 種不同站法. 說明：從 個不同元素中取出 個元素作圓形排列共有

26、 種不同排法. 17.可重復(fù)的排列求冪法:允許重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地 個不同元素排在 個不同位置的排列數(shù)有 種方法. 例17.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)共有多少種不同方法？ 解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有 種不同方案. 18.復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法: 例18.馬路上有編號為1，2，3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？ 解析：

27、把此問題當(dāng)作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈 種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種. 說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決. 19.元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法: 例19.設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？ 解 析：從5個球中取出2個與盒子對號有 種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號球與3，4，5號盒子時，3號球不能裝入

28、3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子 時，4，5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4，5號球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為 種. 20.復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法: 例20.（1）30030能被多少個不同偶數(shù)整除？ 解析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依題意偶因數(shù)2必取，3，5，7，11，13這5個因數(shù)中任取若干個組成成積，所有的偶因數(shù)為 個. （2）正方體8個頂點可連成多少隊異面直線？ 解析：因為四面體中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個頂點可構(gòu)成多少

29、個不同的四面體，從正方體8個頂點中任取四個頂點構(gòu)成的四面體有 個，所以8個頂點可連成的異面直線有3×58=174對. 21.利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理. 例21.（1）圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有多少個？ 解析：因為圓的一個內(nèi)接四邊形的兩條對角線相交于圓內(nèi)一點，一個圓的內(nèi)接四邊形就對應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個交點，于是問題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10個點可以確定多少個不同的四邊形，顯然有 個，所以圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有 個. （2）某城市的街區(qū)有12個全等的矩形組成，

30、其中實線表示馬路，從 到 的最短路徑有多少種？ 解析：可將圖中矩形的一邊叫一小段，從 到 最短路線必須走7小段，其中：向東4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要確定向東走過4段的走法，便能確定路徑，因此不同走法有 種.排列組合問題的求解策略(本周回顧）方肇飛 （歸納版） 1.計數(shù)原理：加法原理：N=n1+n2+n3+nM(分類)乘法原理：N=n1·n2·n3·nM(分步)；2. 排列（有序）與組合（無序）；排列一般為總元素中選部分，然后對選出元素進行安排，要各得其所。（一對一）3.公式和性質(zhì)：（自己寫）4. 排列組合混合題的解題原則：先選后排，先分再

31、排。5. 排列組合題的主要解題方法：解答排列組合問題，首先必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運用基本原理和公式進行分析解答。同時還要注意講究一些策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法。一、合理分類與準(zhǔn)確分步法   解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素性質(zhì)進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，作到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。例1 、五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有（   ）A120種B96種C78種D72種 分析：由題

32、意可先安排甲，并按其分類討論：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有 種排法；2）若甲在第二，三，四位上，則有 種排法，由分類計數(shù)原理，排法共有 種，選C。二、正難反易轉(zhuǎn)化法    對于一些生疏問題或直接求解較為復(fù)雜或較為困難問題，從正面入手情況較多，不易解決，這時可從反面入手，將其轉(zhuǎn)化為一個簡單問題來處理。例2、 馬路上有8只路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？分析：  關(guān)掉第1只燈的方法有6種，關(guān)第二只，第三只時需分類討論，十分復(fù)雜。若從反面入手

33、考慮，每一種關(guān)燈的方法對應(yīng)著一種滿足題設(shè)條件的亮燈與關(guān)燈的排列，于是問題轉(zhuǎn)化為“在5只亮燈的4個空中插入3只暗燈”的問題。故關(guān)燈方法種數(shù)為 。三、混合問題“先選后排”對于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列。    例 3、 4個不同小球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，恰有一空盒的方法有多少種？分析：  因有一空盒，故必有一盒子放兩球。1）選：從四個球中選2個有 種，從4個盒中選3個盒有 種；2）排：把選出的2個球看作一個元素與其余2球共3個元素，對選出的3盒作全排列有 種，故所求放法有 種。四、“優(yōu)先安排法”：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，

34、再考慮其他元素. 以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.例4、 用0，2，3，4，5，五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）。A24個B。30個C。40個D。60個分析由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時，有 個，2）0不排在末尾時，則有 個，由分數(shù)計數(shù)原理，共有偶數(shù) =30個，選B。五、間接法（總體淘汰法）對于含有否定字眼的問題，可以從總體中把不符合要求的除去，此時需注意不能多減，也不能少減。例如在例4中，也可用此法解答：五個數(shù)字組成三位數(shù)的全排

35、列有 個，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要除去，故有 個偶數(shù)。六、局部問題“整體優(yōu)先法”對于局部排列問題，可先將局部看作一個元與其余元素一同排列，然后在進行局部排列。例5、7人站成一排照相，要求甲乙兩人之間恰好隔三人的站法有多少種？分析：  甲、乙及間隔的3人組成一個“小整體”，這3人可從其余5人中選，有 種；這個“小整體”與其余2人共3個元素全排列有 種方法，它的內(nèi)部甲、乙兩人有 種站法，中間選的3人也有 種排法，故符合要求的站法共有 種。七、相鄰問題“捆綁法”對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可將相鄰的元素看作一個“元”與其他元素排列，然

36、后在對“元”內(nèi)部元素排列。例6、 7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？分析： 把甲、乙、丙三人看作一個“元”，與其余4人共5個元作全排列，有 種排法，而甲乙、丙、之間又有 種排法，故共有 種排法。八、不相鄰問題“插空法”對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。例7、在例6中， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？分析： 先將其余四人排好有 種排法，再在這人之間及兩端的5個“空”中選三個位置讓甲乙丙插入，則有 種方法，這樣共有 種不同排法。九、順序固定問題用“除法”對于某幾個元素順序一定的排列問題，可

37、先把這幾個元素與其他元素一同排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)。例8、6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”順序排的排隊方法有多少種？分析：  不考慮附加條件，排隊方法有 種，而其中甲、乙、丙的 種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有 種。十、構(gòu)造模型 “隔板法”對于較復(fù)雜的排列問題，可通過設(shè)計另一情景，構(gòu)造一個隔板模型來解決問題。例9、  方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？分析：建立隔板模型：將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，而每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，即為a

38、,b,c,d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有 。再如 方程a+b+c+d=12非負整數(shù)解的個數(shù)；三項式 ,四項式 等展開式的項數(shù)，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后都可用此法解。十一、分排問題“直排法”把幾個元素排成前后若干排的排列問題，若沒有其它的特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理。例10、7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？分析：7個人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件，故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有 種。十二、表格法有些較復(fù)雜的問題可以通過列表使其直觀化。例11、9 人組成籃球隊，其中7人善打前鋒，3人善打后衛(wèi)，現(xiàn)從中選5人（兩衛(wèi)三鋒，且鋒分左、中、右，

39、衛(wèi)分左右）組隊出場，有多少種不同的組隊方法？分析：由題設(shè)知，其中有1 人既可打鋒，又可打衛(wèi)，則只會鋒的有6人，只會衛(wèi)的有2 人。列表如下：人數(shù)6人只會鋒2人只會衛(wèi)1人即鋒又衛(wèi)結(jié)果不同選法32311（衛(wèi)）221（鋒）由表知，共有 種方法。   除 了上述方法外，有時還可以通過設(shè)未知數(shù)，借助方程來解答，簡單一些的問題可采用列舉法，還可以利用對稱性或整體思想來解題等等。排列組合是高中數(shù)學(xué)的重點 和難點之一，也是進一步學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)。事實上，許多概率問題也可歸結(jié)為排列組合問題。這一類問題不僅內(nèi)容抽象，解法靈活，而且解題過程極易出現(xiàn)“重復(fù)” 和“遺漏”的錯誤，這些錯誤甚至不容易檢查出

40、來，所以解題時要注意不斷積累經(jīng)驗，總結(jié)解題規(guī)律，掌握若干技巧。6. 在求解排列與組合應(yīng)用問題時，應(yīng)注意：(1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；(2)通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；(3)用何種方法？(4)分析題目條件，避免“選取”時重復(fù)和遺漏；(5)列出式子計算和作答.三經(jīng)常運用的數(shù)學(xué)思想是：分類討論思想；轉(zhuǎn)化思想；對稱思想.7.解排列組合題的一般思路（步驟）及方法：（剛開始學(xué)時的關(guān)鍵所在，即找出框架）a、先分析事件是什么，并判斷完成這件事情是分步還是分類？如分步，則分幾步？每個步驟又分幾種情況？如分類，如何分類，在你選好某種個人分類方法后則分幾類？每類又有幾種情況？在某類

41、中是否依步進行不了還需再分類。b、先考慮以上兩個原則，再考慮這件事情的發(fā)生有無順序，有序則排列，無序則組合；然后考慮題意，根據(jù)題意選擇用何種方法：插空法、優(yōu)先法、捆綁法、間接法、去雜法、樹形法等等；一定要確保其中無重復(fù)，無遺漏！當(dāng)然只要找準(zhǔn)套路就沒問題。  題型可由你歸納為排隊問題，數(shù)字問題和幾何問題（染色）等。要以典型例題為本來模仿！不要以為是出現(xiàn)了新問題而束手無策。同學(xué)們在學(xué)習(xí)時，若能把一個題的解答分析過程清楚地敘述出來，那么，就一定對該題該類都了如指掌了，這正如有的同學(xué)為什么幫別人解答了問題提高了自己。在此我希望高二（11），（12）班的同學(xué)們能夠齊心協(xié)力，按時按質(zhì)完

42、成每天的任務(wù)，不在中途落下。能把高考中的這21分拿到手。同時激發(fā)年輕人的斗志，無往不勝！牛刀小試：1、設(shè)集合M=a,b,c,d, N=a1,b1,c1, 則M到N上的映射的個數(shù)為_81_.2、現(xiàn)有6張同排連座號的電影票, 分給3名老師與3名學(xué)生, 要求師生相間而坐, 則不同的分法數(shù)為_72_.3、一名數(shù)學(xué)教師和四名獲獎學(xué)生排成一行留影, 若老師不排在兩端, 則共有多少種不同的排法_72_.4、從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各2臺, 則不同的選法有_350_.5、集合11,7,0,1,2,3,5從中每次取出3個不重復(fù)的元素作為直線Ax+By+C=0中的

43、字母A、B、C, 則斜率小于零的直線共有_70_條.6、有一個田字格，用四種不同的顔色去涂，相鄰的格子不能用同一種顏色，則有_84_種填涂方法。7、7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰, 則共有_240_排法.8、8人排成一排, 其中甲、乙、丙三人中有2人相鄰,但這3人不同時相鄰的排法有_21600_種.解答排列組合應(yīng)用題的策略（第二周回顧 ）方肇飛07.03.25解 決排列組合問題要講究策略，首先要認真審題，弄清楚是排列(有序)還是組合(無序)，還是排列與組合混合問題。其次，要抓住問題的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確合理地利 用兩個基本原則進行“分類與分步”。加法原理的特征是分類解決

44、問題，分類必須滿足兩個條件：類與類必須互斥(不相容)，總類必須完備(不遺漏)；乘法 原理的特征是分步解決問題，分步必須做到步與步互相獨立，互不干擾并確保連續(xù)性。分類與分步是解決排列組合問題的最基本的思想策略，在實際操作中往往是“ 步”與“類”交叉，有機結(jié)合，可以是類中有步，也可以是步中有類。以上解題思路分析，可以用順口溜概括為：審明題意，排（組）分清；合理分類，用準(zhǔn)加乘；周密思考，防漏防重；直接間接，思路可循；元素位置，特殊先行；一題多解，檢驗真?zhèn)?。下面對幾種典型的排列組合問題進行策略分析，擬找到解決相應(yīng)問題的有效方法。具體題目在審題時一定要明白題意，理解對了才能做對。每個字眼都要看清。如種，

45、個，相同不相同，不重復(fù)或沒提到，否則千錯萬錯。有的題目從不角度做有難易之分，比如從元素或位置做。一定打好基礎(chǔ)，對定義理解（可以編一個情景）才能在遇到任何題時充滿自信，進行模仿或變通，找出做題的方法。有時需要的可能是一點點技巧，公式轉(zhuǎn)化。要有類比思想，歸一或轉(zhuǎn)化區(qū)分。一、特殊優(yōu)先，一般在后對于問題中的特殊元素、特殊位置要優(yōu)先安排。在操作時，針對實際問題，有時“元素優(yōu)先”，有時“位置優(yōu)先”。例1 0、2、3、4、5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有幾個？練習(xí)1由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有 _個（用數(shù)字作答）。二、排組混合，先選后排對

46、于排列與組合的混合問題，宜先用組合選取元素，再進行排列。這就是分組的作用。避免直接分配（即分步去做）行不通。例2 (95年全國)4個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒內(nèi)，則恰有一個空盒的放法有幾種。練習(xí)2 由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7組成有3個奇數(shù)字，2個偶數(shù)字的五位數(shù)， 數(shù)字不重復(fù)的有多少個？三、元素相鄰，整體處理對于某些元素要求相鄰排列的問題，可先將相鄰元素捆綁成整體并看作一個元素再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素進行自排。例3 5個男生3個女生排成一列，要求女生排一起，共有幾種排法？練習(xí)3 四對兄妹站一排，每對兄妹都相鄰的站法有多少種？四、元素間隔，分位插入對于某些元素要求

47、有間隔（本質(zhì)）的排列，用插入法。不要后來放東西也認為是插空。例45個男生3個女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法？練習(xí)4 4男4女站成一行，男女相間的站法有多少種？練習(xí)5 從1、2、10這十個數(shù)中任選三個互不相鄰的自然數(shù)，有幾種不同的取法？五、元素定序，先排后除或選位不排或先定后插對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其它元素進行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。例6 5人參加百米跑，若無同時到達終點的情況，則甲比乙先到有幾種情況？練習(xí)6 要編制一張演出節(jié)目單，6個舞蹈節(jié)目已排定順序

48、，要插入5個歌唱節(jié)目，則共有幾種插入方法？六、“小團體”排列，先“團體”后整體對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團體”時，可先按制約條件“組團”并視為一個元素再與其它元素排列。例7 四名男歌手與兩名女歌手聯(lián)合舉行一場演唱會，演出的出場順序要求兩名女歌手之間有兩名男歌手，則出場方案有幾種？練習(xí)7 6人站成一排，其中一小孩要站在爸媽之間的站法有多少種？七、不同元素進盒，先分堆再排列對于不同的元素放入幾個不同的盒內(nèi)，當(dāng)有的盒內(nèi)有不小于2個元素時，不可分批進入，必須先分堆再排入。例8 5個老師分配到3個班搞活動，每班至少一個，有幾種不同的分法？練習(xí)8 有6名同學(xué)，求下列情況下的分配方法數(shù)：分給數(shù)

49、學(xué)組3人，物理組2人，化學(xué)組1人；分給數(shù)學(xué)組2人，物理組2人，化學(xué)組2人；分給數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)這三個組，其中一組3人，一組2人，一組1人；平均分成三組進行排球訓(xùn)練。八、相同元素進盒，用檔板分隔例9 10張參觀公園的門票分給5個班，每班至少1張，有幾種選法？練習(xí)9 從全校10個班中選12人組成排球隊，每班至少一人，有多少種選法？九、兩類元素的排列，用組合選位法例10 10級樓梯，要求7步走完，每步可跨一級，也可跨兩級，問有幾種不同的跨法？練習(xí)10 3面紅旗2面黃旗，全部升上旗桿作信號，可打出幾種不同的信號？例11 從5個班中選10人組成校籃球隊(無任何要求)，有幾種選法？十、個數(shù)不少于盒子編號數(shù)

50、，先填滿再分隔例1215個相同的球放入編號為1、2、3的盒子內(nèi)，盒內(nèi)球數(shù)不少于編號數(shù)，有幾種不同的放法？十一、多類元素組合，分類取出。例13 車間有11名工人，其中4名車工，5名鉗工，AB二人能兼做車鉗工。今需調(diào)4名車工和4名鉗工完成某一任務(wù)，問有多少種不同調(diào)法？練習(xí)11 有紅、白、蘭三色卡片各五張（都標(biāo)有代號1、2、3、4、5），若每次取出五張，要求三色齊全，各代號都有，問有多少種不同取法？練習(xí)12 在無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，能被3整除的數(shù)有多少個？十二、正難則反，間接處理對于某些排列組合問題的正面情況較復(fù)雜而其反面情況卻較簡單時，可先考慮無限制條件的排列，再減去其反面情況的總數(shù)。例14 編號

51、為1、2、3、4、5的五人入座編號也為1、2、3、4、5的五個座位，至多有2人對號的坐法有幾種？練習(xí)14 圖書室新到20本不同的書，某老師要借其中的5本但3本不同的字典至少留1本不借出，問有多少種不同的借法？。練習(xí)15從正方體的6個面中選取3個面，其中有兩個面不相鄰的選法共有_種。                                   能力訓(xùn)練

52、1五個成年人和兩個小孩（一男一女）排成一排照相，要求每個小孩兩邊都是成年人，且小女孩要和其母親（五個成年人之一）排在一起，問：有多少種不同的排法？解：第一步：從其他四位成年人中選出一人和小女孩的母親排在小女孩的兩邊成“成女母”的方法數(shù)為： 。第二步：把“成女母”看成一個成年人和另外三位成年人排成一排的方法數(shù)： 第三步：把小男孩插入相應(yīng)的位置的方法數(shù)為： .滿足條件的排法數(shù)為：8×24×3=576.評注：由于小女孩最為特殊，故首先照顧小女孩，即從特殊的元素入手；小女孩必須和母親在一起，且兩邊都是成年人，故易想到用“捆”的技巧；由于小男孩必須排在兩成年人之間，故可采用“插”的技

53、巧。2編號為1.2.3n的n個人，坐到編號為1.2.3n的n把椅子上，且每個人都不對號入座的方法數(shù)記為 。求， 。解：易見： =0 , ， ，n個人坐到n把不同的椅子上的方法數(shù)為 。其中：有且僅有n個對號入座的方法數(shù)為：1.有且僅有（n-1）個人對號入座的方法數(shù)為： .有且僅有（n-2）個人對號入座的方法數(shù)為： .有且僅有（n-3）個人對號入座的方法數(shù)為： .有且僅有（n-k）個人對號入座的方法數(shù)為： .有且僅有1個人對號入座的方法數(shù)為： .有且僅有0個人對號入座的方法數(shù)為： . =1+ + + + + .令n=4可得：24=1+ + + =1+6+8+    =9.令n=

54、5可得：120=1+ + + + =1+10+20+45+ ， =44.評注：給出的問題本身就有點遞推數(shù)列的“味道”，故選擇遞推方法解之。在實施遞推策略的過程中，注意到問題的反面至少有一人對號入座的問題已經(jīng)解決，故又使用了“正難則反”的解題策略。從理論上講，上述給出的公式已徹底解決了n個元素對n個位置的錯位排列問題。3：（1993年全國高考題）同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡的不同分配方式有（    ）A.6種B.9種C.11種D.23種解評：本題可轉(zhuǎn)化為：編號為：1.2.3.4的四個人坐在編號為1.2.3.4的四把椅上，

55、4人都不對號入座的方法數(shù)為多少？由例5可知： =9.故選（B）.4：4對夫妻排成一排照相，每對夫妻要排在一起的方法數(shù)為多少？解：第一步：請每對夫妻各自手拉手（捆）的方法數(shù)為：2×2×2×2=16.    第二步：把每對夫妻看成一個人排成一排的方法數(shù)為： .    滿足條件的排法數(shù)為：16×24=384.評注：由于每對夫妻要排在一起，故使用先捆后排的策略。54對夫妻排成前后兩排，每排4人，使每對夫妻前后對號的排法有多少種？解評：易見本題和例4是同一個問題，故方法數(shù)為384.6對夫妻排成前后兩排，每排人，使每對夫妻前后

56、都不對號的排法有多少種？解：第一步：對四對夫妻進行重新組合，建立個新的臨時家庭，使每個家庭一男一女，但不是夫妻，由例5可知其方法數(shù)為 .第二步：對四個臨時家庭進行排隊，由例解法可知，其方法數(shù)為384.滿足條件的排法數(shù)為：9×384=3456.評注：本題看似復(fù)雜，但利用分步計數(shù)原理可以分解為兩個小題，事實上本題可以看成是由3和例5組合并成的。牛刀小試：1.書架上原來排放著6本書，現(xiàn)要插入3本書，則不同插法的種數(shù)為（       ）。2.三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個數(shù)為（       

57、; ）。3.把6件相同的商品擺成一排，第一排1件，第二排2件，第三排3件，則共有（）種不同的擺法。從，中取出個不同元素作為方程ax+by+c=0的系數(shù)，可表示出的不同直線條數(shù)為（）從正方體的八個頂點選取個，作為四面體的頂點，可得到的不同四面體的個數(shù)為（）。小于50000且含有奇數(shù)個數(shù)碼的五位數(shù)共有（      ）個。7.某小組8人，現(xiàn)從男生中選3人，女生中選2人，參加語文，數(shù)學(xué)，外語三學(xué)科的單科知識競賽，每科均不得缺賽，但不能兼報。已知共有4500種不同的參賽方案，則該小組男女生人數(shù)應(yīng)為（).8.能被3整除，且構(gòu)成每個數(shù)的數(shù)字僅限于1，2，3（但三數(shù)字可以不全用到）的小于20000的不同自然數(shù)幾個？9.某師范大學(xué)的2名男生和4名女生被分配到兩所中學(xué)作實習(xí)教師，每所中學(xué)分配1名男生和2名女生，則不同的分配方法有（ ）A6種B8種 C12種D16種10從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出，如果甲、乙兩種種子不能放入第1號瓶內(nèi)，那么不同的放法共有（      ）11。3張一元，4張一角，一張5分，2張2分幣可組成多少種不同的幣值？（一張不取不計算在內(nèi)）12。四人從一副牌（52張），同時各抽一張牌。（1）四人抽到同一花色，有幾種抽法？   （2）四人抽到