概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三、四章答案

1、第三章 習(xí)題參考答案 1.計(jì)算習(xí)題二第2題中隨機(jī)變量的期望值。解：由習(xí)題二第2題計(jì)算結(jié)果 得 一般對0-1分布的隨機(jī)變量有2用兩種方法計(jì)算習(xí)題二第30題中周長的期望值，一種是利用矩形長與寬的期望計(jì)算，另一種是利用周長期望的分布計(jì)算。解：方法一：先按定義計(jì)算長的數(shù)學(xué)期望 和寬的數(shù)學(xué)期望 再利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)計(jì)算周長的數(shù)學(xué)期望方法二：利用習(xí)題二地30題的計(jì)算結(jié)果(見下表)，按定義計(jì)算周長的數(shù)學(xué)期望 96 98 100 102 104 0.09 0.27 0.35 0.23 0.063.對習(xí)題二第31題，（1）計(jì)算圓半徑的期望值；（2）是否等于？（3）能否用來計(jì)算遠(yuǎn)面積的期望值，如果不能用，又該如何

2、計(jì)算？其結(jié)果是什么？解（1） （2）由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有 （3）因?yàn)?，所以不能用來?jì)算圓面積的期望值。利用隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式可求得或者由習(xí)題二第31題計(jì)算結(jié)果，按求圓面積的數(shù)學(xué)期望4 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度為 又知 ，求和的值 解 由 解得 5計(jì)算服從拉普拉斯分布的隨機(jī)變量的期望和方差（參看習(xí)題二第16題）。解 因?yàn)槠婧瘮?shù)在對稱區(qū)域的積分為零，所以，同樣由偶函數(shù)在對稱區(qū)域積分的性質(zhì)可計(jì)算或者利用函數(shù)的性質(zhì)，上式等于 6題目略解 (1)15輛車的里程均值為 (2) 記為從188輛汽車中任取一輛記錄的里程數(shù)，則的分布表如下表所示（a=188） 1030 50 70 90110130150170

3、5/a11/a16/a25/a34/a46/a33/a16/a2/a故7題目略解 記為種子甲的每公頃產(chǎn)量，為種子乙的每公頃產(chǎn)量，則8一個(gè)螺絲釘?shù)闹亓渴请S機(jī)變量，期望值10g,標(biāo)準(zhǔn)差為1g,100個(gè)一盒的同型號螺絲釘重量的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差個(gè)為多少（假設(shè)每個(gè)螺絲釘?shù)闹亓慷疾渴灼渌萁z釘重量的影響）？解 設(shè)為一盒中第個(gè)螺絲釘?shù)闹亓?則 題設(shè)條件為且相互獨(dú)立。設(shè)一盒螺絲釘?shù)闹亓繛殡S機(jī)變量，則期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為注 此題不能認(rèn)為,因?yàn)檫@意味著所有螺絲釘?shù)闹亓客耆粯?這是不符合實(shí)際情況的.因此是錯誤結(jié)果。9. 已知100個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)次品，求任意取出的5個(gè)產(chǎn)品中次品數(shù)的期望值。解 設(shè)為5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)，

4、則的分布率為 于是期望值為 10一批零件中有9個(gè)合格品和3個(gè)廢品，在安裝機(jī)器時(shí)，從這些零件中任取1個(gè)，如果取出的是廢品就不再放回去。求在取得合格品以前，已經(jīng)取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。解 設(shè)為取得合格品之前取出的廢品數(shù)，則服從如下表所示的分布，于是 012311.假定每人生日在各個(gè)月份的機(jī)會是同樣的，求3個(gè)人中生日在第1個(gè)季度的平均人數(shù)。解 設(shè)3人中生日在第1季度的人數(shù)為，則的分布律為 故平均人數(shù)為 12有分布函數(shù)，求解 的密度函數(shù)為 或者利用伽馬函數(shù)的性質(zhì)13，求和解 由奇函數(shù)在對稱區(qū)間的積分為零知 或者 于是 = 14計(jì)算習(xí)題二第22題中的期望與方差。解 由習(xí)題二第33題求得的分布可求得

5、其數(shù)學(xué)期望和方差 15計(jì)算習(xí)題二第23題中的期望與方差。解 由習(xí)題二第34題求得的分布可求得其數(shù)學(xué)期望和方差 16如果獨(dú)立，不求出的分布，直接從的分布和的分布能否計(jì)算出，怎樣計(jì)算？解 由與獨(dú)立，知與獨(dú)立，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有 故 17.隨機(jī)變量是另一個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù),并且,若存在,求證對于任何實(shí)數(shù)都有.證明：不妨設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為，注意到當(dāng)時(shí)，有，于是若為離散型隨機(jī)變量，則將推倒的積分換成級數(shù)求和同樣成立。18證明事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)的方差不超過1/4.證明 設(shè)為一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則服從0-1分布，則 而函數(shù)在上的最大值為，故19證明對于任何常數(shù)c,隨機(jī)變量有 證明 因?yàn)?/p>

6、 所以兩式的差為 或者 20的聯(lián)合概率密度為，計(jì)算它們的協(xié)方差解 先求的邊緣密度函數(shù)由知相互獨(dú)立,故不相關(guān),即 21.計(jì)算習(xí)題二第22題的協(xié)方差。解 由習(xí)題二第22題的計(jì)算結(jié)果可列出其聯(lián)合分布和邊緣分布表(見下表)，于是 1 1 1 0 1/3 1/3 2 1/3 1/3 2/3 1/3 2/322.計(jì)算習(xí)題二第23題的相關(guān)系數(shù)。解 習(xí)題二第23題求出的分布表（見下表），可求得 0 1/3 1 -1 0 1/12 1/3 5/12 0 1/6 0 0 2/12 2 5/12 0 0 5/12 7/12 1/12 4/1223的聯(lián)合概率分布如下表所示，計(jì)算的相關(guān)系數(shù)， 并判斷是否獨(dú)立？ -1 0

7、 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8解 的聯(lián)合分布和邊緣分布如下表所示 -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 3/8 0 1/8 0 1/8 2/8 1 1/8 1/8 1/8 3/8 3/8 2/8 3/8但，知不相互獨(dú)立。24兩個(gè)隨機(jī)變量與，已知,計(jì)算 與.解 第四章習(xí)題解答（參考答案）1.若每次射擊靶的概率為0.7，求射擊10炮，命中三炮的概率，至少命中3炮的概率，最可能命中幾炮。解: 記射擊10炮的命中次數(shù)為,則,所求概率為 最可能的命中炮數(shù)為炮.2.在一定條件下生產(chǎn)某種產(chǎn)品的廢品率為0.01,求生產(chǎn)10件產(chǎn)品中廢品數(shù)不超過2個(gè)的

8、概率.解 記廢品數(shù)為，則，所求概率為 3某車間有20臺同型號機(jī)床，每臺機(jī)車開動的概率為0.8，若假定各機(jī)床是否開動彼此獨(dú)立，每臺機(jī)車開動時(shí)所消耗的電能為15個(gè)單位，求這個(gè)車間消耗電能不少于270個(gè)單位的概率。解 設(shè)20臺機(jī)床中有臺開動，則，所求概率為 4從一批廢品率為0.1的產(chǎn)品中，重復(fù)抽取20個(gè)進(jìn)行檢查，求這20個(gè)產(chǎn)品中廢品率不大于0.1的概率。解 設(shè)為20個(gè)產(chǎn)品中廢品的個(gè)數(shù)，則，所求概率為 5生產(chǎn)某種產(chǎn)品的廢品率為0.1，抽取20件產(chǎn)品，初步檢查已發(fā)現(xiàn)2件廢品，問這20件中，廢品不少于3件的概率.解 設(shè)為20件產(chǎn)品中廢品的個(gè)數(shù)，則，所求概率為 6拋擲4顆正六面體的骰子，為出現(xiàn)么點(diǎn)的骰子數(shù)目

9、，求的概率分布，以及出現(xiàn)么點(diǎn)的骰子的最可能值.解 設(shè)為4 顆骰子中出現(xiàn)么點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則 ，即有分布律 其分布函數(shù)為 的最可能值為 7事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為0.3,進(jìn)行19次獨(dú)立試驗(yàn)，求（1）出現(xiàn)次數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差；（2）最可能出現(xiàn)的次數(shù)。解 設(shè)為19次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，則，故可求得（1） (2）的最可能值=（因?yàn)槭钦麛?shù)）8已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布, , 求和解 題設(shè)條件為，且 由此解出 9某柜臺上有4個(gè)售貨員，并預(yù)備了兩個(gè)臺秤，若每個(gè)售貨員在一小時(shí)內(nèi)平均有15分鐘時(shí)間使用臺秤，求在一天10小時(shí)內(nèi)，平均有多少時(shí)間臺秤不夠用。解 按題設(shè)條件可認(rèn)為在任何時(shí)間每個(gè)售貨員都以的概率使用臺秤，設(shè)為任

10、何時(shí)刻要用臺秤的售貨員人數(shù)，則，于是任何時(shí)刻臺秤不夠用的概率為 這個(gè)結(jié)果也可以解釋為營業(yè)時(shí)間內(nèi)5%的時(shí)間臺秤不夠用，故10個(gè)小時(shí)內(nèi)大約有半小時(shí)秤不夠用。10已知試驗(yàn)的成功率為，進(jìn)行4重貝努里試驗(yàn)，計(jì)算在沒有全部失敗的情況下，試驗(yàn)成功不止一次的概率.解 設(shè)為4次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則，所求概率為 11服從參數(shù)為2，的二項(xiàng)分布，已知 =5/9，那么成功率為的4重貝努里試驗(yàn)中至少有一次成功的概率是多少？解 由題設(shè)條件和，可解出，再設(shè)，則所求概率為 12一批產(chǎn)品20個(gè)中有5個(gè)廢品，任意抽取4個(gè)，求廢品數(shù)不多于2個(gè)的概率。解 設(shè)為所取的4個(gè)廢品的個(gè)數(shù)，則服從參數(shù)N=20,M=5,n=4的超幾何分布，所求概

11、率為 13如果產(chǎn)品是大批的，從中抽取的數(shù)目不大時(shí)，則廢品數(shù)的分布可以近似用二項(xiàng)分布公式計(jì)算。試將下例用兩個(gè)公式計(jì)算，并比較其結(jié)果。產(chǎn)品的廢品率為0.1,從1000個(gè)產(chǎn)品中任意抽取3個(gè)，求廢品數(shù)為1個(gè)的概率。解 記為所取3個(gè)產(chǎn)品中的廢品數(shù)。(1)設(shè)服從參數(shù)為N=1000,M=100,n=3的超幾何分布,則所求概率為 (2)若，則所求概率為 兩者的差異僅為0.00046.14. 從一副撲克牌（52張）中發(fā)出5張,求其中黑桃張數(shù)的概率分布 解 設(shè)為5張中黑桃的張數(shù)，由題意知服從N=52,M=13,n=5的超幾何分布，即 由此分布律可列出分布表（見下） 0 1 2 3 4 5 p0.2215 0.41

12、14 0.27450.08150.01070.000515. 從大批發(fā)芽率為0.8的種子中，任取10粒，求發(fā)芽數(shù)不少于8例的概率。解 記為10粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)，則，所求概率為 16一批產(chǎn)品的廢品率為0.001，用普哇松分布公式求800件產(chǎn)品中廢品為2件的概率，以及不超過2件的概率。解 記為800件產(chǎn)品中的廢品數(shù),則，由于很大，很小，故可用普哇松公式計(jì)算本題概率17某種產(chǎn)品表面上的疵點(diǎn)數(shù)服從普哇松分布，平均一件上有0.8個(gè)疵點(diǎn)，若規(guī)定疵點(diǎn)數(shù)不超過1個(gè)為一等品，價(jià)值10元，疵點(diǎn)數(shù)大于1而不多于4為二等品，價(jià)值8元，4個(gè)以上為廢品。求產(chǎn)品為廢品的概率以及產(chǎn)品的平均價(jià)值。解 產(chǎn)品上的疵點(diǎn)數(shù)為，則，且，產(chǎn)品為廢品的概率為 再設(shè)產(chǎn)品的價(jià)值為，則的分布律為 故產(chǎn)品的平均價(jià)值