常微分方程模型PPT

1、1常微分方程模型簡介常微分方程模型簡介2 目目 錄錄 1.人口模型 (人口增長和人口控制模型) 2.作戰(zhàn)模型 3.火箭發(fā)射模型 31. 人口增長模型 人口問題是當(dāng)今世界人們最關(guān)心的問題之一,從我們建國以來的歷史和當(dāng)前的現(xiàn)實(shí)已經(jīng)證明.這個(gè)問題也是我們國家必須認(rèn)真思考和慎重對待的重大問題.過去曾認(rèn)為人多好辦事,對呼吁人口增長的經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬寅初錯(cuò)誤地開展批評,結(jié)果造成人口超過13億,背上了沉重的包袱.因此要實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化,應(yīng)有效地控制人口增長,就必須制定正確的人口政策,為此就要建立人口增長的數(shù)學(xué)模型,用以描述人口增長過程,通過分析對人口增長進(jìn)行預(yù)測,制定相應(yīng)的人口政策以控制人口增長. 4 影響人口增長

2、的因素很多,人口的多少,出生率的高低,人口男女比例的大小,人口年齡組成情況,工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平高低,各民族的風(fēng)俗習(xí)慣,自然災(zāi)害,戰(zhàn)爭,人口遷移等等. 如果一開始把眾多因素全考慮,則無從下手.我們先把問題簡化,只考慮影響人口的主要因素增長率(出生率減去死亡率),其余因素暫不考慮,建立一個(gè)較粗的數(shù)學(xué)模型.在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上逐步考慮次要因素的影響,從而建立一個(gè)與實(shí)際更加吻合的數(shù)學(xué)模型. 5 初看起來人口增長是按整數(shù)變化的,不是時(shí)間的可微函數(shù),是不能用微分方程來描述的.但是若人口總數(shù)很大時(shí),可以近似認(rèn)為它是時(shí)間的連續(xù)函數(shù),甚至是可微的函數(shù).所以人口增長可以用微分方程來描述. (這種假設(shè),認(rèn)識(shí)是建立模型的基

3、礎(chǔ))6設(shè) , 表示t時(shí)刻人口總數(shù)和增長率, )(tx)(,(txtr只考慮增長率,其它因素的影響不考慮. 則在t至t+ 這段時(shí)間內(nèi)人口總數(shù)增長為 tttxtxtrtxttx)()(,()()(兩端同除以 ,并令 ,得 tt0)()()(,(1txtxtrdtdx我們將逐步深入討論上面這個(gè)模型 7一.馬爾薩斯(malthus)模型(指數(shù)增長模型) 英國人口學(xué)家馬爾薩斯(17661834)根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料,于1798年提出了著名的人口指數(shù)增長模型. 基本假設(shè) 人口增長率是常數(shù), 或者說,單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時(shí)人口成正比. 在（1）式中令 =r(常數(shù)) 得 )(,(txtr002xtx

4、txrdttdxtt)()()()(其解: (3)()(00ttrextx8 (2)式是一個(gè)線性方程,稱為馬爾薩斯人口模型,人口以 為公比,按幾何級(jí)數(shù)增加. re002xtxtxrdttdxtt)()()()( 據(jù)統(tǒng)計(jì),1961年世界人口總數(shù)為3.06 , 而在此之前的十來年間人口按每年2%的速率增長.因此 910,.,.,020100631961900rxt)(.)()(.41006319610209tetx 公式(4)能非常準(zhǔn)確地反映了在1700-1961年間世界估計(jì)人口總數(shù), 9但當(dāng)t=2510年, = (2萬億), x14102t=2635年, = (18萬億), x151081.t=

5、2670年, = (36萬億), x151063. 顯然,這些數(shù)字說明馬爾薩斯人口模型對長期的預(yù)測是不正確的. 由上可以看出,馬爾薩斯人口增長模型對1700-1961年的人口總數(shù)是對的,但對未來的人口總數(shù)預(yù)測不正確,應(yīng)予以修正. 二、logistic模型(阻滯增長模型) 由上面分析,馬爾薩斯人口模型對1700-1961年間人口總數(shù)的檢驗(yàn)是對的,而未來的人口總數(shù)預(yù)測又是錯(cuò)的,原因何在? 10 產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是:隨著人口的增加,自然資源,環(huán)境條件等因素對人口繼續(xù)增長的阻滯作用越來越顯著.如果當(dāng)人口較少時(shí)(相對于資源而言),人口增長率還可以看作常數(shù)的話,那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后,增長率就會(huì)

6、隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減少,許多國家人口增長的實(shí)際情況完全證實(shí)了這一點(diǎn). 看來為了使人口預(yù)報(bào),特別是長期預(yù)報(bào)更好地符合實(shí)際情況,必須修改指數(shù)增長模型關(guān)于人口增長率是常數(shù)這個(gè)基本假設(shè). 11 荷蘭生物學(xué)家Verhulst引入常數(shù) ,用來表示自然資源和環(huán)境條件所允許的最大人口,并假定人口增長率 mx)()()(,(51mxtxrtxtr即人口增長率隨著 的增加而減少,當(dāng) 時(shí)，人口增長率趨于零 )(txmxtx)(其中： 是根據(jù)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)確定的常數(shù); mxr,因子 體現(xiàn)了對人口增長的阻滯作用. )(mxtx1由此得：Logistic模型 )(| )()(6100 xtxxxxrdtdxtt

7、m12解之得： )()()()(71100ttrmmexxxtx 根據(jù)(6),(7)兩式可畫出 和 曲線圖如圖1-a及圖1-b： xdtdxtx 圖1-a 圖1-b 13 如圖1-a, 是一條拋物線，他表示人口增長率 隨著人口數(shù)量的增加而先增后減，在 處達(dá)到最大值。 xdtdxdtdxx2mxx 如圖1-b， 是一條 型曲線 ，拐點(diǎn)在 處，當(dāng) 時(shí)， tx s2mxx tmxx 本世紀(jì)初人們曾用這個(gè)模型預(yù)報(bào)美國人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較，直到1930年計(jì)算結(jié)果都相吻合，后來的誤差越來越大，一個(gè)明顯原因是到1960年美國實(shí)際人口已突破了過去確定最大人口 。 mx14 這個(gè)模型改進(jìn)了Mslthus模型，但

8、不易準(zhǔn)確得到 ，事實(shí)上，隨著生產(chǎn)力的發(fā)展和人們認(rèn)識(shí)能力的改變， 也是可以改變的。 mxmx 關(guān)于人口模型這方面的內(nèi)容是很豐富的，我國學(xué)者為了解決我國人口迅速增長的問題，作了大量的調(diào)查研究，建立了不少的人口模型，為我國政府指定相應(yīng)的人口政策提供依據(jù)。下面僅給一個(gè)我國的人口控制離散模型： 15三、人口控制模型： 在前面討論的兩個(gè)模型中，我們只關(guān)心人口總數(shù)，不考慮人口的年齡分布。事實(shí)上在研究人口問題時(shí)，按年齡分布的人口結(jié)構(gòu)情況是非常重要的。兩個(gè)國家或地區(qū)，目前人口的總數(shù)一樣，如果其中之一的年輕人比例高于另一個(gè)，那么二者的人口發(fā)展?fàn)顩r將很不一樣。下面將考慮人口年齡，不同年齡的生育率及死亡率等因素來建立

9、人口離散模型，用以預(yù)測及控制人口增長及人口老化問題。 人口發(fā)展方程： 時(shí)間以年為單位，年齡按周歲計(jì)算， 設(shè)最大年齡為m歲， 16記 為第t年 歲（滿 周歲而不到 周歲）的人數(shù)， )(txiii1i210210,it 只考慮由于生育、老化和死亡引起的人口演變，而不記遷移等社會(huì)因素的影響。 記 為第t年 歲人口的死亡率，即 ) (tdii)()()()(txtxtxtdiiii11于是： )()()(txtdtxiii111).(,8932101210tmi17記 為第t年 歲女性生育率，即每位女性平均生育嬰兒數(shù)， )(tbii 為育齡區(qū)間, 21ii , 為第t年 歲人口的女性比， )(tkii

10、則第t年的出生人數(shù)為： )()()()()(921txtktbtfiiiiii記 為第t年嬰兒死亡率， )(td00即第t年出生但未活到人口統(tǒng)計(jì)時(shí)刻的嬰兒比例 )()()()(tftxtftd00018于是 )()()()(101000tftdtx對于 , 將（9）、（10）代入（8）得 0i)()()()()()()(11111210001txtktbtdtdtxiiiiii)()()()(8111txtdtxiii將 分解為 ： , )(tbi)()()()(12thttbii 其中 是生育模式， )(thi用以調(diào)整育齡婦女在不同年齡時(shí)生育率的高低，滿足： )()(13121thiiii1

11、9利用（13）式對（12）式的求和得到)()()(1421iiiitbt 可知 表示第t年每個(gè)育齡婦女平均生育的嬰兒數(shù)， )(t 若設(shè)在t年后的一個(gè)育齡時(shí)期內(nèi)各個(gè)年齡的女性生育率 都不變， )(tbi那么 又可表示為 )(t )()()()()(151121211iitbtbtbtiii 即 是第t年 歲的每位婦女一生平均生育的嬰兒數(shù)，稱總和生育率，或生育胎次，它是控制人口數(shù)量的主要參數(shù)。 )(t 1i20將（12）式代入（11）式，并記： )()()()()()(1611000tkthtdtdtbiii則（11）式寫作： )()()()()(171211txtbttxiiiii 制訂生育政策

12、就是確定 和 ，通過 控制生育多少，通過 可以控制生育的早晚和疏密。 )(t )(thi)(t )(thi引入向量、矩陣記號(hào)： )()(),(),()(1821Tmtxtxtxtx21)()()()()(190100001000010000121mmmtdtdtdtA)()()()(20000000000000000021mmiitbtbtB22那么（17）式和（8）式（ ）可以寫作 121mi,)()()()()()()(211txtBttxtAtx 這個(gè)向量形式的一階差分方程就是人口發(fā)展方程。 說明： (1)當(dāng)初始人口 分布已知時(shí)，又由統(tǒng)計(jì)資料確定A(t)及B(t)，并且給定了總和生育率

13、以后，用這個(gè)方程就可以預(yù)測發(fā)展過程。 )(0 x)(t (2)在控制論中， 稱狀態(tài)變量， )(tx作為控制變量。 )(t (3)在穩(wěn)定的社會(huì)環(huán)境下，可以認(rèn)為死亡率、生育模式和女性比不隨時(shí)間變化，于是A(t),B(t)為常數(shù)矩陣， 23（21）式化為： )()()()()(221tBxttAxtx 雖然 全面地反映了人口的年齡結(jié)構(gòu)及其發(fā)展過程，但是為了更簡明地描述人口的特征，還需要一些指標(biāo)，稱為人口指數(shù)，主要有： )(tx人口指數(shù)： 人口總數(shù) )()()(230miitxtN平均年齡 )()()()(2410miitixtNtR24平均壽命（經(jīng)過復(fù)雜計(jì)算可得） )()(exp)(2500mjji

14、itdtS 其含義是：第t年出生的人不論活到哪一年,死亡率都用第t年的死亡率 計(jì)算時(shí),這些人的平均存活時(shí)間.我國人口的平均壽命在本世紀(jì)三十年代是35歲左右,解放初期為50歲左右(1950年北京地區(qū)),到1978年達(dá)到68.3歲. )(tdi 老年化指數(shù))()()()(26tStRt 25 它是反映人口老年化程度的指標(biāo).平均年齡R(t)越大， 越大;對于R(t)相同的兩個(gè)國家和地區(qū)，平均壽命S(t)大時(shí)，表示健康水平高，一個(gè)人能工作的時(shí)間在一生中占的比例大，所以老齡化指數(shù)小。0，乙軍勝，且當(dāng)y減少到 時(shí)，x將為零； M若M0，平局，且當(dāng)y減少到零時(shí)，x也將為零； 若M0，即02020 xy所以正

15、規(guī)軍取勝的條件：002(11)xy 由于 分別表示正規(guī)軍與游擊隊(duì)的戰(zhàn)斗有效系數(shù)，所以可將它們表示為yyprxxpr其中 是正規(guī)軍的射擊率（每個(gè)士兵單位時(shí)間射擊次數(shù)）， yr、45是正規(guī)軍每次射擊的命中率； yp是游擊隊(duì)的射擊率（每個(gè)士兵單位時(shí)間射擊次數(shù)）， xr是游擊隊(duì)每次射擊的命中率。 xp 但在戰(zhàn)斗過程中，可假定正規(guī)軍在游擊隊(duì)的火力之內(nèi)且游擊隊(duì)每次射擊是有目標(biāo)的，而游擊隊(duì)雖然在正規(guī)軍的火力之內(nèi)，但活動(dòng)范圍大且是隱蔽的，所以正規(guī)軍每次命中率與游擊隊(duì)活動(dòng)范圍及每次射擊的打擊面有關(guān)， 因此 又可表示為ypxryyssp 表示游擊隊(duì)的活動(dòng)范圍； xs表示正規(guī)軍每次射擊有效面積。rys46所以(12

16、)ryyxxxsrsr p將(10-12)代入(10-11)得正規(guī)軍取勝的條件： 002(13)xxxyryr p s xyr s假定正規(guī)軍的作戰(zhàn)火力比游擊隊(duì)作戰(zhàn)火力強(qiáng)， 不妨設(shè) ； xyrr2游擊隊(duì)的作戰(zhàn)兵力 100人， 0 x命中率 0.1， xp47活動(dòng)范圍 0.1平方千米， xs正規(guī)軍每次射擊的有效面積 1平方米， rys則由(6-13)式，正規(guī)軍取勝的條件為10001 . 02100101 . 01 . 0260 xxrry即正規(guī)軍必須10倍于游擊隊(duì)的兵力才能取勝。 48 美國人曾用這個(gè)模型分析越南戰(zhàn)爭（甲方為越南，乙方為美國）。根據(jù)類似于上面的計(jì)算以及四五十年代發(fā)生在馬來西亞、菲律

17、賓、印尼、老撾等地的混合戰(zhàn)爭的實(shí)際情況估計(jì)出，正規(guī)軍一方要想取勝必須至少投入8 倍于游擊隊(duì)一方的兵力。而美國最多只能派出6倍于越南的兵力。越南戰(zhàn)爭的結(jié)局是美國不得不接受和談并撤軍，越南人民取得最后勝利。 三、游擊戰(zhàn)爭模型（自學(xué)）（自學(xué)）493. 發(fā)射衛(wèi)星為什么用三級(jí)火箭一、為什么不能用一級(jí)火箭發(fā)射衛(wèi)星？ 1、衛(wèi)星進(jìn)入軌道，火箭所需的最低速度。 將問題理想化，假設(shè): (a)、衛(wèi)星軌道為過地球中心某一平面上的圓，衛(wèi)星在此軌道上以地球引力作為向心力繞 地球作平面圓周運(yùn)動(dòng)（如圖)50 (b)、地球是固定于空間的均勻球體，其他星球?qū)πl(wèi)星的引力忽略不計(jì)。 設(shè)地球半徑為R，中心為O，地球質(zhì)量看成集中于球心（

18、根據(jù)地球?yàn)榫鶆蚯蝮w的假設(shè)），曲線C為地球表面， 為衛(wèi)星軌道，其半徑為r，衛(wèi)星質(zhì)量為m， C根據(jù)牛頓定理，地球?qū)πl(wèi)星的引力為) 111(2rmGF其中G為引力常數(shù)，可由衛(wèi)星在地面的重量算出，即 mgRGm22gRG 51 代入(11-1)式得 2)(rRmgF 由假設(shè)(a)，衛(wèi)星所受到的引力既它作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故又有 rvmF2故有 rvmrRmg22)(從而速度為 rgRv 52 取g=9.81m/ ,R=6400km,可算出衛(wèi)星離地面高度為h公里處的速度如下表 2s離地面高度h(km)1002004006008001000衛(wèi)星速度v(km/s)7.867.807.697.587.47

19、7.37 2、火箭推進(jìn)力及速度的分析 假設(shè) 火箭在噴氣推動(dòng)下作直線運(yùn)動(dòng)，火箭重力及空氣阻力不計(jì)。 53 設(shè)在t時(shí)刻火箭質(zhì)量為m(t)，速度為v(t)，均為t的連續(xù)可微函數(shù)。 由泰勒展式有)()()(totdtdmtmttm在t到t+ 時(shí)間內(nèi)火箭的質(zhì)量減少量為t)()()(totdtdmttmtm這個(gè)質(zhì)量的減少，是由于燃料燃燒噴出氣體所致。 設(shè)噴出氣體相對于火箭的速度為u(就一種燃料而言為常數(shù))，則氣體相對于地球運(yùn)動(dòng)速度為v(t) . u54根據(jù)動(dòng)量守恒定律知 t時(shí)刻火箭動(dòng)量=（t+ t)時(shí)刻火箭動(dòng)量 +（t+ t)時(shí)刻轉(zhuǎn)換到氣體的能量 所以)()()()()()()(utvttmtmttvtt

20、mtvtm從而有)()()()()()(utvtotdtdmttvttmtvtm上式兩端同除以 ，并令 得tt055)211(dtdmudtdvm(11-2) 式又端表示火箭所受的推力，由此解得)311()(ln()(00tmmuvtv此處 ).0(),0(00mmvv (11-2) 式表明火箭所受的推力等于燃料消耗速度與氣體相對于火箭運(yùn)動(dòng)速度的乘積 (11-3)式表明,在 和 一定的條件下,v(t)由噴發(fā)速度(相對于火箭)u及質(zhì)量比 決定. 0v0m)(0tmm這為提高火箭速度找到了正確的途徑:提高u(從燃料上想法),減少m(t)(從結(jié)構(gòu)上想法).完全合乎實(shí)際. 563 、一級(jí)火箭末速度上限

21、(目前技術(shù)條件下)火箭衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量可分為三部分: (有效負(fù)載,如衛(wèi)星), pm,(燃料質(zhì)量), fm(結(jié)構(gòu)質(zhì)量,如外殼,燃料容器及推進(jìn)器).sm 在發(fā)射一級(jí)火箭運(yùn)載衛(wèi)星時(shí),最終(燃料耗盡)質(zhì)量為 , spmm由式(3)知末速度為)411()ln(0spmmmuv一般來說,結(jié)構(gòu)質(zhì)量 在 中應(yīng)占一定的比例, smfsmm )0(0v57 在現(xiàn)有的技術(shù)條件下,要使燃料倉和發(fā)動(dòng)機(jī)的質(zhì)量之和小于所載燃料的 或 是很難做到的. 81)()(0psfsmmmmm 設(shè)設(shè)其中 為常數(shù), 為初始總質(zhì)量,即結(jié)構(gòu)質(zhì)量為燃料和結(jié)構(gòu)質(zhì)量和 的倍, sfpmmmm0 代入(4)式得 )511()1 (ln(00pmmmu

22、v 由此可以得出一個(gè)重要結(jié)論:10158對于給定的u值,當(dāng)凈栽質(zhì)量 時(shí)(即假設(shè)火箭不攜帶任何東西).火箭所能達(dá)到的最大速度為0pm)1ln( uv 我們已知目前的火箭燃料其 u=3km/s ,如果取 101 則上式可得skmv/7 前面已推出,即使要把衛(wèi)星送入600公里高的圓形軌道,火箭的末速度應(yīng)為7.58km/s,而剛才我們推導(dǎo)火箭速度是在假定忽略空氣阻力,重力,不攜帶任何東西的情況下，最大速度才達(dá)7km/s.由此得出,如上的單級(jí)火箭是不能用于發(fā)射衛(wèi)星的. 59 我們回過頭來檢查上面的設(shè)計(jì)中有那些地方不合理,以便加以改進(jìn).我們發(fā)現(xiàn),火箭的推進(jìn)力在加速著整個(gè)火箭,其實(shí)際效率越來越低,最后幾乎是

23、在加速著最終毫無用處的結(jié)構(gòu)質(zhì)量(包括空油箱).所以應(yīng)改進(jìn)火箭的設(shè)計(jì). 二、理想的火箭模型 理想的火箭模型應(yīng)該是隨著燃料燃燒隨時(shí)拋棄無用的結(jié)構(gòu)。 假設(shè) 在t到 時(shí)間內(nèi)，丟掉的總質(zhì)量為1個(gè)單位（包括結(jié)構(gòu)質(zhì)量和燃料燃燒質(zhì)量），其中丟掉結(jié)構(gòu)質(zhì)量為 1），燒掉的質(zhì)量為1 。 tt0( 60 當(dāng)然，不可能制造這樣的理想火箭，但是我們把實(shí)際情況理想化以后，使得問題變得比較簡單，在此基礎(chǔ)上建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而可獲得一些我們需要的信息，通過一些修正，我們就可以把理想過程還原到實(shí)際過程。建模 由動(dòng)量守恒定律： )()()()(ttvttmtvtm)()()()(1 ()()()(utvttmtmtvttmtm

24、)()()(totdtdmttmtm將代入上式得 61)()()()(ttvttmtvtm)()()1 ()(toutvtdtdmttvdtdm化簡整理，令 ，可得0tdtdmudtdvm)1 ( 解得)1611()(ln)1 ()(0tmmutv 比較(11-5) 、(11-6) 兩式可知，理想火箭與一級(jí)火箭的最大區(qū)別在于： 當(dāng)燃料燃燒完，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也被逐漸拋掉，僅僅剩下 （衛(wèi)星），即 ， pmpmtm)(62從而最終速度為)711(ln)1 (0pmmuv (11-7)式表明：當(dāng) 足夠大便可使衛(wèi)星達(dá)到我們所希望它具有的任意速度。 0m 例如，考慮到空氣阻力和重力的因素，估計(jì)（按比例的粗略計(jì)算）要使 才行，如果取u=3km/s, ,則可推出 。即發(fā)射1噸重的衛(wèi)星大約需50噸重的理想火箭。 skmv/5 .101 . 0 500pmm63三、多級(jí)火箭衛(wèi)星系統(tǒng)（理想過程的實(shí)際逼近） 前面我們所討論的理想火箭是把結(jié)構(gòu)質(zhì)量連續(xù)拋棄，顯然對于實(shí)際火箭是辦不到的，是否可以把結(jié)構(gòu)質(zhì)量逐級(jí)拋棄而用多級(jí)火箭發(fā)射？ 記火箭級(jí)數(shù)為n ，當(dāng)?shù)趇級(jí)火箭燃料燒盡時(shí)，第 級(jí)火箭立即自動(dòng)點(diǎn)火，并拋棄已經(jīng)無用的第 級(jí)。 1ii用 表示第 級(jí)火箭質(zhì)量（燃料與結(jié)構(gòu)之和）， imi表示有效負(fù)載。 pm為了簡