淺談新課標全國卷導(dǎo)數(shù)命題背景

1、淺談新課標全國卷導(dǎo)數(shù)命題背景.近幾年高考題的導(dǎo)數(shù)壓軸經(jīng)常以微積分里的重要定理作為背景，但縱觀命題人給 的答案，很多是所謂結(jié)合高中知識巧妙構(gòu)造等等，頗有把考生玩弄于股掌之間的 味道結(jié)合高等數(shù)學(xué)部分內(nèi)容，我們來研究下近幾年高考真題的本質(zhì)： 例 1. ( 2014北京卷)己知函數(shù)/(x) = xcosx-sinx,xw 0,彳,< 1)求證：/(x)<0sin xtc(2)若av vb在(0,)上恒成立，求q的最大值與b的最小值 x2第(1)問很簡單，求導(dǎo)后容易得到結(jié)論第(2)問我們令&(£)=壯x271則 g©)= cos", sinx,由知，g&

2、#169;)wo,故g(x)在(0冷 上單調(diào)遞減，從而g的最小值為若卜 故a , a的最大值為2.717t只用初等接下來我接下來b最大值肯立在x等于0處収到，代入x = 0,我們發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了 °的情況,0cjn x數(shù)學(xué)我們無法求解，其實本題就用到了微積分里兩個重要極限zlim =1,xto x們來證明一下這個結(jié)論cin ( v-f* a x)令 f(x) = sinx,山導(dǎo)數(shù)定義得/z(x) = lim - =cosx ,wo (兀+八兀)-%那么廣(0)= lim = lim cosx = 1,那么顯然第(2)小問里b' 丿 go(o + ax)o 5 x xt0的最小值就是

3、1qin v評注：本題結(jié)合了極限lim =1進行命制，并且它的證明過程就是高中數(shù)學(xué)課本里對導(dǎo) z) x數(shù)的定義，很多老師為了方便講解直接跳過該定義講解導(dǎo)數(shù)幾何意義，筆者認為這是一個很 大的失誤，所以在復(fù)習(xí)時以前沒有著重講解的能義需要額外關(guān)心，考場上遇到所謂冷門知識 時才能應(yīng)付自如，游刃有余.1 x高等數(shù)學(xué)里還有個重要極限就是lim( 1+上)=e，稍后我們進行討論.xx上而兩個極限是導(dǎo)數(shù)與微分的內(nèi)容，在上完導(dǎo)數(shù)與微分后，我們將會接觸到3個微分中值怎 理：羅爾中值定理，拉榕朗日中值定理，柯西中值定理羅爾中值處理：，曲線弧(方程為)是一條連續(xù)的|川線 弧，如果弧的兩端點縱坐標相等，那么弧上至少有一

4、點， 曲線在該點切線是水平的拉格朗口中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足:1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。那么：在(a,b)內(nèi)至少有一點"avgvb), 使等式/(/?)一/(4)=作)成立b_a柯西屮值定理：如果函數(shù)f(x)及f(x)滿足(1) 在閉區(qū)n a,b±連續(xù)；(2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3) 對任一xe(a,b), f(x)#o那么在(a,b)內(nèi)至少有一點g,使等式3=需成立其中,在柯西中值定理里當i時,我們會得到求取彳不定式極限的洛必達法則:當x->a時,函數(shù)f(x)及f(x)都趨于零;(2)f(x)及f'(x)都存

5、在且f(x)#o,那么有l(wèi)im.r>a/（兀）= lim一注：洛必達法則也可以證明極限lim f(x) 宀廠5 x=1,上下求導(dǎo)便可得下面我們來看一道用洛必達法則命制的高考題例2. (2011新課標全國卷)已知函數(shù)于(兀)=冬匕仝+ ?, |線y = /(%)在點(1, /(i)處的 x + 1 x切線方程為x + 2y 3 = 0。(i )求q . b的值； ip r r(ii)如果當x>o, .hxhi時，求r的取值范圍。x-l x第一問很簡單，求導(dǎo)后解方程易得a=1, b=19 y in v9 y in x第二問進行分離參數(shù)，可得kv丄斗+ 1,令g(x)=丄彳+ 1，求兩次

6、導(dǎo)后得到g(x)1-x"在(0, 1)單調(diào)減，在(1, + )單調(diào)增，由洛必達法則得lim也l= + l = lim" i】u)+xt1 1 xx->1-lx=0,所以kw («, 0),取k=1代回原命題也成立，所以kw (-00, 0評注：木題原解法分類討論極其復(fù)雜而口某些步驟不容易想到，顯然這份標準答案是命題人 結(jié)合洛必達法則得出答案后強行湊給考生看的，假如我們站在命題人的高度看問題，任何復(fù) 雜的題目都會不堪一擊.值得注意的是，新課標全國卷連續(xù)考了兩年洛必達法則：例3. (2010新課標全國卷)設(shè)函數(shù)fx) = e-x-ax2(1) 若d=0時，求/&

7、#39;(x)單調(diào)區(qū)間(2) 若當兀n0時,/(兀)30,求a的取值范圍本題笫二問町以用洛必達法則求解，留做習(xí)題在學(xué)習(xí)完微分中值定理示，我們就會接觸到由柯西中值定理推導(dǎo)出的泰勒公式，它在近幾年 高考中的命題地位比洛必達法則還要高高等數(shù)學(xué)里cy和ln(x +1)的泰勒展開式特別優(yōu)美：x2兀3cv = l+x + + 4- (1)2!3!234ln(x + l) = x- + + (2)234(1)式中我們對右邊的幕級數(shù)求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)它的導(dǎo)函數(shù)就是本身，我們都知道導(dǎo)函數(shù)是瓦本身的只有于，所以e"和右邊是相等的，證明它過程太復(fù)雜，所以我們不做證明，下血我們用一種不太嚴謹?shù)姆椒▉碜C明(2)式的弱命

8、題令an =xn,xg (-1,1)y yn+1yy卄 1那么其前 n 項和 s = x + x2 + x3 + x4 + x5 +xn = x x x學(xué)習(xí)等比數(shù)列的和時我們就知道，當公比時，其前n項和是收斂的，有悝即皿+八2+八古 xe (-1, 1)兩邊同時積分得x + x2 + x3 + %4 + + xndx = x dx3jl-x234即蘭 4- + +=-ln(-x)-x ,234234zt?(1 x) = x xg ( -1 9 1 )234yyy令 x =-x ,得加(1 + 兀)=尤 + - + xg (-1 , 1 )234那么泰勒公式怎么考呢？最簡單的考法之一就就是舍去展

9、開式一些項,把等號變?yōu)椴坏忍栆?函數(shù)放縮形式考察對(1)式舍去第三項及其之后，得er 1 + x , x e r(3)對(2)式舍去第三項極其之后,或者對(3)式兩邊取對數(shù)，得加(l + x)wx, x g (-1, +- )(4)對(4)中令1 + % = +上式便可加強為1-w 加(1 +兀)wx(5)1 +兀(3) (4) (5)式均當h僅當x=1時収等號，我們將其稱為泰勒不等式或者基本函數(shù)不等 式，另外細心的同學(xué)也發(fā)現(xiàn)例3屮的函數(shù)/(x) = ex-l-x-«x2便是e"的泰勒展開式取前 3項后加上個參數(shù)a,所以本題的命制背景就是洛必達法則+泰勒公式，如果你知道e&

10、quot;的泰 勒展開，那么本題答案一眼就看得出來是aw丄，所以對丁學(xué)有余力的同學(xué)，提前學(xué)習(xí)一些2微積分對高考是大冇裨益的注：補充泰勒展開式以及對應(yīng)不等式xxxsinx = x- + + (6),舍去第二項及具z后得骯加wx ,當且僅當x=0取3! 5! 7!qin v等,ill (6)也可以證明極限lim=1,請讀者自行證明xto x卜-而我們來看一道例題，本題在微積分的課本里經(jīng)常當作經(jīng)典例題或習(xí)題，而命題人直接就 拿出來當壓軸題考察學(xué)生例 4.證明： i1fhv/7?(l + n)<l1fh234n+12 3 n分析：左右都是和，屮間的加(1 + n)也將其拆做和的形式，證明通項不等

11、關(guān)系即可證明：注意到加(l + n) = /(出)+/!( ) +/7(-) + 加(z),nn-121故只需證丄v加(1 +丄)v丄即可，由(5)式令x=丄顯然成立n + 1n nn評注：使用泰勒不等式時耍注意不等號方向，并且木題也可以通過泄積分的幾何意義證明， 證明過程留做習(xí)題1 *前而我們提到后面我們會證明極限lim( 1+) =e，接下來我們用基本函數(shù)不等式xt8x加(1 + x) w x來給lb精彩的證明對原命題取對數(shù)，即只需證明limxln(l+-) =1,注意到加(1 +兀)wx,當h僅當x=0xtoox取等，那么當x趨近于0,即丄趨近于8時，冇limln( 1+丄)=lim丄，

12、即xxtoo% xtoo xlimxln( 1+1 ) =lim兀=1xt8兀xt8 兀這幾個基木函數(shù)不等式可以衍牛出一犬批高考題，下血我們挑幾道進彳j-分析：例5 (2013新課標全國卷ii)已知函數(shù)/(x) =ea -ln(.x + m)(1) 設(shè)x = 0是/(x)的極值點，求m并討論/&)的單調(diào)性(2) 證明：當inw2時，/(兀)>0第一問很簡單，求導(dǎo)罰弋入x=0求出m,然后進而求取單調(diào)區(qū)間第二問我們根據(jù)不等式加(1 + x) w兀來輕松秒殺.因為 ln(m + x) < x + m -1,故e' -/n(x + m) cx-x-m +1,當 x + m

13、=1 取等，令g(x) = ex-x-m +1,求導(dǎo)易得g(x)在(0, + )單調(diào)增，在(m, 0)單調(diào)減故g(x)min = g(°)=2mn0,即 /(x) ng(兀)m0,故/(x) >0評注：木題標準答案是對/(兀)求導(dǎo)對極值點設(shè)而不求并討論其存在性最后得出答案，其實木題本質(zhì)就是泰勒不等式的運用，標答只起了欲蓋彌彰的作用下而我們對應(yīng)用泰勒不等式中比較復(fù)雜的形式進行講解：(2007 遼寧卷節(jié)選)lln/(x) = e2x 2z(ev +x) +x2 + 2r2 4-1,證明：/(x)山式可知卉心，那么(e心，市不等式呼命+幾得1 =(/_/) + (r-x)t(ex-r

14、)2+(r-x)2 = e2x-2r(ev+x) +x2 + 2t22 2 2 l 兩邊同時加1得原命題.評注：本題結(jié)合了基本不等式推論之一+必 冬/+慶,在了解泰勒不等式時也需要對2課木知識牢牢掌握.2嚴例6 (2014新課標全國卷一)已知于(x)=e%x +,證明:/(%) >1x分析：對泰勒不等式學(xué)握很好的同學(xué)應(yīng)該會發(fā)現(xiàn)，其好用z處就是把復(fù)雜函數(shù)的證明問題轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的證明問題，本題出現(xiàn)多個復(fù)雜結(jié)構(gòu)，故需要多次運用辺l個不等式解：原不等式兩邊同時乘以兀，即證xexlnx + 2e'>xf因為故只需證兀e'加兀+廣】>0,考慮到j(luò)>0恒成故只需證刃

15、處+丄20,因為刃處最小值在x等于ee處取到為-丄，所以xlnx + -0,考慮到前面的放縮不可同時取等號，有/(x)>l.ee評注：本題標答是一個巧妙的等價變換后再對新函數(shù)求導(dǎo)，這步非常不好想到，顯然是命題 人掩蓋了他如何命制本題，以上解答過程反過來即為命題人命制此題的思路。并且里血有經(jīng) 常遇到甚至背得的x加x的單調(diào)性和最值，這也是基礎(chǔ)的考察.例7 (2012新課標全國卷)已知/(兀)=廣(1) e"-1 -/(0) x + -x2(1) 求于(兀)的解析式以及單調(diào)區(qū)間(2) /(x)%2 -ax-b ,求(° + 1) 的最人值2第(1)問很簡單，求導(dǎo)后對x賦值可

16、以得到/3=蘭一x +求導(dǎo)后易得單調(diào)區(qū)間(-co, 0)單調(diào)減(0, +oo)單調(diào)增解：山題e' -(a + l) x-b > 0 ,令g(兀)=e'-(o + l) x-b , &(兀)20等價丁若g(兀)在r單調(diào)增，那么g( x)不存在零點若gd)在r不單調(diào)，那么其極小值20對g3 求導(dǎo),有g(shù)©)=j(a + l),當awl時，g©)>0恒成立，g(兀)在r單調(diào)增,此 時g (兀)_運存在個零點，不符合題意 當a大>1時,令g'(x)=o,則兀=加(7 + 1),故g(x)在(8,加(a + 1)單調(diào)減，在(加(a +

17、1), +8)所以只需 g(加(d + 1) )20 即 口j,即(a + l)(d + 1)加(d + 1)b $0.即 b(d + l)w(a + l)2.(d + l)2 加(a + 1),令/2(jo=(a + l)2.(d + l)2 加(a + 1),求導(dǎo)后易觸最人值為£ ,2 故 b(a + l)nwt='|評注：12年全國卷被認為近幾年最難，但你只要站在命題者的角度去看待問題，注惠到木題也是通過泰勒公式改編，后而的步驟就順理成章 泰勒公式除了舍去一些項當不等式考察，其木身的存在也可以估算某些超越數(shù)的近似值，所以便有 t 14年新課標二卷的這道題：例8 (201

18、4新課方k全國二卷節(jié)選)已知/(x) = e' - ea 一 2x已11 1.4142<a/2 <1.4143,估測 ln2 的近似值(精確到0.001)xxx解法注意到/n(x + l) =%-十+234則加()=2 (xh- +),取前 3 項令 x= 得 ln2=21n206931 尢35>/2 +1解法2：令g(x)=加(兀),rh導(dǎo)函數(shù)定義得g(x)=丄，則ay =,取x =e,得g(c)ar xx=-,取山=2血o 則4y = 2e ,那么g(2>/i)ag(e)+3 ,ee即ln(2/2) = ln2 心1+- = 2血,即加2 22 ,取血 心1.4142, e2.718,2ee3 e代入得加20.69