大學(xué)解析幾何

1、word.空間解析幾何根本知識(shí)一、向量1、空間中任意兩點(diǎn)和，那么向量2、向量、，那么1向量的模為233、向量的內(nèi)積12其中為向量的夾角，且注意：利用向量的內(nèi)積可求直線與直線的夾角、直線與平面的夾角、平面與平面的夾角。4、向量的外積遵循右手原那么，且、5、12二、平面1、平面的點(diǎn)法式方程平面過(guò)點(diǎn)，且法向量為，那么平面方程為注意：法向量為垂直于平面2、平面的一般方程，其中法向量為3、1平面過(guò)原點(diǎn) 2平面與軸平行與面垂直法向量垂直于軸如果，那么平面過(guò)軸平面與軸平行與面垂直法向量垂直于軸如果，那么平面過(guò)軸平面與軸平行與面垂直法向量垂直于軸如果，那么平面過(guò)軸3平面與面平行法向量垂直于面平面與面平行法向量

2、垂直于面平面與面平行法向量垂直于面注意：法向量的表示三、直線1、直線的對(duì)稱式方程過(guò)點(diǎn)且方向向量為直線方程注意：方向向量和直線平行2、直線的一般方程，注意該直線為平面和的交線3、直線的參數(shù)方程4、1方向向量，直線垂直于軸2方向向量，直線垂直于軸3方向向量，直線垂直于軸5、1方向向量，直線垂直于面2方向向量，直線垂直于面3方向向量，直線垂直于面應(yīng)用一、柱面1、設(shè)柱面的準(zhǔn)線方程為，母線的方向向量，求柱面方程方法：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)，那么過(guò)點(diǎn)的母線為 又因?yàn)樵跍?zhǔn)線上，故 1 2令 3由1、2、3消去求出，再把代入求出關(guān)于的方程，那么該方程為所求柱面方程例1：柱面的準(zhǔn)線為，而母線的方向?yàn)?，求這柱面方程。

3、解：在柱面的準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)，那么過(guò)點(diǎn)的母線為即1又因?yàn)樵跍?zhǔn)線上，故2，3由123得2、圓柱面是動(dòng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等的點(diǎn)的軌跡，該距離為圓柱面的半徑方法：在圓柱面上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做一平面垂直于對(duì)稱軸，該平面的法向量為對(duì)稱軸的方向向量，把該平面方程和對(duì)稱軸方程聯(lián)立求得平面和對(duì)稱軸的交點(diǎn)，那么為圓柱的半徑例2：圓柱面的軸為，點(diǎn)1，-2，1在此圓柱面上，求這個(gè)圓柱面的方程。解：設(shè)圓柱面上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的平面為軸方程的參數(shù)式為代入平面方程得 故該平面和軸的交點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)1，-2，1和軸垂直的平面和軸的交點(diǎn)為因?yàn)閳A柱截面的半徑相等，故利用距離公式得注意：也可找圓柱面的準(zhǔn)線圓處理例3：求以直線x=y

4、=z為對(duì)稱軸，半徑R=1的圓柱面方程解：在圓柱面上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的平面為軸方程的參數(shù)式為代入平面方程得 故該平面和軸的交點(diǎn)為M1那么的長(zhǎng)等于半徑R=1故利用距離公式得即所求方程為二、錐面錐面是指過(guò)定點(diǎn)且與定曲線相交的所有直線產(chǎn)生的曲面。這些直線是母線，定點(diǎn)為頂點(diǎn)，定曲線為準(zhǔn)線。1、設(shè)錐面的準(zhǔn)線為，頂點(diǎn)為，求錐面方程方法：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)，那么過(guò)點(diǎn)的母線為 1又因?yàn)樵跍?zhǔn)線上，故 2 2由1、2、3消去求出關(guān)于的方程，那么該方程為所求錐面方程例1錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且準(zhǔn)線為，求這錐面方程。解：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)，那么過(guò)點(diǎn)的母線為 又因?yàn)樵跍?zhǔn)線上，故且上面三個(gè)方程消去得2、圓錐面圓錐面的頂點(diǎn)，

5、對(duì)稱軸或軸的方向向量為，求圓錐面方程方法：在母線上任取一點(diǎn)，那么過(guò)該點(diǎn)的母線的方向向量為利用和的夾角不變建立關(guān)于的方程，該方程為所求例2求以三根坐標(biāo)軸為母線的圓錐面的方程。解：在坐標(biāo)軸上取三點(diǎn)，那么過(guò)三點(diǎn)的平面為故對(duì)稱軸的方向向量為，一條母線的方向向量為，那么母線和對(duì)稱軸的夾角為，即在母線上任取一點(diǎn)，那么過(guò)該點(diǎn)的母線的方向向量為所以例3圓錐面的頂點(diǎn)為，軸垂直于平面，母線和軸成，求圓錐面方程解：在母線上任取一點(diǎn)，軸的方向向量為，母線的方向向量為那么即 三、旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線方程為，旋轉(zhuǎn)軸為，求旋轉(zhuǎn)曲面方程方法：在母線上任取一點(diǎn)，所以過(guò)的緯圓方程又因?yàn)樵谀妇€上，有由上述四個(gè)方程消去的方程為旋

6、轉(zhuǎn)曲面例4求直線繞直線：旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：在母線上任取一點(diǎn)，那么過(guò)的緯圓方程又因?yàn)樵谀妇€上，有由上述方程消去的方程得四、幾種特殊的曲面方程1、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程設(shè)柱面的準(zhǔn)線是平面上的曲線，那么柱面方程為設(shè)柱面的準(zhǔn)線是平面上的曲線，那么柱面方程為設(shè)柱面的準(zhǔn)線是平面上的曲線，那么柱面方程為注意：1母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程中只含兩個(gè)字母 2準(zhǔn)線為坐標(biāo)平面內(nèi)的橢圓、雙曲線、拋物線等柱面稱為橢圓柱面、雙曲線柱面、拋物線柱面例求柱面方程1準(zhǔn)線是，母線平行于軸解：柱面方程為2準(zhǔn)線是，母線平行于軸解：柱面方程為3準(zhǔn)線是，母線平行于軸解：2、母線在坐標(biāo)面上，旋轉(zhuǎn)軸是坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)母

7、線是，旋轉(zhuǎn)軸是軸的旋轉(zhuǎn)曲面為；旋轉(zhuǎn)軸是軸的旋轉(zhuǎn)曲面為同理可寫出其它形式的旋轉(zhuǎn)曲面方程注意：此類旋轉(zhuǎn)方程中一定含有兩個(gè)字母的平方和的形式，且它們的系數(shù)相等。例方程是什么曲面，它是由面上的什么曲線繞什么軸旋轉(zhuǎn)而成的解：面上的繞軸旋轉(zhuǎn)而成的3、平行于坐標(biāo)面的平面和曲面的交線方程平行于面的平面和曲面的交線為平行于面的平面和曲面的交線為平行于面的平面和曲面的交線為例求曲面和三個(gè)坐標(biāo)面的交線1解：、2解：注意在面上無(wú)交線3解：在面上交于一點(diǎn)五、求投影 1、求點(diǎn)在平面上的投影、求點(diǎn)到平面的距離、求關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)方法：1過(guò)點(diǎn)作直線垂直于平面，該直線的方向向量為平面的法向量2求直線和平面的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為點(diǎn)在平

8、面上的投影例51求點(diǎn)在平面上的投影2求點(diǎn)到平面的距離，并求該點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)1求過(guò)直線且與點(diǎn)的距離為1的平面方程2、求點(diǎn)在直線上的投影、求點(diǎn)到直線的距離、求關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)方法：1過(guò)點(diǎn)作平面垂直于直線，該平面的法向量為直線的方向向量2求直線和平面的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為點(diǎn)在直線上的投影例61求點(diǎn)到直線的距離，該點(diǎn)在直線上的投影2求點(diǎn)到直線的距離3、直線在平面上的投影方法：1過(guò)直線作平面和平面垂直，該平面的法向量為直線的方向向量和平面法向量的外積2聯(lián)立兩個(gè)平面方程所得直線為該直線在平面上的投影例71求直線在平面上的投影直線的方程2直線在面上的投影為，在面上的投影為，求直線在面上的投影4、曲線在坐標(biāo)

9、面上的投影柱面及投影方法：1消去得，那么為曲線在面上的投影2消去得，那么為曲線在面上的投影3消去得，那么為曲線在面上的投影例1求球面與平面的交線在面上的投影柱面及投影2把曲線的方程用母線平行于軸和軸的兩個(gè)投影柱面方程表示解：消去得母線平行于軸的投影柱面方程；消去得母線平行于軸的投影柱面方程，因此曲線可表示為五、求平面方程1、過(guò)直線的平面方程可設(shè)為如果直線方程是點(diǎn)向式或參數(shù)式可轉(zhuǎn)化為上述形式處理例1在過(guò)直線的平面中找出一個(gè)平面，使原點(diǎn)到它的距離最長(zhǎng)。2平面過(guò)軸，且與平面的夾角為，求該平面方程兩平面夾角等于兩法向量的夾角或兩法向量的夾角的補(bǔ)角3求過(guò)點(diǎn)和直線的平面方程4過(guò)直線作平面，使它平行于直線

10、(5)過(guò)平面和的交線作切于球面的平面6求由平面所構(gòu)成的兩面角的平分面方程 2、利用點(diǎn)法式求平面方程注意：1任何垂直于平面的向量均可作為平面的法向量2和平面平行的平面可設(shè)為3如存在兩個(gè)向量、和平面平行或在平面內(nèi)，那么平面的法向量為例1兩直線為，求過(guò)兩直線的平面方程2求過(guò)和兩點(diǎn)，且垂直于平面的平面3一平面垂直于向量且與坐標(biāo)面圍成的四面體體積為9，求平面方程4球面與一通過(guò)球心且與直線垂直的平面相交，求它們的交線在面上的投影3、軌跡法求方程方法：1設(shè)平面上任一一點(diǎn)2列出含有的方程化簡(jiǎn)的平面方程例求由平面和所構(gòu)成的二面角的平分面的方程六、求直線方程1、把直線的一般方程化為點(diǎn)向式方程方法：直線方程為，那么

11、該直線的方向向量為在直線上任取一點(diǎn)，那么直線方程為例化直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程2、根據(jù)直線的方向向量求直線方程例1過(guò)點(diǎn)，且平行于兩相交平面和的直線方程2求過(guò)點(diǎn)，且與直線平行的直線方程3求過(guò)點(diǎn)，且與平面平行，又與直線垂直的直線方程注意：一直線和兩直線垂直；一直線和兩平面平行；一直線和一平面平行，和另一直線垂直均可確定直線的方向向量3、利用直線和直線的位置關(guān)系求直線方程注意：1兩直線平行，那么，其中和為直線的方向向量2兩直線和相交，那么且3兩直線和異面，其中公垂線的方向向量為，那么兩異面直線的距離為；公垂線方程為例1求通過(guò)點(diǎn)且與兩直線和都相交的直線方程解：設(shè)所求直線的方向向量為，兩直線的方向向量為

12、、，且分別過(guò)點(diǎn)、那么，即；，即故，故所求直線為2兩異面直線和，求它們的距離與公垂線方程3求與直線平行且與以下兩直線相交的直線和4求過(guò)點(diǎn)與軸相交，且與直線垂直的直線方程習(xí)題1、柱面的準(zhǔn)線為且1母線平行于軸2母線平行于直線，求柱面方程2、柱面的準(zhǔn)線為母線垂直于準(zhǔn)線所在的方程，求柱面方程3、求過(guò)三條平行線的圓柱面方程4、求頂點(diǎn)為原點(diǎn)，準(zhǔn)線為的錐面方程5、頂點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，求錐面方程6、頂點(diǎn)為，軸垂直于平面，且過(guò)點(diǎn)，求該圓錐面的方程7、求以下旋轉(zhuǎn)曲面方程1直線繞直線旋轉(zhuǎn)2直線繞直線旋轉(zhuǎn)3直線繞直線旋轉(zhuǎn)4曲線繞直線旋轉(zhuǎn)8例求曲面和三個(gè)坐標(biāo)面的交線1 2 391求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)2求點(diǎn)到直線的距離，10求直線在平面上的投影直線的方程11求曲線在三個(gè)坐標(biāo)面的投影柱面和投影 121過(guò)直線作平面，使它垂直于平面2求過(guò)點(diǎn)和直線的平面方程3求過(guò)兩平面、交線且與平面垂直的平面4求過(guò)點(diǎn)和直線的平面方程5過(guò)直線且與直線垂直6過(guò)直線且與平面垂直的平面(7)在過(guò)直線的所有平面中找出一個(gè)平面，使它與原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)131求平行于平面且與球面相切的平面方程2求過(guò)兩直線、的平面方程3求和平面平行，且距離為3的平面4求和兩直線，平行且與兩直線等距離的平面方程5求過(guò)點(diǎn)，且垂直于平面與的平面方程141求由平面和所構(gòu)成的二面角的平分面的方程2動(dòng)