廣東省廣州市2013屆高三元月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)理試題

1、試卷類型：A 廣州市2013屆高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試 數(shù) 學(xué)（理 科） 2013.1 本試卷共4頁，21小題， 滿分150分考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要

2、求作答的答案無效.4作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答.漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無效.5考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)ii對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象限B 第二象限C第三象限 D第四象限2已知集合，集合，則 A B C D3已知函數(shù), 則的值是 A B C D 4.設(shè)向量，則“”是“/”的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件5函數(shù)的圖象向右平移單位后與函數(shù)的圖象重合，則的解析式是 A

3、B C D6已知四棱錐的三視圖如圖1所示，則四棱錐的四個(gè)側(cè)面中面積最大的是A B C D7在區(qū)間和分別取一個(gè)數(shù),記為, 則方程表示焦點(diǎn)在軸上且離心率小于的橢圓的概率為 A B C D 8在R上定義運(yùn)算若對(duì)任意，不等式都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A BC D二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分開始輸出結(jié)束圖2是否（一）必做題（913題）9. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為 .10.若的展開式的常數(shù)項(xiàng)為84，則的值為 .11.若直線是曲線的切線，則實(shí)數(shù)的值為 . 12.圓上到直線的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 _ .13.圖2是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的值是 .（二）選做題

4、（1415題，考生只能從中選做一題）14.（幾何證明選講選做題） 如圖3，已知是的一條弦，點(diǎn)為上一點(diǎn)，交于，若，則的長(zhǎng)是 15（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題）已知圓的參數(shù)方程為為參數(shù)), 以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為, 則直線截圓所得的弦長(zhǎng)是 .三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16.（本小題滿分12分） 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是,且.(1) 求的值； (2) 求的值. 17.（本小題滿分12分）某市四所中學(xué)報(bào)名參加某高校今年自主招生的學(xué)生人數(shù)如下表所示：中學(xué) 人數(shù) 為了了解參加考試的學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，該高校采用分層抽樣的方

5、法從報(bào)名參加考試的四所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取50名參加問卷調(diào)查.（1）問四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？（2）從參加問卷調(diào)查的名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生來自同一所中學(xué)的概率；（3）在參加問卷調(diào)查的名學(xué)生中，從來自兩所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，用表示抽得中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求的分布列.18. （本小題滿分14分）如圖4,已知四棱錐，底面是正方形，面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn),連接,.(1) 求證：面；（2）若,，求二面角的余弦值.19.（本小題滿分14分）如圖5, 已知拋物線，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與交于點(diǎn).(1) 求點(diǎn)的軌跡方程；(2) 求四邊形的面積的最小值. 圖520.（本小題滿分1

6、4分） 在數(shù)和之間插入個(gè)實(shí)數(shù),使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這個(gè)數(shù)的乘積記為,令,N.(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)求.21.（本小題滿分14分）若函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)，均有，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平緩函數(shù)”. (1) 判斷和是不是實(shí)數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”，并說明理由；(2) 若數(shù)列對(duì)所有的正整數(shù)都有 ，設(shè), 求證： .廣州市2013屆高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試 數(shù)學(xué)（理科）試題解析 2013-1-9一、選擇題1. A分析：，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限2. D分析：，3. B分析：，4. A分析：當(dāng)時(shí)，有，解得； 所以，但，故“”是“”的充分不必要條件5. B分析：逆推法，將的圖象向左平移個(gè)單位即得的圖象，即

7、6. C分析：三棱錐如圖所示， ， ，7. B分析：方程表示焦點(diǎn)在軸且離心率小于的橢圓時(shí)，有 ，即，化簡(jiǎn)得，又，畫出滿足不等式組的平面區(qū)域，如右圖陰影部分所示，求得陰影部分的面積為，故8. C分析：由題意得，故不等式化為， 化簡(jiǎn)得， 故原題等價(jià)于在上恒成立，由二次函數(shù)圖象，其對(duì)稱軸為，討論得 或 ，解得 或 ，綜上可得二、填空題9.分析：方法一、（基本量法）由得，即 ，化簡(jiǎn)得，故方法二、等差數(shù)列中由可將化為，即，故10.分析：，令，得其常數(shù)項(xiàng)為，即，解得11.分析：設(shè)切點(diǎn)為 ，由得，故切線方程為，整理得，與比較得，解得，故12. 分析：圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為，其圓心坐標(biāo)，半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式

8、得圓心到直線的距離，由右圖所示，圓上到直線的距離為的點(diǎn)有4個(gè)13.分析：由題意， ， ， ；以上共503行，輸出的 14.分析：如圖，因?yàn)?，所以是弦中點(diǎn)，由相交弦定理知， 即，故15. 分析：圓的參數(shù)方程化為平面直角坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程化為平面直角坐標(biāo)方程為，如右圖所示，圓心到直線的距離，故圓截直線所得的弦長(zhǎng)為三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16.（本小題滿分12分）（本小題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系、正弦定理、二倍角、兩角差的余弦等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力）（1）解:,依據(jù)正弦定理得:, 1分即,解得. 3

9、分(2)解:， . 4分 . 5分, 6分 . 7分,. 8分 9分 10分 . 12分17（本小題滿分12分）（本小題主要考查分層抽樣、概率、離散型隨機(jī)變量的分布列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理、推理論證、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)，以及或然與必然的數(shù)學(xué)思想）（1）解：由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參加該高校今年自主招生的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名， 抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為. 應(yīng)從四所中學(xué)抽取的學(xué)生人數(shù)分別為. 4分（2）解：設(shè)“從參加問卷調(diào)查的名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，這兩名學(xué)生來自同一所中學(xué)”為事件，從參加問卷調(diào)查的名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的取法共有C種， 5分這兩名學(xué)生來自同一所中學(xué)的取法共有CCC

10、C. 6分.答：從參加問卷調(diào)查的名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生來自同一所中學(xué)的概率為. 7分(3) 解：由（1）知，在參加問卷調(diào)查的名學(xué)生中，來自兩所中學(xué)的學(xué)生人數(shù)分別為. 依題意得，的可能取值為， 8分 ， ，. 11分 的分布列為： 12分 18（本小題滿分14分）（本小題主要考查空間線面位置關(guān)系、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象、推理論證、抽象概括和運(yùn)算求解能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法）（1）證法1：取的中點(diǎn)，連接， 點(diǎn)是的中點(diǎn), . 1分 點(diǎn)是的中點(diǎn)，底面是正方形， . 2分 . 四邊形是平行四邊形. . 3分 平面，平面， 面. 4分證法2：連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接

11、， 點(diǎn)是的中點(diǎn)， , 1分 點(diǎn)是的中點(diǎn). 2分點(diǎn)是的中點(diǎn), . 3分 面，平面， 面. 4分證法3：取的中點(diǎn)，連接， 點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn), ，. 面，平面， 面. 1分 面，平面， 面. 2分 ，平面，平面， 平面面. 3分 平面， 面. 4分（2）解法1：，面， 面. 5分 面， . 6分 過作，垂足為，連接， ，面，面， 面. 7分 面， . 8分 是二面角的平面角. 9分 在Rt中，,，得， 10分 在Rt中，得， . 11分 在Rt中， 12分 . 13分 二面角的余弦值為. 14分解法2：，面， 面.在Rt中，,，得， 5分以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建

12、立空間直角坐標(biāo)系， 6分則.，. 8分設(shè)平面的法向量為，由，得令，得，.是平面的一個(gè)法向量. 11分又是平面的一個(gè)法向量， 12分. 13分二面角的余弦值為. 14分19. （本小題滿分14分）（本小題主要考查拋物線、求曲線的軌跡、均值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)）解法一:（1）解：設(shè)， ， 是線段的中點(diǎn). 2分 ， 3分 . 4分 ， . . 5分 依題意知， . 6分把、代入得：，即. 7分點(diǎn)的軌跡方程為. 8分 (2)解：依題意得四邊形是矩形， 四邊形的面積為 9分 . 11分，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立， 12

13、分. 13分四邊形的面積的最小值為. 14分解法二:(1)解:依題意,知直線的斜率存在,設(shè)直線的斜率為, 由于,則直線的斜率為. 1分 故直線的方程為,直線的方程為. 由 消去,得. 解得或. 2分 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 3分 同理得點(diǎn)的坐標(biāo)為. 4分 ， 是線段的中點(diǎn). 5分 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為, 則 6分 消去,得. 7分點(diǎn)的軌跡方程為. 8分(2)解：依題意得四邊形是矩形， 四邊形的面積為 9分 10分 11分 . 12分當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立. 13分四邊形的面積的最小值為. 14分20. （本小題滿分14分）（本小題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的前項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特

14、殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力）(1)解法1:設(shè)構(gòu)成等比數(shù)列,其中,依題意, 1分 , 2分由于, 3分得. 4分,. 5分, 6分?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列. 7分. 8分解法2: 設(shè)構(gòu)成等比數(shù)列,其中,公比為, 則,即. 1分 依題意,得 2分 3分 4分 . 5分, 6分?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列. 7分. 8分(2)解: 由(1)得, 9分, 10分,N. 11分 . 14分21.(本小題滿分14分)（本小題主要考查函數(shù)、絕對(duì)值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)）(1) 解：是R上的“平緩函