2019屆高三立體幾何專題練習

1、立體幾何專題2019 1、如圖，正三棱柱111abcabc 中，點,mn 分別是棱1,ab cc 的中點 .求證： （1） cm /平面1ab n ；（2）平面1abn平面11aa b b . 2、如圖，在三棱錐pabc 中， abpc，m 是 ab 的中點，點d 在 pb 上， md 平面 pac，平面pab平面 pmc， cpm 為銳角三角形，求證：d 是 pb 的中點；平面 abc平面 pmc3、如圖，在直三棱柱abca1b1c1中， d，e 分別是棱 bc，cc1上的點 (點 d 不同于點 c)，且 ad de，f 為棱 b1c1上的中點，且a1fb1c1求證：（1）平面 ade平面

2、bcc1b1；（2）a1f/平面 ade4、如圖，四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形，p a平面abcd，ad1，paab2，點e是棱 pb 的中點（ 1）求異面直線ec 與 pd 所成角的余弦值； （2）求二面角becd 的余弦值5. 6、如圖，在四棱錐pabcd 中， dcab，dc 2ab，平面pcd 平面 pad， pad 是正三角形，e是 pd 的中點（ 1）求證： aepc ；（ 2）求證： ae平面 pbc p a b c d e 7、如圖，在直三棱柱111abca b c中，def， ，分別是111b cab aa，的中點（1）求證：ef平面1a bd； （2）若1111=

3、a bac，求證：平面1a bd平面11bb c c8、如圖，在直三棱柱abc a1b1c1中，已知 ab bc，e，f 分別是 a1c1，bc 的中點（ 1）求證：平面abe 平面 b1bcc1；（ 2）求證： c1f/平面 abe9、如圖 , 在三棱錐 dabc 中，da平面 abc ，90cab，且1acad，2ab，e為bd的中點（1）求異面直線ae與 bc 所成角的余弦值； （2）求二面角aceb 的余弦值10、在四棱錐p-abcd 中，底面abcd 為平行四邊形，點o 為對角線bd 的中點，點e，f 分別為棱 pc，pd 的中點， 已知 paab ，pa ad。 求證： （1）直線

4、 pb 平面 oef ； （2）平面 oef 平面 abcd 。11、在四棱錐p - abcd 中，銳角三角形pad 所在平面垂直于平面pab，ab ad，abbc。(1) 求證： bc平面pad；(2) 平面pad 平面abcd12、在四棱錐p - abcd 中，已知m，n 分別是 bc，pd 的中點，若四邊形abcd 是平行四邊形，且 bac90.(1) 求證：mn平面 pab；(2) 若 pa平面 abcd，求證： mn ac. 13、在四棱錐sabcd 中，saabcd面，底面 abcd是菱形（1）求證：sacsbd面面；（2）若點m是棱 ad的中點，點n 在棱 sa上，且12anns

5、，求證：scbmn面14、 如圖，在三棱錐 sabc 中，,d e 分別為ab，bc 的中點， 點f在 ac 上，且 sd底面 abc . （1）求證：/de平面 sac ；（2）若 sfac ，求證：平面sfd平面 sac . 15、如圖，在直三棱柱111abca b c 中，1acbcacbc，12bb，點d在棱1bb上，且11c dab （1）求線段1b d 的長； （2）求二面角11dacc 的余弦值16、如圖所示，在三棱柱abc a1b1c1中，四邊形aa1b1b 為矩形，平面aa1b1b平面 abc ，點e，f 分別是側面aa1b1b，bb1c1c 對角線的交點（ 1）求證： ef

6、平面 abc ；（ 2）bb1ac 17、 將邊長為2 的正方形abcd 沿對角線bd 折疊，使得平面abd 平面 cbd， 又 ae平面 abd （ 1）若 ae2，求直線 de 與直線 bc 所成角；（ 2）若二面角abed 的大小為3，求 ae 的長度18、如圖，在四棱錐vabcd 中，底面abcd 是矩形， vd平面abcd ，過 ad 的平面分別與vb ，vc 交于點 m，n（ 1）求證： bc平面 vcd ；（ 2）求證： ad mn參考答案1、 （1）設 a1b 與 ab1的交點為 o，連 mo，no 在正三棱柱abc-a1b1c1中， o 為 ab1的中點， ombb1，且 o

7、m12bb1，依題意，有cnbb1，且 cn12bb1，om cn，且 omcn 四邊形 cmon 為平行四邊形，cm on 而 cm平面 ab1n，on平面 ab1n，cm 平面 ab1n。（2）在正三棱柱abc-a1b1c1中， bb1平面 abc ，bb1cm ，又 cm ab ，ab bb1b，cm 平面 abb1a1，因為 cm on，on 平面 abb1a1on平面 a1bn ，平面 a1bn 平面 abb1a12、3、證明：（1）在直三棱柱abca1b1c1中， bb1平面 abc2分因為 ad平面 abc，所以 bb1ad又因為 adde，在平面 bcc1b1中， bb1與 d

8、e 相交，所以ad平面 bcc1b1又因為 ad平面 ade，所以平面ade平面 bcc1b16 分（2）在直三棱柱abca1b1c1中， bb1平面 a1b1c18 分因為 a1f平面 a1b1c1，所以 bb1 a1f又因為 a1f b1c1，bb1 b1c1b1，所以 a1f平面 bcc1b110 分在(1)中已證得ad平面 bcc1b1，所以 a1f/ad又因為 a1f平面 ade，ad平面 ade，所以 a1f/平面 ade14 分4、解： （1）因 pa底面 abcd，且底面abcd 為矩形，所以ab，ad，ap 兩兩垂直，以 a 為原點， ab，ad，ap 分別為 x，y，z軸建

9、立空間直角坐標系，又因 paab2，ad 1，所以 a(0，0，0)，b(2， 0，0)，c(2，1，0)，d(0，1， 0)，p(0， 0，2)， 2 分因為 e 是棱 pb 的中點，所以e(22，0，22)，所以 ec(22，1，22)， pd (0， 1，2)，所以 cos ec， pd1112112 1 263，所以異面直線ec 與 pd 所成角的余弦值為636 分（ 2）由（ 1）得 ec(22，1，22)， bc(0，1，0)，dc(2，0，0)，設平面 bec 的法向量為n1(x1， y1， z1)，所以22x1y122z10，y10令 x11，則 z11，所以面bec 的一個法

10、向量為n1(1，0， 1)，設平面 dec 的法向量為n2(x2，y2，z2)，所以22x2y222z20，2x2 0令 z22，則 y21，所以面dec 的一個法向量為n2(0，1，2)，所以 cosn1，n2211 1233由圖可知二面角becd 為鈍角，所以二面角becd 的余弦值為3310 分5、a b c a1b1c1f e d 6、 【證明】（1）因為 pad是正三角形，點e是 pd 的中點，所以 aepd 2 分又平面 pcd 面 pad，平面 pcd 平面 padpd，ae平面 pad所以 ae平面 pcd 5 分又 pc平面 pcd ，所以 aepc 7 分（2）取 pc的中

11、點 f，連結 ef ，在 pcd中， e，f 分別是 pd，pc的中點，所以 ef cd且 cd 2ef 又 abcd，cd2ab，所以 ef ab且 ef ab，所以四邊形aefb是平行四邊形，所以 aebf， 10 分又 ae平面 pbc ，bf平面 pbc ，所以 ae平面 pbc 14 分7、 （1）因為 ef， 分別是1abaa，的中點，所以ef1ab 3 分因為 ef平面1a bd ，1ab平面1a bd ，所以ef平面1abd 6 分（2）在直三棱柱111abcab c 中，1bb平面111a bc ，因為1ad平面111abc ，所以11bba d 8 分因為1111abac

12、，且d是11bc 的中點，所以111adb c 10 分因為1111bbb cb ，111bcbb，平面11bb c c ，所以1ad平面11bb c c 12 分因為1ad平面1abd ，p a b c d e （第 15 題圖）f 所以平面1abd平面11bb c c 14 分8、9、因為da平面 abc ，90cab，所以可以以a為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系axyz. 因為1acad，2ab，所以(0,0,0)a，(1,0,0)c，(0,2,0)b，(0,0,1)d，因為點e為線段bd的中點，所以1(0,1,)2e.（ 1）1(0,1, )2ae，(1, 2,0)bc，所以2

13、4cos,5|554ae bcae bcaebc，所以異面直線ae與 bc 所成角的余弦值為45. 5 分（ 2）設平面ace 的法向量為1( , , )x y zn，因為(1,0,0)ac，1(0,1, )2ae，所以10acn，10aen，即0 x且102yz，取1y，得0 x，2z，所以1(0,1, 2)n是平面ace的一個法向量設平面 bce 的法向量為2( , , )x y zn，因為(1, 2,0)bc，1(0, 1, )2be，所以20bcn，20ben，即20 xy且102yz，取1y，得2x，2z，所以2(2,1,2)n是平面 bce 的一個法向量所以12121235cos,

14、|559nnn nnn 8 分所以二面角aceb 的余弦值為55. 10 分10、 （1）o 為 pb 中點， f為 pd 中點，所以， pbfo 而 pb平面 oef，fo平面 oef，pb平面 oef。（2）連結 ac，因為 abcd 為平行四邊形，ac 與 bd 交于點 o，o 為 ac 中點，又e為 pc 中點，paoe，因為 paab ，pa ad ，ab ad a，pa平面 abcd ，oe平面 abcd 又 oe平面 oef，平面 oef平面 abcd 11、答案 ： （ 1）四邊形abcd 中，因為abad，abbc，所以， bcad ，bc 在平面 pad 外，所以， bc平

15、面 pad （2）作 depa 于 e，因為平面pad平面 pab，而平面pad 平面 pabab，所以， de平面 pab，所以， deab ，又 ad ab ，de ad d 所以， ab平面 pad，ab 在平面 abcd 內所以，平面pad平面 abcd 12、證明： (1) (證法 1)取 pa 的中點 g，連結 bg，gn. 點 n 是 pd 的中點，ngad，且 ng12ad.(2 分 ) 點 m 是 bc 的中點，bm12bc. 四邊形 abcd 是平行四邊形，bmad，且 bm12ad .(4 分) 四邊形 bmng 是平行四邊形 . 又 mn平面 pab，bg? 平面 pa

16、b， mn平面 p ab.(6 分) (證法 2)取 ad 中點 h，連結 nh，mh. 點 n 是 pd 的中點，nhpa. 又 nh?平面 pab，p a? 平面 pab，nh平面 pab.(2 分) m，h 分別是 bc，ad 的中點，四邊形abcd 是平行四邊形， mhab. 又 mh ?平面 p ab，ab? 平面 p ab，mh平面 pab.(4 分) 又 mh nh h，平面 mnh平面 pab. mn? 平面 pab，mn平面 p ab.(6 分) (2) pa平面 abcd，由 (1)知 nhpa， nh平面 abcd，ac? 平面 abcd . nhac，即 ac nh.(

17、8 分) bac90，acab. 又 mh ab，acmh.(10 分) mhnhh，nh? 平面 mnh， mh? 平面 mnh， ac平面 mnh .(12 分) 而 mn?平面 mnh ， acmn，即 mnac.(14 分) 13、解： （1）因為saabcd面，bdabcd面，所以sabd，2 分又因為底面abcd是菱形，得acbd，由 sa，ac都在面 sac內，且saaca，所以bdsac面，5 分由bdsac面，得sacsbd面面； 7 分（2）由底面abcd是菱形，得adbc所以12aeamamecbcad 9 分a b c d s m n (第 16 題) 又因為12ann

18、s，所以12aeanecns，所以nesc，11 分因為nebmn,scbmn面面，所以scbmn面.14 分14、 1）由中位線知：de ac，可證： de平面 sac （2）由 sd平面 abc ，知 sd ac ，又 sfac ，sd與 sf交于點 s，所以， ac 平面 sfd ，所以，平面sac 平面 sfd15、解：在直三棱柱111abcabc中，由acbc，則以11111c a ,c b ,c c為基底構建如圖所示的空間直角坐標系，則111 0 20 1 00 0 00 1 20 0 2a, ,b, ,c, ,b, ,c, , 所以1112ab, , 設1b mt，則10 1c

19、d, ,t, （1）由11dcab得110c d ab, 所以11202tt, 所以1b m=123 分（2）由111bcac c面，取11ac c面的一個法向量為110 1 0c b, , 設1acd面的一個法向量nx, y,z, 由（ 1）知111111 0 22a d, ,ac, ,又因為1100n a dn ac, 所以10220 xyzxz，取2z，則34y,x,6 分所以4 3 2n, , 所以1113 2929n c ccosn,c c|n|c c|所以二面角111dacb的余弦值為3 292910 分16、證明：（ 1）三棱柱111abcabc四邊形11aab b ，四邊形11bb c c 均為平行四邊形,e f 分別是側面11aa b b，11bb c c 對角線的交點,e f 分別是1ab ，1cb 的中點/efac 4 分 ef平面 abc ， ac平面 abc /ef平面 abc8 分（2）四邊形11aa b b 為矩形1bbab平面11aa b b平面 abc ，1bb平面11abb a ，平面11abb a平面 abcab1bb平面 abc 12 分 ac平面 abc1bbac14 分1