(完整word版)四年級(jí)奧數(shù)舉一反三第33343536周之速算與巧算三行程問題二容斥原理二進(jìn)制

1、33343536 周之速算與巧算三行程問題二容斥原理二進(jìn)制速算與巧算(三)專題簡(jiǎn)析：這一周， 我們來學(xué)習(xí)一些比較復(fù)雜的用湊整法和分解法等方法進(jìn)行的乘除的巧算。這些計(jì)算從表面上看似乎不能巧算，而如果把已知數(shù)適當(dāng)分解或轉(zhuǎn)化就可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。對(duì)于一些較復(fù)雜的計(jì)算題我們要善于從整體上把握特征， 通過對(duì)已知數(shù)適當(dāng)?shù)姆纸夂妥冃危页鰯?shù)據(jù)及算式間的聯(lián)系，靈活地運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算定律和性質(zhì)，從而使復(fù)雜的計(jì)算過程簡(jiǎn)化。例 1:計(jì)算 236 X37 X27分析與解答： 在乘除法的計(jì)算過程中， 除了常常要將因數(shù)和除數(shù) “湊 整” ，有時(shí)為了便于口算，還要將一些算式湊成特殊的數(shù)。236 X37 X27=236 X (37

2、 X3X9)=236 X (111 X9)=236 X999=236 X (1000 1)=236000 236=235764練習(xí)一計(jì)算下面各題：315 X77 X136666 x132 X37 X27 6666例 2:計(jì)算 333 X334 + 999 X222分析與解答：表面上，這道題不能用乘除法的運(yùn)算定律、性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，但只要對(duì)數(shù)據(jù)作適當(dāng)變形即可簡(jiǎn)算。333 X334 + 999 X222=333 X334 + 333 X (3 X222 )=333 X (334 +666)=333 X1000=333000練習(xí)二計(jì)算下面各題：9999 X2222 + 3333 X333437 X1

3、8 + 27 X4246 X28 +24 X63例 3:計(jì)算 20012001 X2002 - 20022002 X2001分析與解答：這道題如果直接計(jì)算，顯得比較麻煩。根據(jù)題中的數(shù)的特點(diǎn)，如果把 20012001 變形為2001 X10001 ,把20022002變形為2002 X10001 ,那么計(jì)算起來就非常方便。20012001 X2002 - 20022002 X2001=2001 X10001 X2002 -2002 X10001 X2001=0練習(xí)三計(jì)算下面各題：1, 192192 X368 - 368368 X1922, 19931993 X1994 19941994 X199

4、33, 9990999 X3998 59975997 X66630例 4 ：不用筆算，請(qǐng)你指出下面哪個(gè)得數(shù)大。163 X167164 X166分析與解答： 仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)， 第二個(gè)算式中的兩個(gè)因數(shù)分別與第一個(gè)算式中的兩個(gè)因數(shù)相差 1 ，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，可以把題中的數(shù)據(jù)作適當(dāng)變形，再利用乘法分配律，然后進(jìn)行比較就方便了。163 X167164 X166=163 x (166 +1 )= (163 +1 ) X166=163 X166+ 163=163 X166 +166所以，163 X167 <164 X166練習(xí)四1 ，不用筆算，比較下面每道題中兩個(gè)積的大小。(1) 242 X248 與

5、 243 X247(2) A=987654321 X123456789B=987654322 X1234567882,計(jì)算：8353 X363 8354 X362例 5: 888 881993 個(gè) 8 X999 991993 個(gè) 9的積是多少？分析 將 999 991993 個(gè) 9變形為 “ 100 01993 個(gè) 01 ” ，然后利用乘法分配律來進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。888 - 881993 個(gè) 8 X999 991993 個(gè) 9=888 881993 個(gè) 8 X (100 01993 個(gè) 0 1)=888 881993 個(gè) 8000 01993 個(gè) 0 888 881993 個(gè)8=888 8819

6、93 個(gè) 8111 11992 個(gè) 12練習(xí)五1, 666 -62001 個(gè) 6999 92001 個(gè) 9的積是多少？2 , 999 91988 個(gè) 9 X999 91988 個(gè) 9 + 1999 91988個(gè) 9 的末尾有多少個(gè)0 ？3, 999 91992 個(gè) 9 X999 TiggZ 個(gè) 9 + 1999 91992個(gè) 9 的末尾有多少個(gè)0 ？行程問題（二）專題簡(jiǎn)析：行船問題是指在流水中的一種特殊的行程問題，它也有路程、速度與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系。因此， 它比一般行程問題多了一個(gè)水速。在靜水中行船，單位時(shí)間內(nèi)所行的路程叫船速，逆水的速度叫逆水速度，順?biāo)滦械乃俣冉许標(biāo)俣?。船在水中漂流，?/p>

7、借助其他外力只順?biāo)校?單位時(shí)間內(nèi)所走的路程叫水流速度， 簡(jiǎn)稱水速。行船問題與一般行程問題相比， 除了用速度、 時(shí)間和路程之間的關(guān)系外，還有如下的特殊數(shù)量關(guān)系：順?biāo)俣? 船速水速逆水速度= 船速水速（順?biāo)俣?逆水速度）+ 2=船速（順?biāo)俣饶嫠俣龋? 2=水速例 1 ：貨車和客車同時(shí)從東西兩地相向而行，貨車每小時(shí)行48 千米，客車每小時(shí)行42 千米，兩車在距中點(diǎn) 18 千米處相遇。東西兩地相距多少千米？分析與解答：由條件“貨車每小時(shí)行48 千米，客車每小時(shí)行42 千米” 可知貨、 客車的速度和是48 42=90 千米。 由于貨車比客車速度快，當(dāng)貨車過中點(diǎn) 18 千米時(shí)，客車距中點(diǎn)還有1

8、8 千米，因此貨車比客車多行18 X2=36千米。因?yàn)樨涇嚸啃r(shí)比客車多行48 42=6千米，這樣貨車多行36千米需要36y=6小時(shí)，即兩 車相遇的時(shí)間。所以，兩地相距 90 X6=540千米。練習(xí)一1 ，甲、乙兩人同時(shí)分別從兩地騎車相向而行，甲每小時(shí)行20千米，乙每小時(shí)行18 千米。兩人相遇時(shí)距全程中點(diǎn) 3 千米，求全程長(zhǎng)多少千米。2 ，甲、乙兩輛汽車同時(shí)從東西兩城相向開出，甲車每小時(shí)行60 千米，乙車每小時(shí)行56 千米，兩車在距中點(diǎn) 16 千米處相遇。東西兩城相距多少千米？3 ，快車和慢車同時(shí)從南北兩地相對(duì)開出，已知快車每小時(shí)行40 千米， 經(jīng)過 3 小時(shí)后， 快車已駛過中點(diǎn) 25 千米，

9、 這時(shí)慢車還相距 7 千米。慢車每小時(shí)行多少千米？例 2 ：甲、乙、丙三人步行的速度分別是每分鐘30 米、 40 米、 50米，甲、乙在A 地，而丙在B 地同時(shí)出發(fā)相向而行，丙遇乙后 10分鐘和甲相遇。 A 、 B 兩地間的路長(zhǎng)多少米？分析與解答： 從圖中可以看出，丙和乙相遇后又經(jīng)過10 分鐘和甲相遇，10分鐘內(nèi)甲丙兩人共行（30 +50） X 10=800 米。這800 米就是乙、丙相遇比甲多行的路程。乙每分鐘比甲多行40 30=10米，現(xiàn)在乙比甲多行800米，也就是行了 80+10=80分鐘。 因此，AB兩地間的路程為（50 + 40） X80=7200米。練習(xí)二1 ，甲每分鐘走75 米，

10、乙每分鐘走80 米，丙每分鐘走100米，甲、乙從東鎮(zhèn)，丙人西鎮(zhèn)，同時(shí)相向出發(fā)，丙遇到乙后 3 分鐘再遇到甲。求兩鎮(zhèn)之間相距多少米？2 ，有三輛客車，甲、乙兩車從東站，丙車從西站同時(shí)相向而行， 甲車每分鐘行1000 米，乙車每分鐘行800 米， 丙車每分鐘行700 米。 丙車遇到甲車后 20 分鐘又遇到乙車。 求東西兩站的距離。3 ，甲、乙、丙三人，甲每分鐘走60 米，乙每分鐘走67 米，丙每分鐘走73 米。甲、乙從南鎮(zhèn)，丙從北鎮(zhèn)同時(shí)相向而行，丙遇乙后 10 分鐘遇到甲。求兩鎮(zhèn)相距多少千米。例 3 ：甲、 乙兩港間的水路長(zhǎng)286 千米，一只船從甲港開往乙港順?biāo)?11 小時(shí)到達(dá)；從乙港返回甲港，逆

11、水13 小時(shí)到達(dá)。求船在靜水中的速度（即船速）和水流速度（即水速） 。分析與解答： 要求船速和水速， 要先求出順?biāo)俣群湍嫠俣?，而順?biāo)俣瓤砂葱谐虇栴}的一般數(shù)量關(guān)系求，即：路程+順?biāo)畷r(shí)間=順?biāo)俣?，路?逆水時(shí)間=逆水速度。因此，順?biāo)俣仁?86 +11=26千米，逆水速度是286 +13=22千米。所以，船在靜水中每小時(shí)行（ 26 + 22） +2=24千米，水流速度是每小時(shí)（26 22） +2=2千米。練習(xí)三1 ， A 、 B 兩港間的水路長(zhǎng)208 千米。 一只船從 A 港開往 B 港，順?biāo)?8 小時(shí)到達(dá)； 從 B 港返回 A 港，逆水 13 小時(shí)到達(dá)。求船在靜水中的速度和水流速度。2

12、，甲、乙兩港間水路長(zhǎng)432 千米，一只船從上游甲港航行到下游乙港需要18 小時(shí)，從乙港返回甲港，需要24 小時(shí)到達(dá)。求船在靜水中的速度和水流速度。3 ，甲、乙兩城相距6000 千米，一架飛機(jī)從甲城飛往乙城，順風(fēng) 4 小時(shí)到達(dá)； 從乙城返回甲城， 逆風(fēng) 5 小時(shí)到達(dá)。 求這架飛機(jī)的速度和風(fēng)速。例 4 ： 一只輪船從上海港開往武漢港， 順流而下每小時(shí)行25 千米，返回時(shí)逆流而上用了 75 小時(shí)。已知這段航道的水流是每小時(shí) 5 千米，求上海港與武漢港相距多少千米？分析與解答： 先根據(jù)順?biāo)俣群退?，可求船速為每小時(shí)25 5=20 千米； 再根據(jù)船速和水速， 可求出逆水速度為每小時(shí)行20 5=15 千

13、米。又已知“逆流而上用了 75 小時(shí)” ，所以，上海港與武漢港相距15X75=1125千米。練習(xí)四1 , 一只輪船從A港開往B港，順流而下每小時(shí)行20千米，返回時(shí)逆流而上用了 60 小時(shí)。已知這段航道的水流是每小時(shí) 4 千米，求 A 港到 B 港相距多少千米？2 ，一只輪船從甲碼頭開往乙碼頭，逆流每小時(shí)行15 千米，返回時(shí)順流而下用了 18 小時(shí)。已知這段航道的水流是每小時(shí) 3 千米，求甲、乙兩個(gè)碼頭間水路長(zhǎng)多少千米？3 ，某輪船在相距216 千米的兩個(gè)港口間往返運(yùn)送貨物，已知輪船在靜水中每小時(shí)行21 千米，兩個(gè)港口間的水流速度是每小時(shí)3 千米，那么，這只輪船往返一次需要多少時(shí)間？例 5 ：

14、A 、 B 兩個(gè)碼頭之間的水路長(zhǎng)80 千米，甲船順流而下需要4小時(shí)，逆流而上需要10 小時(shí)。如果乙船順流而行需要5 小時(shí)，那么乙船在靜水中的速度是多少？分析與解答：雖然甲、乙兩船的船速不同，但都在同一條水路上行駛，所以水速相同。根據(jù)題意，甲船順?biāo)啃r(shí)行 80+4=20 千米，逆水每小時(shí)行 80+10=8千米，因此，水速為每小時(shí)（20-8） +2=6千米。又由“乙船順流而行80千米需要5小時(shí)”，可求乙船在順?biāo)忻啃r(shí)行80代=16千米。所以，乙船在靜水中每小時(shí)行 166=10 千米。練習(xí)五1 ，甲乙兩個(gè)碼頭間的水路長(zhǎng)288 千米，貨船順流而下需要8小時(shí)，逆流而上需要16 小時(shí)。如果客船順流而下

15、需要12 小時(shí)，那么客船在靜水中的速度是多少？2 ， A 、 B 兩個(gè)碼頭間的水路全長(zhǎng)80 千米，甲船順流而下需要4 小時(shí)，逆流而上需要10 小時(shí)。如果乙船逆流而上需要20 小時(shí)，那么乙船在靜水中的速度是多少？3, 一條長(zhǎng)160千米的水路，甲船順流而下需要 8小時(shí)，逆流而上需要20小時(shí)。如果乙船順流而下要10小時(shí)，那么乙船逆流 而上需要多少小時(shí)？容斥原理專題簡(jiǎn)析：容斥問題涉及到一個(gè)重要原理一一包含與排除原理， 也叫容斥 原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它 們的和中排除重復(fù)部分。容斥原理：對(duì)n個(gè)事物，如果采用不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，按性質(zhì) a 分類與性質(zhì)b分類（如圖），那么具有性

16、質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè) 數(shù)=N a+Nb Nabo例1: 一個(gè)班有48人，班主任在班會(huì)上問：“誰做完語文作業(yè)？請(qǐng)舉手！ ”有37人舉手。又問：“誰做完數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手！ ”有42人舉手。最后問： “誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)。分析 完成語文作業(yè)的有 37 人，完成數(shù)學(xué)作業(yè)的有42 人，一共有 37 42=79 人，多于全班人數(shù)。這是因?yàn)檎Z文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計(jì)做完語文作業(yè)的人數(shù)時(shí)算過一次， 在統(tǒng)計(jì)做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)時(shí)又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個(gè)班語文、數(shù)作業(yè)都完成的有： 79 48=31 人。練習(xí)一1 、五年級(jí)有122 名學(xué)

17、生參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績(jī)。 其中語文成績(jī)優(yōu)秀的有65 人， 數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？2 、四年級(jí)一班有54 人，訂閱小學(xué)生優(yōu)秀作文和數(shù)學(xué)大世界兩種讀物的有13 人，訂小學(xué)生優(yōu)秀作文的有45 人，每人至少訂一種讀物，訂數(shù)學(xué)大世界的有多少人？3 、 學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂器， 已知會(huì)拉手風(fēng)琴的有 24人，會(huì)彈電子琴的有 17 人，其中兩種樂器都會(huì)演奏的有8 人。這個(gè)文藝組一共有多少人？例 2 ： 某班有 36 個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中， 答對(duì)第一題的有25 人， 答對(duì)第二題的有23 人，兩題都答對(duì)的有15 人。問多少個(gè)同學(xué)兩題都答得不對(duì)？分析與

18、解答： 已知答對(duì)第一題的有25 人， 兩題都答對(duì)的有15人，可以求出只答對(duì)第一題的有25 15=10 人。又已知答對(duì)第二題的有 23 人，用只答對(duì)第一題的人數(shù)，加上答對(duì)第二題的人數(shù)就得到至少有一題答對(duì)的人數(shù)： 10 23=33 人。所以，兩題都答得不對(duì)的有 3633=3 人。練習(xí)二1 ，五（ 1 ）班有 40 個(gè)學(xué)生，其中 25 人參加數(shù)學(xué)小組， 23 人參加科技小組，有 19 人兩個(gè)小組都參加了。那么，有多少人兩個(gè)小組都沒有參加？2 ，一個(gè)班有55 名學(xué)生，訂閱小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)的有32 人，訂閱中國(guó)少年報(bào)的有29 人，兩種報(bào)紙都訂閱的有25 人。兩種報(bào)紙都沒有訂閱的有多少人？3 ，某校選出 50

19、 名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽，結(jié)果3人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)了，有27 人兩項(xiàng)比賽都沒有獲獎(jiǎng)。已知作文比賽獲獎(jiǎng)的有14 人，問數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有多少人？例 3 ： 某班有 56 人， 參加語文競(jìng)賽的有 28 人， 參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27 人，如果兩科都沒有參加的有25 人，那么同時(shí)參加語文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的有多少人？分析與解答： 要求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)， 應(yīng)先求出至少參加一科競(jìng)賽的人數(shù)： 56 25=31 人，再求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)： 2827 31=24 人。練習(xí)三1 ，一個(gè)旅行社有36 人，其中會(huì)英語的有24 人，會(huì)法語的有18 人，兩樣都不會(huì)的有4 人。兩樣都會(huì)的有多少人？2 ，一個(gè)俱樂部

20、有103 人，其中會(huì)下中國(guó)象棋的有 69 人，會(huì)下國(guó)際象棋的有52 人，這兩種棋都不會(huì)下的有12 人。問這兩種棋都會(huì)下的有多少人？3 ， 三年級(jí)一班參加合唱隊(duì)的有40 人， 參加舞蹈隊(duì)的有20 人，既參加合唱隊(duì)又參加舞蹈隊(duì)的有14 人。 這兩隊(duì)都沒有參加的有10人。請(qǐng)算一算，這個(gè)班共有多少人？例 4：在 1 到 100 的自然數(shù)中，既不是5 的倍數(shù)也不是6 的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？分析與解答：從1 到 100 的自然數(shù)中，減去5 或 6 的倍數(shù)的個(gè)數(shù)。從1到100的自然數(shù)中，5的倍數(shù)有100 +5=20個(gè)，6的 倍數(shù)有16個(gè)(100y=16 4),其中既是5的倍數(shù)又是6的倍 數(shù)(即5和6的公倍數(shù))

21、的數(shù)有3個(gè)(100 +30= 310)。因止匕 是 6 或 5 的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是16 203=33 個(gè)，既不是5 的倍數(shù)又不是 6 的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是： 100 33=67 個(gè)。練習(xí)四1 ， 在 1 到 200 的全部自然數(shù)中， 既不是 5 的倍數(shù)又不是8 的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？2， 在 1 到 130 的全部自然數(shù)中， 既不是 6 的倍數(shù)又不是5 的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？3 ，五( 1 )班做廣播操，全班排成 4 行，每行的人數(shù)相等。小華排的位置是： 從前面數(shù)第 5 個(gè)， 從后面數(shù)第 8 個(gè)。 這個(gè)班共有多少個(gè)學(xué)生？例 5 ：光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有

22、24 幅不是五年級(jí)的，有22 幅不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的書法作品共有10 幅，其他年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？分析與解答：由題意知， 24 幅作品是一、二、三、四、六年級(jí)參展作品的總數(shù)， 22 幅是一、二、三、四、五年級(jí)參展作品的總數(shù)。 24 22=46 幅，這是一個(gè)五、六年級(jí)和兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展的作品數(shù)，從其中去掉五、六兩個(gè)年級(jí)共參展的 10 幅作品，即得到兩個(gè)一、二、 三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)， 再除以 2 ，即可求出其他年級(jí)參展作品的總數(shù)。(24+22 10) +2=18幅。練習(xí)五1 ， 科技節(jié)那天， 學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品，其中有 110 件不是一年

23、級(jí)的，有100 件不是二年級(jí)的，一、二年級(jí)參展的作品共有32 件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件？2 ，六（ 1 ）兒童節(jié)那天，學(xué)校的畫廊里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫作品，其中有25 幅畫不是三年級(jí)的，有19 幅畫不是四年級(jí)的，三、四兩個(gè)年級(jí)參展的畫共有8 幅。其他年級(jí)參展的畫共有多少幅？3 ，實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)生書法展，學(xué)校的櫥窗里展出每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有28 幅不是五年級(jí)的，有24 幅不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的書法作品共有20 幅。一、二年級(jí)參展的作品總數(shù)比三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)少4 幅。一、二年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？二進(jìn)制題簡(jiǎn)析：二進(jìn)制就是只用 0 和 1 兩數(shù)字， 在計(jì)數(shù)

24、與計(jì)算時(shí)必須 “滿二進(jìn)一” ，即每?jī)蓚€(gè)相同的單位組成一個(gè)和它相鄰的最高的單位。二進(jìn)制的最大特點(diǎn)是：每個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上只有0 或只有 1兩種狀態(tài)。二進(jìn)制與十進(jìn)制之間可以互相轉(zhuǎn)化。1 ，將一個(gè)二進(jìn)制數(shù)寫成十進(jìn)制數(shù)的步驟是： （ 1 ）將二進(jìn)制數(shù)的各數(shù)位上數(shù)字改寫成相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)； （ 2 ） 將各數(shù)位上對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)求和， 所得結(jié)果就是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。 將十進(jìn)制數(shù)改寫成二進(jìn)制數(shù)的過程，正好相反。2 ， 十進(jìn)制數(shù)改寫成二進(jìn)制數(shù)的常用方法是： 除以二倒取余數(shù)。3 ，二進(jìn)制數(shù)的計(jì)算法則：（1）加法法則： 00=00 1=11 0=11 1=10（2）乘法法則：0X0=00X1=01X0=01X1=1例 1 ：把二進(jìn)制數(shù)110 （ 2 ） 改寫成十進(jìn)制數(shù)。分析與解答：十進(jìn)制有兩個(gè)特點(diǎn)： （ 1 ）它有十個(gè)不同的數(shù)字符號(hào)； （2）滿十進(jìn) 1 。二進(jìn)制有兩個(gè)特點(diǎn)： （1）它的數(shù)值部分，只需用兩個(gè)數(shù)碼0 和 1 來表示；（ 2 ）它是“滿二進(jìn)一”。把二進(jìn)制數(shù)110 （2 ） 改寫成十進(jìn)制