力學(xué)動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題

1、1 力學(xué)動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題所謂動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題是指通過(guò)控制某些物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢的變化 ，而在這個(gè)過(guò)程中物體又始終處于一系列的平衡狀態(tài)中。解決動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的思路是，明確研究對(duì)象。對(duì)物體進(jìn)行正確的受力分析。觀察物體受力情況，認(rèn)清哪些力是保持不變的，哪些力是改變的。選取恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題。根據(jù)受力分析的結(jié)果，我們歸納出解決動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的三種常用方法，分別是“圖解法 ” ， “相似三角形法 ”和“ 正交分解法 ” 。1、圖解法在同一圖中做出物體在不同平衡狀態(tài)下的力的矢量圖，畫(huà)出力的平行四邊形或平移成矢量三角形，由動(dòng)態(tài)力的平行四邊形（或三角形）的各邊長(zhǎng)度的變化確定力的大小及方向的變化情況。適用題型：（

2、 1）物體受三個(gè)力（或可等效為三個(gè)力）作用，三個(gè)力方向都不變，其中一個(gè)力大小改變。例 1、重 g 的光滑小球靜止在固定斜面和豎直擋板之間，若對(duì)小球施加一通過(guò)球心豎直向下的力 f 作用，且 f 緩慢增大，問(wèn)在該過(guò)程中，斜面和擋板對(duì)小球的彈力的大小f1、f2如何變化？解析：選取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球受自身重力g，斜面對(duì)小球的支持力f1，擋板對(duì)小球的彈力f2 和豎直向下的壓力f 四個(gè)力作用， 畫(huà)出受力示意圖如圖1-2 所示。 因?yàn)榱?f 和重力 g 方向同為豎直向下，所以可以將它們等效為一個(gè)力，設(shè)為f，這樣小球就等效為三個(gè)力作用，力的示意圖如圖1-3 所示。畫(huà)出以f1 和 f2 為鄰邊的力的平行四邊形

3、，因?yàn)槿ζ胶?，所以f1 和 f2 的合力 f合與 f等大反向（如圖1-4 所示） 。各力的方向不變,當(dāng) f 增大， f合應(yīng)隨之增大，對(duì)應(yīng)平行四邊形的對(duì)角線變長(zhǎng)，畫(huà)出另一個(gè)狀態(tài)的力的矢量圖（如圖1-5 所示），由圖中平行四邊形邊長(zhǎng)的變化可知f1 和 f2都在增大。根據(jù)物體在三個(gè)力的作用下平衡時(shí)，這三個(gè)力一定能構(gòu)成一個(gè)封閉的矢量三角形。這樣也可以將上述三個(gè)力f、f1、 f2 平移成矢量三角形（如圖1-6 所示），由 f增大，可畫(huà)出另一個(gè)狀態(tài)下的矢量三角形，通過(guò)圖像中三角形邊長(zhǎng)的變化容易看出f1 和 f2 都在增大。圖 1-1 圖 1-2 圖 1-3 圖 1-4 圖 1-5 圖 1-6 2 （ 2

4、）物體受三個(gè)力（或可等效為三個(gè)力）作用，一個(gè)力是恒力（通常是重力），其余兩個(gè)力中一個(gè)方向不變，另一個(gè)方向改變。例 2、如圖 2-1 所示， ob 繩水平， oa 繩與豎直墻面夾角為?，F(xiàn)保持 不變，將b 點(diǎn)緩慢上移，則 oa 繩和 ob 繩中的張力大小如何變化？解析： oa 繩和 ob 繩中張力就是兩根繩對(duì)o 點(diǎn)的拉力，所以選取o 點(diǎn)為研究對(duì)象，分析o 點(diǎn)受力如圖2-2 所示，其中f 為重物通過(guò)繩子對(duì)o 點(diǎn)的拉力（其大小等于物重）。當(dāng) b 點(diǎn)緩慢上移時(shí)，o 點(diǎn)一直處于三力平衡狀態(tài)。其中 f 的大小、 方向均不變， 是恒力。 f1 的方向不變， f2 的方向改變。畫(huà)出若干狀態(tài)下以f1 和 f2 為

5、鄰邊的平行四邊形，如圖2-3 所示。 f 不變，則平行四邊形的對(duì)角線不變；拉力f1 方向不變，則平行四邊形的一組鄰邊oa 方向不變。故由圖可以看出f1 逐漸減小，f2 先減小后增大。如果利用矢量三角形分析，如圖2-4 所示，拉力f、f1、f2 構(gòu)成一封閉矢量三角形，可以看出因 f 不變，所以三角形邊長(zhǎng)oa 不變；因?yàn)檫呴L(zhǎng)ab 變短，所以f1 變??；因?yàn)檫呴L(zhǎng)ob 先變短后又變長(zhǎng)，所以f2 先變小后變大。當(dāng)f2 與 f1 方向垂直時(shí)，f2 最小。所以 oa 繩中張力變小，ob 繩中張力先變小后變大。例 3、如圖 3-1 所示，一個(gè)重為30n 的重物，用繩懸于o 點(diǎn)，現(xiàn)用力拉重物，要使重物靜止在懸線

6、偏離豎直方向30角的位置，所用拉力f 的最小值為（）a 15n b 30n c n310d n315圖 2-1 圖 2-2 圖 2-3 圖 2-4 圖 3-1 圖 3-2 圖 3-3 圖 3-4 3 解析：選取重物為研究對(duì)象，受力圖如圖3-2 所示，其中g(shù) 為物體重力， t 為繩子對(duì)物體的拉力。因?yàn)橹匚镬o止，所以物體處于三力平衡狀態(tài)。t 和 f 的合力 g 應(yīng)與物重g 等大反向。當(dāng)拉力f的方向改變時(shí)，重力g 為一個(gè)恒力不變，拉力t 方向始終不變，因此畫(huà)出不同狀態(tài)下以t 和 f 為鄰邊的平行四邊形，如圖3-3 所示。在f 方向改變的過(guò)程中，平行四邊形的對(duì)角線不變，拉力t 對(duì)應(yīng)的鄰邊的方向不變，要

7、使拉力f 最小，就要使其對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)最短，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)f 與 t 垂直時(shí)， f最小。由三角函數(shù)知識(shí)可知，此時(shí)f=gsin30=30n0.5=15n。本題若利用矢量三角形解則更為方便，如圖3-4 所示，重力g，繩拉力t，拉力 f 構(gòu)成一封閉矢量三角形。因t 的方向不變，要使拉力f 最小，顯然應(yīng)當(dāng)是f 與 t 垂直時(shí)。所以選項(xiàng) a 正確。（ 3）物體受三個(gè)力（或可等效為三個(gè)力）作用，一個(gè)力是恒力，其余兩個(gè)力方向都改變。例 4、一個(gè)相框用輕繩對(duì)稱(chēng)的懸掛在一個(gè)固定在豎直墻面的釘子上（如圖4-1 所示），不計(jì)繩與釘子間摩擦。如果換用一根較短的輕繩以同樣的方式懸掛，問(wèn)繩子中的張力將怎樣變化？解析：選取相框?yàn)?/p>

8、研究對(duì)象，相框受重力g 和繩的拉力f 作用，由于是同一根繩子，所以?xún)蓚€(gè)拉力大小相等。雖然三個(gè)力的作用點(diǎn)不在同一點(diǎn)，但是它們的作用線交于同一點(diǎn)o，所以三個(gè)力是共點(diǎn)力。其受力圖如圖4-3 所示，由對(duì)稱(chēng)性可知，以?xún)蓚€(gè)拉力f 為鄰邊的平行四邊形是菱形。若換用較短繩子，則兩個(gè)拉力間的夾角變大（如圖4-3 所示），畫(huà)出此狀態(tài)下的受力圖，如圖 4-4 所示，由于 g 不變，所以菱形的對(duì)角線不變，當(dāng)兩拉力f 夾角變大時(shí)，菱形兩個(gè)鄰邊變長(zhǎng)，所以拉力f 變大。所以繩中的張力變大。2、相似三角形法畫(huà)出力的矢量三角形，找力學(xué)三角形與幾何三角形相似，利用各對(duì)應(yīng)邊成比例的關(guān)系，確定力的大小變化情況。適用題型：圖 4-1

9、圖 4-2 圖 4-3 圖 4-3 圖 4-4 4 物體受三個(gè)力（或可等效為三個(gè)力）作用，一個(gè)力是恒力，其余兩個(gè)力方向都改變。（通常問(wèn)題較復(fù)雜）例 5、如圖所示，在半徑為r 的光滑半球面上高為h 處懸掛一定滑輪，重力為g 的小球被站在地面上的人用繞過(guò)定滑輪的繩子拉住，人拉動(dòng)繩子，小球在與球面相切的某點(diǎn)緩慢運(yùn)動(dòng)到接近頂點(diǎn)的過(guò)程中，求小球?qū)Π肭虻膲毫屠K子的拉力大小將如何變化？解析：選取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球受豎直向下的重力g，沿繩子的拉力f 和沿半徑向外的支持力 n 三個(gè)力作用。將n 和 g 合成，其合力與f 等大反向（如圖5-2 所示） 。當(dāng)小球沿球面向上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， 拉力 f 和支持力n 的方

10、向都在改變，通過(guò)矢量三角形難以判斷n 和 f 的變化。 所以尋找相似三角形，容易證明圖中力學(xué)三角形（陰影部分）與幾何三角形oab 相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可得到以下關(guān)系：lfrnrhg，因?yàn)閔+r 不變，所以g 不變；因?yàn)閞 的長(zhǎng)度不變，所以n 的大小不變；因?yàn)閘 逐漸減小，所以f 逐漸減小。由牛頓第三定律，n 大小不變，則小球?qū)Π肭虻膲毫Υ笮∫膊蛔?。所以小球?qū)Π肭虻膲毫Υ笮〔蛔?，繩子的拉力逐漸變小。例 6、如圖所示，某人執(zhí)行一項(xiàng)特殊任務(wù)，需從半球形屋頂b 點(diǎn)向上緩慢爬行到a 點(diǎn)，他在爬行過(guò)程中（）a 屋頂對(duì)他的支持力變小b 屋頂對(duì)他的支持力變大c 屋頂對(duì)他的摩擦力變小d 屋頂對(duì)他的摩擦力變大解

11、析：選取人為研究對(duì)象，人受到重力g，沿半徑向外的支持力n 和沿球面切線方向向上的摩擦力f 三個(gè)力作用。將n 與 f 合成，其合力與 g 等大反向（如圖6-2 所示） 。當(dāng)人向上爬行時(shí)，n 與 f 的方向都在改變，而n 與 f 之間一直是垂直的，所以可以尋找相似三角形。過(guò) b 點(diǎn)做底面垂線bc 交底面于c 點(diǎn)，容易證明圖中力學(xué)三角形（陰影部分）與幾何三角形obc 相似。所以有：ocfbcnobg，因?yàn)?ob、g 不變，而 bc 變長(zhǎng)， oc 變短，所以n 變大， f 變小。所以選項(xiàng)b、c 正確。3、正交分解法利用正交分解建立坐標(biāo)系，將變力按選定的方向進(jìn)行分解，則有fx=0， fy=0。要抓住不變

12、量，通過(guò)角度變化導(dǎo)致三角函數(shù)變化，從而進(jìn)行判斷。注意選擇合適的坐標(biāo)系，一般應(yīng)遵循的原則是：不在坐標(biāo)軸上的力越少越好，各力與坐標(biāo)軸的夾角是特殊角為好。圖 5-1 圖 5-2 圖 6-1 圖 6-2 5 適用題型：物體受多個(gè)共點(diǎn)力作用（多力平衡）。例 7、人站在岸上通過(guò)定滑輪用繩牽引低處的小船，若水的阻力不變，則船在勻速靠岸的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是（）（a）繩的拉力不斷增大（b）繩的拉力保持不變（c）船受到的浮力保持不變（d）船受到的浮力不斷減小解析：選取小船為研究對(duì)象，分析其受力，小船受到重力g，拉力 f，浮力 f浮，阻力 f 共四個(gè)力作用。由于小船勻速運(yùn)動(dòng)，所以處于平衡狀態(tài)。利用正交分解法

13、， 在水平和豎直方向建立如圖7-2 所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拉力f 與水平方向的夾角為，將 f 按 x 軸和 y軸分解。由平衡條件和幾何關(guān)系可得：水平方向： f=fcos豎直方向： fsin+f浮=g 因船在靠岸過(guò)程中夾角在增大，所以cos減小，又 f 不變，所以f 增大。又因?yàn)閟in增大，所以fsin增大，因g 不變，所以f浮減小。所以選項(xiàng)a、d 正確。例 8、如圖所示，質(zhì)量分別為m，m 的兩個(gè)物體系在一根通過(guò)輕滑輪的輕繩兩端，m 放在水平地面上， m 被懸在空中，若將m 沿水平地面向右緩慢移動(dòng)少許后m 仍靜止，則（）a 繩中張力變大b 滑輪軸所受的壓力變大c m 對(duì)地面的壓力變大d m 所受的靜摩擦力變大解析：首先研究m，由 m 受力平衡知繩中拉力始終等于物體m 的重力，所以繩中張力不變，a 錯(cuò)誤。物體m 右移后，左段繩與豎直方向的夾角減小，即兩段繩對(duì)滑輪的拉力之間的夾角減小，所以