數(shù)學錯解的主要類型及例析

1、數(shù)學錯解的主要類型及例析北白象鎮(zhèn)中學孫建克【內(nèi)容提要】解數(shù)學題時，如果概念、定義理解不清；定理、公式、法則不注意它的適用范 r；方法、技巧不考慮它的使用條件，那么在解題中就必定要出現(xiàn)判斷錯誤，就會產(chǎn)生數(shù)學 錯解。本文通過闡明產(chǎn)生數(shù)學錯解的原因及相關的典型例題分析，得出數(shù)學錯解的主要七大 類型。旨在幫助同學們總結(jié)經(jīng)驗教訓，防止今后再發(fā)生類似錯誤?！娟P鍵詞語】數(shù)學解題 數(shù)學錯解 錯解原因 錯解類型 錯解例題學習數(shù)學必須解題。當今著名的數(shù)學家、教育家gu波利亞指出：掌握數(shù)學就是意味著 解題。解答數(shù)學問題離不開概念、定義、定理、公式、法則以及方法、技巧等等，如果概念、 定義理解不清；定理、公式、法則不

2、注意它的適用范i韋i;方法、技巧不考慮它的使用條件, 那么在解題中就必定要出現(xiàn)判斷錯誤。這實際上就是違背了數(shù)學學科的“科學性、嚴密性和 完整性”。因此從廣義上理解凡是違背此"三性”的解題過程及結(jié)果統(tǒng)稱為數(shù)學題的錯解， 簡稱數(shù)學錯解（本文簡稱“錯解”）。學習數(shù)學的過程中，出現(xiàn)一些解題失誤是不可避免的。常言說'失敗乃成功之母”，“錯 誤往往是正確的先導”，對同學們來說，重要的是如何正確對待自己的失誤。一道題做錯了， 首先要認真分析錯在哪里，其次要反省自己為什么會出現(xiàn)這種錯誤，從中找出原因，吸取教 訓，防止今后再發(fā)生類似錯誤。下面結(jié)合本人的教學實踐和經(jīng)驗從七方面論述錯解原因、錯 解

3、例題和錯解類型，以供同學們參考。一、模糊數(shù)學概念產(chǎn)生錯解屮學數(shù)學教學大綱屮指岀：“正確理解數(shù)學概念是掌握基礎知識的前提”這表明了數(shù)學 概念在學習中的重要性。然而，不少同學對此認識不足，認為基本概念單調(diào)乏味沒什么好學 的，因此學習吋不求甚解輕易放過。這樣勢必造成對某些概念只知其表不知其里；只重形式, 不重實質(zhì)；摸棱兩可，似是而非。正是如此而在解題中常常暴露出這樣那樣的差錯。下面的 例子可以說明問題。4例1兀為何值時，分式 的值是正整數(shù)。x + 2x +14錯解 要使分式 的值是正整數(shù)，只要它的分母的值為1、2、4即可。x2 +2x + l當x2 +2 + 1 = 1 時，求得x = 0, 2；當

4、 x2 + 2x +1 = 2 時，求得 x = -± v2 ；當 x2 + 2x +1 = 4時，求得x = 1, 3 o所以，只當x分別取0, -2, -1 + v2 , -1-v2, 1, 一3等實數(shù)時，分式 + 2x + 1的值是正整數(shù)。分析 取x = -l-代入原分式中，得出該分式的值為就是正整數(shù)。這說明原解答不完整,3述有遺漏。其失誤原因在于混淆“整數(shù)整除”與“兩個實數(shù)相除得整數(shù)”這兩個概念。原題.4并沒有要求分母f+2兀+ 1是整數(shù)，因此，只要令 =n （斤是自然數(shù)）再求出兀 j + 2x +1的x值就完整了。則 x2+2x+1- = 0 n正解令=71(z7是任意自然

5、數(shù))f + 2x + 1解得，x=_n±2麻(nw n)n_ +7廠所以，當兀=一"一 7" (mn)時，原分式的值是正整數(shù)。n二、混淆充要條件產(chǎn)生錯解一道數(shù)學題一般地可分為題設和結(jié)論兩部分，解題常從兩方面考慮：一是從已知條件出 發(fā)，結(jié)合學過的定義、定理、公式、法則等基礎知識，通過演算和推理得到結(jié)論；另一方面 也可以從結(jié)論出發(fā)逆推至題設條件。不論從已知出發(fā)還是從結(jié)論出發(fā)，在進行推理、演算過 程中，必須吋刻留心每一步的依據(jù)是什么，理由是否充分或必要，尤其逆推吋要注意步步可 逆，即注意條件的充要性。倘若在推理過程中忽視或混淆了條件所允許的范圍，這就可能造 成失誤。比如

6、下面的例題就可以說明此問題。x-3b = ,求話+丄的值。 ct錯解 由已知可得是方程x2-3x-= 0的兩個根。所以，由韋達定理知：d + /? = 3, cih = 1于是,ci b a" +/?' (a + b)(a + b)- 3ab 3x|3" 3x (1) b1 a2 («/?)2(ab(-1)2分析 方程_3x_ 1=0的判別式的值是13,故它有兩相異實根。若a, b是該方程的兩個根，則除了有a2-3a = , b2-3b = 成立外，還有ah這個隱含條件。因為已知條件屮沒有告訴我們afb,所以“ /_3a = i,嚴一3b = ”僅僅是“a

7、, b是方程x2-3x- 1 =()的兩個根”的必要條件而不是充分條件。上述解答中將必要條件當做充分條 件使用，結(jié)果無形屮縮小了已知條件屮a, b所能允許的取值范圍，從而導致其結(jié)論不完整。正解 (1)當a#b時，結(jié)合已知條件可知g, b是方程x2-3x- 1=0的兩個根。所以，由韋達定理知：a +/? = 3, cih = 1 o于是,(a + b)(a + b)2 -3ab3x33x(-1)當x"呼時,a h(3)當“"呼時,三、忽視隱含條件產(chǎn)生錯解有些數(shù)學題目除了給出的明顯條件外，常常在題設或題斷的字里行間或式子中隱藏著 某些事實，我們稱這樣的暗藏事實為隱含條件。隱含條

8、件在解題中容易被忽視，其后杲輕則 得出結(jié)論有漏洞，重則面目全非。數(shù)學題目中的隱含條件的反映形式是多種多樣的，通?？?以從概念定義中的某些特殊規(guī)定、公式定理法則和性質(zhì)中的某些特定限制、題忖的結(jié)構特征 和數(shù)字圖形特征等四個方面來挖掘。例3就是忽視概念定義屮的隱含條件而產(chǎn)生錯解的。例3將中根號外的因式q移至根號內(nèi)。錯解 d j = j 6t = ycl o分析上述錯解誤把q當做非負因式移到根號內(nèi)。實際上本題中包含著兩個隱含條件: “二次根號下的被開方式為非負數(shù)”和“分式的分母不為零”，故有-丄>0得d<0,應先 a將q變?yōu)?(-。)，再將正因式移到根號內(nèi)。正解 * > 0 , .*

9、 6/ < 0 o 因此，aj = _(_a) j = _j (。)_ = jd o av ci a a四、遺漏添加條件產(chǎn)生錯解有些同學在解題時不考慮題給條件是否都用上了或者不考慮所用條件是否都是題目屮 給定的(含隱含條件)，表現(xiàn)在解題吋常常遺漏某個條件限制或隨意地憑主觀想象外加一些 條件，其后果必然是出現(xiàn)偏差甚至答案完全錯誤。請看例4和例5。例4非負數(shù)x, y, z適合關系式蘭二1 =上二2二斗，求/+ 2_z?的最小值。432x 1 v 2 z + 3錯解 令二二=k,則x = 4k + l, y = 3r + 2, z = 2k 3°432"設 u = x2 +

10、 y2 - z2 9則 w = (4fe +1)2 + (3k + 2)2 一(2k 3尸=21/ + 32k 4 = 21伙 + 罟尸 一 16善。164所以當k = 時，wmin =-16o21 m,n 21分析 題冃中給的兀，y, z是非負數(shù)這個條件在解題中被遺漏，因此的取值范闔被擴 大化，造成結(jié)論完全錯誤。正解 當?shù)贸龊攵?1伙+蘭)2-16土時，應繼續(xù)討論e的取值范圍。21 21x = 4zr + l>03因為兀，y, z都是非負數(shù)，所以y = 3k + 2>0k>-., 2z = 2k-3>q因此,當 k =-時,u. =21(- + )2-16= 91-(

11、此時 x = 7,y = 6-,z = 0)2 min 2212142例5加取什么實數(shù)時，方程2（m + l）x2-4/?u + 3/7?-2 = 0有實數(shù)根?錯解 要使方程2（/77 + l）x2- 4mx + 3加- 2 = 0有實數(shù)根,必須+解之，得一 2 < m < _ 1或一 is加51。 = (4m) 4 2(m + l)(3m - 2) > 0所以，當-2 < m < -1或一 1 < m < 1時，原方程有實數(shù)根。分析 題設中并沒有說方程2（加+ l）x2 -+ 3m-2 = 0是一元二次方程，而上述解答屮卻添加了 “原方程是二次方程”

12、這個條件，因此得到不完整的結(jié)論。正解 分兩步討論。當原方程為二次方程時，要使它有實根，可推出-2 < m < -1或 -1 < m < 1 ；當m = 一1時，原方程化為4兀一 5 = 0,顯然它有實根。綜上所述，當一2 < m < 1 時，原方程有實數(shù)根。五、亂套公式定理產(chǎn)生錯解解一道數(shù)學題常常要用上某些公式和定理，因為每一個公式、定理都只在一定條件下 成立的，它們的適用范圍是有條件限制的。如果運用它們解題時不顧及該公式、定理的條件 和適用范圍，而是機械地套用，其結(jié)果往往是貌合神離，發(fā)生差錯。例6若£±2 = 2±£

13、二土斗，戦的值。 z x y錯解（兀+y）+（y+z）+（z+x）二土*（等比定理）譏=2（兀+y+ 2 x+y+zy兀+y+z分析等比定理的條件之一是若干相等的比的后項和不能為零。運用等比定理解題時, 如果忽視這個條件，十有八九要岀差錯，上述解法就犯此病。正解 當x+y+zo時，依等比定理可求得k =兀 + y = -z, 當兀+y + z = 0時，由已知條件知x, y , z都不為0,此時對得：y + z =-兀, z + x 二一y,=2+z =£+x=_k 此時 k：綜上所述，k = 2 或鳥=一1。 z x y六、錯犯以偏概全產(chǎn)生錯解某些數(shù)學題的題設條件包含著多種不同的情

14、況。如果是證明題，必須證明在題設條件 的所有可能的情況下，命題的結(jié)論都成立；如果是計算求解題，必須考慮在題設條件的所有 各種可能的情況下進行求解。倘若只考慮題設條件屮的某些特殊情況下進行論證或計算求 解，那么從邏輯上看，就是犯了 “以偏概全”的錯誤。例7從圓的直徑的一端a引兩弦ap. aq,過點b引這圓的切線和直線ap,aq分別交于m , n點、。求證：zmpn = zmqn錯解如圖7-1,連結(jié)pq, pb。因為ab是口0的直徑，zapb = 90°。又因為mn是口 0的切線， zpmb = zpba = zpqa。因此，p、m、n、q四點共圓。a圖7-1所以zmpn = amqn

15、o (證畢)分析 由題設“從圓的直徑ab的一端a引兩眩ap. aq-可有如下兩種情形：其一,分居于的兩側(cè)，如圖7-1；其二，位于的同側(cè)，如圖7-2o上述證明只證其一，而且其理由 還不完全適用于第二種情形。因此，上述證明犯了 “以偏概全”的錯誤。正解可采用分情形分別證z,而后綜述結(jié)論正確。下面給岀兩種情形的一致證明方法，可省去一些麻煩。如圖7-1和圖7-2,連結(jié)pq, pb。因為43是口 0的直徑zap3 = 90°。又 mn 切 口0 于 b, /. zabm = 90° o所以3p是rtabm斜邊上的高。于是有 ap.am =ab2.圖7-2同理有 aq-an = ab

16、a apam = aq-ano故p、m、n、q四點共圓。所以zmpn = zmqn七、引用循環(huán)論證產(chǎn)生錯解在推理論證過程屮，如果直接或間接地利用要證明的結(jié)論作為推理論證的前提，這樣 的證明方法在邏輯上稱為“循環(huán)論證”。循環(huán)論證常常表現(xiàn)為以待證命題自身或者它的等價 命題為依據(jù)來證明待證命題。例 8 已知：在 abc 中，ac = 2ab , za = 2zc。求證：zb = 90° sin c =ab _ 1ac2 zc = 30 或 150二 za = 2zc ,/. zc = 30 , za = 2x30 =60/. zb = 180 -(za + zc) = 90分析 上述證明的

17、第一步就已承認了為，其實就已用上作為推理的依據(jù)。這是明顯地 用待證結(jié)論作為依據(jù)去推理論證待證結(jié)論，犯了循環(huán)論證的錯誤。正解如圖&2, ac = 2ab ,ac > ab.zabc > zc。作z1 = zc,邊bd交ac于d, 則 cd = db. zadb = zc + z1 = 2zc = za ab = bd , cd = ab。故 b d = da = ab.于是，aabq為等邊三角形。 za = 60 = 2zc, zc = 30 zb = 90 o以上介紹了七種常見的解題毛病，應當指出它們之間并非嚴格的劃分，從不同的角度 審視，可能會得出不同的錯解類型。比如是同一種錯解，既可以劃入“亂套公式定理”類型 又可劃入“混淆充要條件”類型，或者還可劃入其它類型，甚至更多類型等等。此外，同學 們在解題中還可能犯其它毛病。比如“審題馬虎，歪曲題意”“某字某詞理解錯誤”“忽視某 種特例”等等引出差錯，這里不一一例舉。學習數(shù)學，解題是中心。在解決大量的數(shù)學問題中，要做到完全不出差錯是不可能的。 但是，要求自己盡量避免出現(xiàn)差錯卻是共同的愿望。怎樣才能在解題過程中少出差錯呢？借 鑒一些經(jīng)驗教訓是很好的學習捷徑！以上提到的七種