數(shù)學(xué)模型資料[僅供參考]

1、數(shù)學(xué)模型復(fù)習(xí)資料第一部分（簡答題）1. 敘述模型和數(shù)學(xué)模型的概念，并舉例說明.（1）模型是指為了某個特定的目的將原型的某一部分信息簡縮、提煉而構(gòu)造的原型替代物。（2）對某一實(shí)際問題應(yīng)川數(shù)學(xué)語言和方法，通過抽象、簡化、假設(shè)等對這一實(shí)際問題近 似刻劃所得的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),稱為此實(shí)際問題的一個數(shù)學(xué)模型.2. 為出數(shù)學(xué)建模過程流程圖;數(shù)學(xué)建模過程流程圖為:3. 建立數(shù)學(xué)模型的呈本步驟有哪些？1. 模型準(zhǔn)備（背景、h的、現(xiàn)象、數(shù)據(jù)、特征）2. 模型假設(shè)（合理性、簡化性.但過份簡單、過份詳細(xì)都不對，或反映不了原問題或無法表達(dá)模型,要充分發(fā)揮想象力、洞察力、判斷力，不斷修改或補(bǔ)充假設(shè)）3. 模型構(gòu)成（建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

2、）4. 模型求解（包括推理、證明、數(shù)學(xué)地或數(shù)值地求解）5. 模型分析（數(shù)學(xué)意義分析、合理性分析、誤差分析、靈敏性分析）6. 模型檢驗(yàn)（接受實(shí)際檢驗(yàn)、往往在假設(shè)上）7. 模型應(yīng)用（取決于建模的1=1的）4. 寫出5個數(shù)學(xué)模型按照應(yīng)用領(lǐng)域分類的模型名稱.'人口模型 交通模型 環(huán)境模型（污染模型）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類數(shù)學(xué)模型 < 生態(tài)模型城鎮(zhèn)規(guī)劃模型 水資源模型 再牛資源利用模型5. 寫出5個按照建立數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)方法分類的模型名稱.初等數(shù)學(xué)模型 幾何模型微分方程模型按建模的數(shù)學(xué)方法分類數(shù)學(xué)模型圖論模型組合數(shù)學(xué)模型 概率模型 規(guī)劃論模型6. 寫出5個數(shù)學(xué)模型按照建模目的分類的模型名稱.

3、描述模型分析模型按建模目的來分類數(shù)學(xué)模型預(yù)報模糧優(yōu)化模型決策模型控制模型7. 長方形椅子擺放問題、人口問題(習(xí)題8)、習(xí)題9. 這些以小題形式出現(xiàn)(1) 椅子擺放問題認(rèn)真看書，要知道模型的假設(shè)和模型。(6-7頁)(2) 人口問題也要知道模型是怎么建的，兩種模型，指數(shù)增長和阻滯增長(9-13頁)(3) 習(xí)題8和習(xí)題9的解答過程如下(考小題，這里大家要理解是如何做的)(23頁)8假定人口的增長服從這樣的規(guī)律：時刻的人口為兀(/),單位時間內(nèi)人口的增量與- %(/)成正比(其中無”為最大容量)試建立模型并求解作出解的圖形并與指數(shù)增長模 型、阻滯增長模型的結(jié)果比較.解：現(xiàn)考察某地區(qū)的人口數(shù)，記時刻/的

4、人口數(shù)為?！?(般?！?是很大的整數(shù))，且 設(shè)兀(/)為連續(xù)可微函數(shù).又設(shè)兀(/) 1/=0=心任給時刻r及時間增量因?yàn)閱挝粫r間內(nèi)人 口增長量與幾-x(t)成正比，假設(shè)其比例系數(shù)為常數(shù)廠.則f到f + ar內(nèi)人口的增量為：x(/ + az)-x(r) = r(xm 一 x(r)az.兩邊除以a/,并令&t0,得到空 “x -x)< dt k /n ) 解為 x(r) = xw-(xwj-xo)兀(0) = x0如圖實(shí)線所示,第二天的行程?？捎们€(ii), (i)或反面思考.試盡可能迅速冋答下血問題：(1) 某甲早8： 00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5： 00到達(dá)山頂并

5、留宿. 次日早8： 00沿同一路徑下山，下午5： 00冋到旅丿占.某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng) 過路徑中的同一地點(diǎn)為什么？(2) 37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭奪賽，每輪比賽中岀場的每兩支球隊(duì)中的勝者及輪空者 進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束.問共需進(jìn)行多少場比賽，共需進(jìn)行多少輪比賽如果是支球隊(duì) 比賽呢？解(1)方法一：以時間f為橫朋標(biāo)，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐特榭v朋標(biāo)，笫一天的行程x(f)可用曲線(i)表示，(ii)是連續(xù)曲線必有交點(diǎn)ph。,蘇), 兩天都在0時刻經(jīng)過d°地點(diǎn).方法二：設(shè)想有兩個人，人上山，一人下山，同一天同時出發(fā)，沿同一路徑，必定相遇.方法三：我們以山下旅丿占為始點(diǎn)

6、記路程，設(shè)從山下旅丿占到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為/(/)(即i時刻 走的路程為/(/),同樣設(shè)從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為g(/),并設(shè)山下旅店到山頂?shù)木嚯x為 a (a >0)由題意知：/=0,/(17) = a , g(8) = a, g(17) = 0 令 h(t) = f(t) - g(t), 則有a(8) = /(8)-g(8) = -a<0, /?(17) = /*(17)_g(17) = a>0,由于/(/), g(r)都是 吋間z的連續(xù)函數(shù)，因此力也是吋i'可/的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，引° “8,17, 使力(0)= 0 '即 /(0)

7、= g(，0)(2) 36場比賽，因?yàn)槌谲婈?duì)外，每隊(duì)都負(fù)一場；6輪比賽，因?yàn)?隊(duì)賽1輪，4隊(duì)賽2 輪，32隊(duì)賽5輪.斤隊(duì)需賽n 1場，若2'-1 <n< 2k ,則需賽r輪.8. 傳染病模型、戰(zhàn)爭模型、厲室模型、軍備競賽模型.傳染病模型(三個)見課本【136頁(5)式，137頁(9)式，139頁(14)式】戰(zhàn)爭模型見課本【148頁(1)式，149頁(3)式150頁(8) (9)式】房室模型見課本【154頁(3)式】軍備競賽模型見課本181頁(1)式，軍備競賽模型要能夠計算它的平衡點(diǎn)181頁(2)式-182 頁(3) (4) (5)式。9. 層次分析模型(寫出層次結(jié)構(gòu)圖、層

8、次分析步驟等).這里給出兩個例子：層次分析模型大家要能夠根據(jù)題h的已知條件畫出層次結(jié)構(gòu)，【課本231頁】兒個基木步驟要知道，【課木235頁】那些圖作為參考人家要理解是怎么構(gòu)造的。(1)于省時、收入、岸間商業(yè)、當(dāng)?shù)厣虡I(yè)、建筑就業(yè)等五項(xiàng)因素，擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設(shè)渡輪這三個方案屮選一個，畫出目標(biāo)為“越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益”的層次 結(jié)構(gòu)圖.解：r標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層（2）述層次分析法的基本步驟.問對于一個即將畢業(yè)的大學(xué)牛選擇工作崗位的決策問題要 分成哪3個層次？具體內(nèi)容分別是什么？答：層次分析法的基本步驟為：（1）.建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）.構(gòu)造成對比較陣；（3）.計 算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)

9、；（4）.計算組合權(quán)向量并做組合-致性檢驗(yàn).對于一個即將畢業(yè) 的大學(xué)牛選擇工作崗位的決策問題，用層次分析法一般可分解為日標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這 3個層次.目標(biāo)層是選擇工作崗位，方案層是工作崗位1、工作崗位2、工作崗位3等，準(zhǔn)則 層一般為貢獻(xiàn)、收入、發(fā)展、聲譽(yù)、關(guān)系、位置等.10. 循環(huán)比賽（由得分向量寫岀競賽圖或鄰接炬陣、雙向連通圖、排名次等）.循壞比賽雖然考小題，但是這里把練習(xí)答案附上，以便大家能更好更深刻理解，怎么樣根據(jù) 題畫圖寫矩陣和排名次。7.右下圖是5位網(wǎng)球選手循環(huán)賽的結(jié)果，作為競賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全 路徑，用適當(dāng)方法排出5位選手的名次.解：這個5階競賽圖是一個5階有

10、向hamilton圖.其一個有向ham訂ton圈為3> 1 > 是雙向連通的.4t5t1t2t35t3t1t2t4等都是完金路徑.t5t2t3.所以此競賽圖2t4t5t3t13t1t4t 5t24 =令 0 = (1,1,1,1,1)丁，各幼_01010_001101000000101111004s(d =山=(2,2,1,2,3)丁，s(3)=as二(7,6,4,7,9/ ,s(2)=aso)=(4,3,2,4,5) s=(13,11,7,13,17)7由此得名次為5, 1 （4）, 2, 3（選手1和4名次相同）.第二部分（大題）差分方程看書【205頁，207頁】2. 知某商品

11、在£時段的數(shù)量利價格分別為耳和兒，其中1個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為兒+| =/（%】+兀）和無+| =g（兒）試建立 2關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為y,+1 = /嚴(yán)+"）和忑+i =g（兒）2設(shè)曲線f和g相交于點(diǎn)（x0,y0），在點(diǎn)幾附近可以用直線來近似表示曲線/和g ：兒_兒）心（1）耳+i 一兀（）=0（）1 一兒），0»0 （2）由（2）得 無+2 _兀（）=0（兒+1 _兒）（3）（1）代入（3）,可得無+2_兀0 =_妙（邑+" 一兀0）/. 2

12、忑+2 + a/3g、+ a/3xk = 2x0 + 2a/3x）, k = 1,2,，（4）上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，>1為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求厶點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對應(yīng)的齊次差分方程的特征方程：2z2 + ap九 + <70 = 0容易算出具特征根為a,2-a3 ± j(q0)2 8g0(5)當(dāng)af3 >8吋，顯然有& = _ a0 _ j （a"），_ 8q0 v ap 4v從而r2i a2,人在單位圓外.下而設(shè)y8,由（5）式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，b|j人衛(wèi)y1,必須 妙y2.故匕點(diǎn)穩(wěn)定

13、平衡條件為q0y2.（2.1）在£時段的數(shù)量和價格分別為無和兒，其中1個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期. 設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為兒=f（xk）和忑+| =g（兒+兒7）.試建立關(guān)于商 品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)利供應(yīng)函數(shù)分別為兒=/uj和心+1 = g（兒；'1）設(shè)曲線/和g相交于點(diǎn)佗（心,兒）,在點(diǎn)p.附近可以用直線來近似表示曲線/和g:兒 一），0 = -a（xk 一兀o）,q ao （1）xk+i _xo =0（" 2）* _兒），0 a° （2）從上述兩式中消去兒可得2心+2 + apxk+ + ap

14、xk = 2（1 + 妙）兀0, k = 12，（3）上述（3）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程. 為了尋求仇點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（3）對應(yīng)的齊次差分方程的特征方程：2a2 + ap九 + ap = 0容易算出其特征根為(4)(5)_ a3 ± j(q0)2 _8q0 兒1,2當(dāng)ap >8時，顯然有_ a/3 j(a0)2 eapapy44從而|人| a2,心在單位i員i外.下面設(shè)q0y8,由（5）式可以算出要使特征根均在單位圓內(nèi)，即|入y1,必須 妙y2.故心點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件為q0y2 捕魚模型3. 設(shè)某漁場魚量無（/）（時刻漁場中他的數(shù)量）的

15、口然增長規(guī)律為：=）dtn其中r為固有增長率,n、為環(huán)境容許的最大魚量.而單位時問捕撈量為常數(shù)h .（1）.求漁場魚量的平衡點(diǎn)，并討論其穩(wěn)定性；（2）.試確定捕撈強(qiáng)度巴“,使?jié)O場單位吋間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量qm，并求此吋漁場魚量水平解：（1）.兀變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為x記兀亓）令如2二皿_込)“dtnrx(l-)-/?=0 ,即 x2 -rx + h = o- ( 1 )nnn± 1- n(1)的解弘2 v 2n當(dāng)ayo時（1）無實(shí)根,此時無平衡點(diǎn);n當(dāng) = （）時（1）有兩個相等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為xq = fg = rq一并唱十等./（xo） = o不能斷定其穩(wěn)定性.x r/v但 vxa

16、o 及均有 f(x) =rx(l-)一- yo ,即-<o /. x0 不穩(wěn)定;當(dāng)aao時，得到兩個平衡點(diǎn):易知x2 =廣3）a0,廣（兀2）y0平衡點(diǎn)坷不穩(wěn)定,平衡點(diǎn)兀2穩(wěn)定（2）.最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為:max/?s.t.f(x) = o即max/7 = rx（l-）,易得此時/?=，但x；=這個平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.n°2402nnn要獲得最人持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場魚童% >,n盡量接近，但不能等于222n4.與logistic模型不同的另一種描述種群增長規(guī)律的是gompertz模型：x（t） = rxln x 其中廠和n的意義與logistic模型相同.設(shè)漁場魚量的口然增長

17、服從這個模薊 又單位捕撈量為h = er 討論漁場魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，求故大持續(xù)產(chǎn)量力川及茯得最人產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度和漁場魚量水平解：血）變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為辿dtxn記 f（x）=rxnexx 令 f（x） = o, rx in - ex = 0/. x0 = nef （兀o）=t<0,f6） = oox平衡點(diǎn)為兀（）兀又 v fx）= rn - r - e ,x/.平衡點(diǎn)x。是穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)x不穩(wěn)定.最人持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為:x由前面的結(jié)果可得 h = ene rdhder得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度em = r 從而得到最大持續(xù)產(chǎn)量hm=rn/e,此時漁場角量水平水 n xo = e量綱

18、分析5. 深水中的波速v與波長2、水深d、水的密度°和重力加速度g有關(guān)，試用量綱分析方 法給出波速v的表達(dá)式.解：設(shè)y, 2,d,p, g 的關(guān)系為y（iu,d,q,g）=o.其量綱表達(dá)式為ivmafr1, 2=lmt,d =lm°t° , p=l 3mtf，,g=lm°t-2,其中 l ,m , t是基木量綱.4分量綱矩陣為 111 -31 _(da=000 10(m)-100 0-2_(t)齊次線性方程組ay=09(v) 即（刃(d)s) (g)人+2 +兒-3九+兒=0y4-y>-2y5 =°一 1 i的基本解為 y1 = (l-,

19、0,0-), y2 = (0-1,1,0,0)i imv由量綱£定理得va 2g 2二®a* j =兀？兀=（p（兀 2），龍2= %.v = j00厶），其中0是未定函數(shù)線性規(guī)劃問題【82頁】6. 某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每件產(chǎn)品需要原材料、能源消耗、勞動力及所獲利潤如卜表所示:品種原材料能源消耗（百元）勞動力（人）利潤（千元）甲2144乙3625現(xiàn)有庫存原材料1400千克；能源消耗總額不超過2400喬元；全廠勞動力滿員為2000 人.試安排生產(chǎn)任務(wù)（生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品各多少件），使利潤最大，并求出最大利潤.解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品兀件，乙產(chǎn)品y件，相應(yīng)的利潤為s.則此問題

20、的數(shù)學(xué)模型為maxs = 4x + 5y5. /.2x + 3y < 1400x + 6y< 24004x + 2y <2000x>0,y>0,x,yez 模型的求解：用圖解法可行域?yàn)椋荷街本€i、: 2x + 3y = 1400 z2; : jv + 6y = 2400 l3 : 4x + 2y = 2000 及兀=0, y = 0 組成的凸五邊形區(qū)域.直線l:4x + 5y = c在此凸五邊形區(qū)域內(nèi)平行移動.易知：當(dāng)/過人與厶的交點(diǎn)時，s取最大值.由解得：x = 400, y = 2002x + 3y = 1400 4x + 2y = 2000=4x400 +

21、5x200 = 2600（t元）.故安排牛產(chǎn)甲產(chǎn)品400件、乙產(chǎn)品200件，可使利潤最大,其最大利潤為2600千元.7. 某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表:貨物體積（立方米/箱）（訂斤/箱）利潤 （百元/箱）甲5220乙4510己知這兩種貨物托運(yùn)所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種 貨物各托運(yùn)多少箱，使得所獲利潤最大，并求出最人利潤.解：設(shè)甲貨物、乙貨物的托運(yùn)箱數(shù)分別為西，勺，所獲利潤為z 則問題的數(shù)學(xué)模型可表示為max z = 20兀+ 10x25無+ 4兀2 5 24叫 + 5x2 < 13xj,x2 > 0,x,y

22、g z這是一個整線性規(guī)劃問題.用圖解法求解.可行域?yàn)?由直線z, : 5兀+ 4x2 = 24/2 : 2xt +5七=13 反x、= 0,兀2 = 0組成直線1: 20% +10x2 = c在此凸四邊形區(qū)域內(nèi) 平隹齊動.易知：當(dāng)/過與/ 2的交點(diǎn)吋，z取最大值5x. += 24fx. = 4由q 12解得 12x +5*2=13x2 = 1zmax =20x4 + 10x1 = 90 8. 量綱分析、存貯問題（包括第九章）、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型、捕魚問題、差分方程、概率模型.填空題（2分/空xlo空=20分）1、“商人怎樣安全過河”模型中狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律是5,+1 = 5,+（-l/<,o

23、2、“人口阻滯增長”模型是在“指數(shù)增長模型”的前提下，假設(shè)人口增長率是人口數(shù)量 的減函數(shù)。3、“人口阻滯增長”模型中，當(dāng)人口數(shù)x（t）=xm/2時，人口增長率最大；當(dāng)人口數(shù) 如=幾時，人口增長率為0。24、“公平的席位分配”模型中的q值法計算公式是q = 扁 * ）。1 2 15、“錄像帶計數(shù)器的讀數(shù)”多種方法建立的模型都是t =竺vva rj6、“雙層玻璃的功效”模型中，所依據(jù)的棊木物理公式是q=k od7、“傳染病模型”中sir模型是指被傳染若康復(fù)以后具有免疫性，不再感染該傳染病。8、“經(jīng)濟(jì)增長模型”中，衡量經(jīng)濟(jì)增長的指標(biāo)有總產(chǎn)值的增長、單位勞動力產(chǎn)值的增 長。問答題（40分）1、試川簡練的語言全面的描述“商人怎樣安全過河”該類問題。（1（）'）答：求決策久wd伙=1,2,曲），使?fàn)顟B(tài)5, 5按照轉(zhuǎn)移律5,+1 =5, +（-l）a j, 則初始狀態(tài)