地圖投影基本理論

1、第 二 章地圖投影基本理論學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求1掌握地圖投影的概念與若干定義掌握地圖投影的概念與若干定義2掌握地圖投影的基本公式掌握地圖投影的基本公式3掌握等角條件、等面積條件與等距離條件掌握等角條件、等面積條件與等距離條件 4了解地圖投影的類型了解地圖投影的類型學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn) 1掌握主方向、變形橢圓的概念掌握主方向、變形橢圓的概念2掌握地圖投影長度比、面積比、角度變形的基本公式掌握地圖投影長度比、面積比、角度變形的基本公式3掌握等角條件、等面積條件與等距離條件掌握等角條件、等面積條件與等距離條件學(xué)習(xí)難點(diǎn)學(xué)習(xí)難點(diǎn)1長度比的基本公式長度比的基本公式2投影的三種條件投影的

2、三種條件地球表面的經(jīng)緯線網(wǎng)格與平面建立了相互對應(yīng)的網(wǎng)格的數(shù)學(xué)地球表面的經(jīng)緯線網(wǎng)格與平面建立了相互對應(yīng)的網(wǎng)格的數(shù)學(xué)關(guān)系時，則地球表面各該網(wǎng)格內(nèi)的要素也能滿足這種數(shù)學(xué)法則而關(guān)系時，則地球表面各該網(wǎng)格內(nèi)的要素也能滿足這種數(shù)學(xué)法則而被表示在平面上。被表示在平面上。地圖投影地圖投影：利用一定的數(shù)學(xué)法則把地球表面上的經(jīng)緯線網(wǎng)表示：利用一定的數(shù)學(xué)法則把地球表面上的經(jīng)緯線網(wǎng)表示到平面上。到平面上。主要內(nèi)容主要內(nèi)容：研究把曲面表示到平面所采用的各種數(shù)學(xué)法則。：研究把曲面表示到平面所采用的各種數(shù)學(xué)法則。如果地球表面上有一點(diǎn)如果地球表面上有一點(diǎn)A (，)，它在平面上的對應(yīng)點(diǎn)是，它在平面上的對應(yīng)點(diǎn)是A(x，y)，此兩

3、點(diǎn)坐標(biāo)之間可用下列函數(shù)關(guān)系式表示：，此兩點(diǎn)坐標(biāo)之間可用下列函數(shù)關(guān)系式表示： (2-1)第一節(jié)地圖投影的概念與若干定義第一節(jié)地圖投影的概念與若干定義由于球面上經(jīng)緯線是連續(xù)而規(guī)則的曲線，而地圖上一定范由于球面上經(jīng)緯線是連續(xù)而規(guī)則的曲線，而地圖上一定范圍之內(nèi)經(jīng)緯線也必定是連續(xù)和規(guī)則的，因此規(guī)定：圍之內(nèi)經(jīng)緯線也必定是連續(xù)和規(guī)則的，因此規(guī)定：在一定的區(qū)域內(nèi)，函數(shù)在一定的區(qū)域內(nèi)，函數(shù)f1、f2應(yīng)單值、有限而連續(xù)。應(yīng)單值、有限而連續(xù)。如果從如果從(2-1)中消去中消去，可得經(jīng)線投影方程式：，可得經(jīng)線投影方程式： F1(x，y，)=0(2-2)如若消去如若消去，便有緯線投影方程式：，便有緯線投影方程式： F2

4、(x，y，)=0(2-3)如在如在(2-1)式中令式中令0常數(shù)，則方程常數(shù)，則方程 (2-4) 表示經(jīng)度為表示經(jīng)度為0的經(jīng)線方程的經(jīng)線方程 同樣，如同樣，如0常數(shù)，則方程常數(shù)，則方程 (2-5)表示緯度為表示緯度為0的緯線方程式。的緯線方程式。以上各式就是地圖投影中曲面與平面關(guān)系的基本表達(dá)式。以上各式就是地圖投影中曲面與平面關(guān)系的基本表達(dá)式。地球表而上的長度、面積、角度經(jīng)過投影，一般地其量值都地球表而上的長度、面積、角度經(jīng)過投影，一般地其量值都會發(fā)生某種變化。為此，給定以下一些基本定義：會發(fā)生某種變化。為此，給定以下一些基本定義：長度比長度比 地面上微分線段投影后長度地面上微分線段投影后長度d

5、s與它固有長度與它固有長度ds之之比值：比值：面積比面積比P地面上微分面積投影后的大小地面上微分面積投影后的大小dF與它固有的面積與它固有的面積dF之比值：之比值：(2-6)(2-7)在同一個投影中，不同點(diǎn)上的長度比和面積比的數(shù)值一般在同一個投影中，不同點(diǎn)上的長度比和面積比的數(shù)值一般是不固定的。長度比和面積比的變化顯示了投影中長度和面積是不固定的。長度比和面積比的變化顯示了投影中長度和面積的變化。為確切地賦予這種變化在數(shù)量上的描述，應(yīng)引進(jìn)長度的變化。為確切地賦予這種變化在數(shù)量上的描述，應(yīng)引進(jìn)長度變形與面積變形的概念。變形與面積變形的概念。長度變形長度變形 長度比與長度比與1之差值。之差值。 面

6、積變形面積變形 面積比與面積比與1之差值。之差值。 角度變形角度變形某一角度投影后角值某一角度投影后角值與它在地面上固有的角度與它在地面上固有的角度值值之差值：之差值： - (2-10)(2-8)(2-9)主比例尺主比例尺計算地圖投影或制作地圖時，必須將地球計算地圖投影或制作地圖時，必須將地球(橢球體橢球體或球體或球體)按一定比率縮小而表示在平面上，這個比率稱為地圖的按一定比率縮小而表示在平面上，這個比率稱為地圖的主比例尺，或稱普通比例尺。因而一幅地圖上注明的比例尺實主比例尺，或稱普通比例尺。因而一幅地圖上注明的比例尺實際上僅是該圖的主比例尺。際上僅是該圖的主比例尺。 局部比例尺局部比例尺地圖

7、上除保持主比例尺的點(diǎn)或線以外其它部分地圖上除保持主比例尺的點(diǎn)或線以外其它部分上的比例尺。局部比例尺的變化比較夏雜，它們依投影的性質(zhì)上的比例尺。局部比例尺的變化比較夏雜，它們依投影的性質(zhì)不同，常常是隨線段的方向和位置而變化的。不同，常常是隨線段的方向和位置而變化的。為方便起見，在研究投影和推導(dǎo)公式時，常令主比例尺數(shù)值為方便起見，在研究投影和推導(dǎo)公式時，常令主比例尺數(shù)值為為1。第二節(jié)地圖投影的基本公式第二節(jié)地圖投影的基本公式為建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各元素為建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各元素（線段、面積、角度）與它們在平面上的表象的對應(yīng)關(guān)系式，以（線段、面積、角

8、度）與它們在平面上的表象的對應(yīng)關(guān)系式，以便于利用這些關(guān)系式導(dǎo)出地圖投影的基本公式。便于利用這些關(guān)系式導(dǎo)出地圖投影的基本公式。球面微分梯形球面微分梯形ABCD，其間經(jīng)差為，其間經(jīng)差為d，緯差為，緯差為d。AC為微為微分梯形的對角線分梯形的對角線dS，它與經(jīng)線，它與經(jīng)線AP的夾角為的夾角為。沿經(jīng)線微分線段沿經(jīng)線微分線段沿緯線微分線段沿緯線微分線段對角線對角線AC可表示為：可表示為：C點(diǎn)對點(diǎn)對A點(diǎn)方位角點(diǎn)方位角：sin=rdL/ds，cos=MdB/ds梯形梯形ABCD的面積：的面積：dF=MrdBdL 微分梯形在平面上的表象為平行四邊形微分梯形在平面上的表象為平行四邊形ABCDBxDACdsmnd

9、sdxdyOXYdsn對下式微分對下式微分得得對各偏導(dǎo)數(shù)組合做以下記號對各偏導(dǎo)數(shù)組合做以下記號將dx,dy的全微分式代入于是有若先后取dL=0，dB=0，則可獲得平面上經(jīng)、緯微分線段的表達(dá)式對角線對角線AC與與x軸之夾角軸之夾角有關(guān)系式：有關(guān)系式：dxdydsdxdsdytancossinBxDACdsmndsdxdyOXYdsndxdxdydytan 是任意方向與軸夾角。當(dāng)是任意方向與軸夾角。當(dāng)d和和d為零時，對應(yīng)經(jīng)緯為零時，對應(yīng)經(jīng)緯線方向與軸夾角線方向與軸夾角yEdEdydsdymm1sinxEdEdxdsdxmm1cosyGdGdydsdynn1sinxGdGdxdsdxnn1cos經(jīng)緯

10、線投影后的夾角經(jīng)緯線投影后的夾角mnBAD360EGHyxyxEGmn1)sin(sinEGFyyxxEGmn1)cos(cos經(jīng)緯線投影后的夾角經(jīng)緯線投影后的夾角 與與90度之差值度之差值HFtan1)90tan(tan微分線段微分線段ds的方位角的方位角（以經(jīng)線順時針方向計算至（以經(jīng)線順時針方向計算至 ds，即，即的投的投影）影）EdsHddxydyxEdsm1)sin(sinEdsFdEddyydxxEdsm1)cos(cos微分梯形投影后的面積，即（以經(jīng)線順時針方向計算至微分梯形投影后的面積，即（以經(jīng)線順時針方向計算至 ds，即即的投影），即平行四邊形的投影），即平行四邊形ABCD的面

11、積：的面積：dHddsdsdFnmsin-等角條件、等面積條件與等距離條件等角條件、等面積條件與等距離條件等角條件等角條件：1）經(jīng)緯線投影后正交，）經(jīng)緯線投影后正交，902）一點(diǎn)上任一方向的方位角投影前后保持相等，）一點(diǎn)上任一方向的方位角投影前后保持相等，EGHF 或0EsdEddsMdEsdHddsrd0yyxxMErGdsds把、代入前式，并由后式求出后將其代入前式得把、代入前式，并由后式求出后將其代入前式得yxMryyMrx等面積條件等面積條件 dF=dFdHddsdsdFnmsindF=MrddMryxyxMrH 或而等距離投影條件：沿某特定方向長度比為等距離投影條件：沿某特定方向長度

12、比為1。12222222drdMdFdGdEddsds當(dāng)當(dāng) 時，為沿經(jīng)、緯線長度比。時，為沿經(jīng)、緯線長度比。00dd沿經(jīng)線等距離：沿經(jīng)線等距離：沿緯線等距離：沿緯線等距離：1MEm1rGn等角投影條件：等角投影條件：等面積投影條件：等面積投影條件：MErGdsdsnm MrHEGHyxyxEGmn1)sin(sinMrEGsin1sinnm 小比例尺制圖時，用球體代替地球橢球時，等角、等積、小比例尺制圖時，用球體代替地球橢球時，等角、等積、等距條件如何表示？等距條件如何表示？cosRrNMR-等角條件、等面積條件與等距離條件等角條件、等面積條件與等距離條件n等角條件n等面積條件0yyxxMEr

13、GdsdsxMryyMrx或MryxyxMrH 或等距離投影條件等距離投影條件沿經(jīng)線等距離：沿經(jīng)線等距離：沿緯線等距離：沿緯線等距離：1MEm1rGn等角投影條件：等角投影條件：等面積投影條件：等面積投影條件：nm 1sinnmn一點(diǎn)上任意方向長度比的定義：一點(diǎn)上任意方向長度比的定義：-4 地圖投影中變形的理論地圖投影中變形的理論它隨點(diǎn)的位置（經(jīng)緯度）、方位角而變化。它隨點(diǎn)的位置（經(jīng)緯度）、方位角而變化。當(dāng)當(dāng)=0或或=90時，即為時，即為2222dsdFdGdEddsds將：將：sin=rd/ds，cos=Md/ds 代入上式得：代入上式得：MEm rGn引入引入m、n，（，（1）式也可表示為

14、：）式也可表示為：rMnmEG（1）主方向與極值長度比 將（）式對將（）式對求一階導(dǎo)數(shù)，并設(shè)在求一階導(dǎo)數(shù)，并設(shè)在 0時有極值時有極值02cos22sin2sin002022MrFrGMEdd220220cos2tan22tannmmnrGMEMrF或化簡后有：化簡后有：考慮正切函數(shù)周期，上式有二解：考慮正切函數(shù)周期，上式有二解：0及及0+180。對應(yīng)。對應(yīng)極值長度比的方向有極值長度比的方向有0及及0+90。結(jié)論：結(jié)論：極值長度比在橢球體表面處于兩個互相垂直的方向上。極值長度比在橢球體表面處于兩個互相垂直的方向上。稱這兩個特殊的方向為主方向主方向。將極值長度比的方向?qū)O值長度比的方向0及及0+9

15、0代入（代入（1）式的二階導(dǎo)數(shù)，）式的二階導(dǎo)數(shù)，則二者必反符號。也即一個為極大值，一個為極小值。則二者必反符號。也即一個為極大值，一個為極小值。在平面上兩個主方向仍保持在平面上兩個主方向仍保持正交。正交。ddFEddHFdEdHdtantantanrMddMdrdtantantanMFErHM將極值長度比的方向?qū)O值長度比的方向0及及0+90代入右式代入右式000tantantanMFErHM0001cotcottanMFErHM)cot(tantantan00222222010 ErMFFMrEMHFMrGMEr220002cot2cottan22022tanrGMEMrF1tantan01

16、0 主方向與極值長度比n極值長度比極值長度比：一點(diǎn)上各長度比中的最大值與最小值。一點(diǎn)上各長度比中的最大值與最小值。n極值長度比在橢球體表面處于兩個互相垂直的方向上極值長度比在橢球體表面處于兩個互相垂直的方向上n主方向主方向：極值長度比的兩個互相垂直的方向。：極值長度比的兩個互相垂直的方向。n在平面上兩個主方向仍保持在平面上兩個主方向仍保持正交。正交。 變形橢圓變形橢圓 用來論述和顯示投影變形的工具。用來論述和顯示投影變形的工具。 地面一點(diǎn)的微分圓地面一點(diǎn)的微分圓(也稱單位圓也稱單位圓)，在投影后一般地成為一個微，在投影后一般地成為一個微分橢圓，利用這個微分橢圓能較恰當(dāng)?shù)?、直觀地顯示變形的特征。

17、分橢圓，利用這個微分橢圓能較恰當(dāng)?shù)?、直觀地顯示變形的特征。222ryxnyymxx122222nrymrxrnymx斜坐標(biāo)系在應(yīng)用上不甚方便。斜坐標(biāo)系在應(yīng)用上不甚方便。主方向投影后保持正交且為極值。主方向投影后保持正交且為極值。取主方向的直徑作為微分圓的坐標(biāo)軸，在對應(yīng)平面上它們?nèi)≈鞣较虻闹睆阶鳛槲⒎謭A的坐標(biāo)軸，在對應(yīng)平面上它們成為橢圓的長短半軸。成為橢圓的長短半軸。以以1和和2表示沿主方向的長度比。表示沿主方向的長度比。12221ryrx如用如用、b表示橢圓的長短半軸，則表示橢圓的長短半軸，則a=1rb=2r令微分圓半徑令微分圓半徑r=1，則有：，則有：a=1b=2結(jié)論：結(jié)論：微分橢圓長、短半

18、軸的大小，等于微分橢圓長、短半軸的大小，等于O點(diǎn)上主方向的長度比。點(diǎn)上主方向的長度比。如果一點(diǎn)上主方向的長度比如果一點(diǎn)上主方向的長度比(極值長度比極值長度比)已經(jīng)決定，則微分橢已經(jīng)決定，則微分橢圓的大小及形狀即可決定。圓的大小及形狀即可決定。 求定一點(diǎn)上與主方向夾角為求定一點(diǎn)上與主方向夾角為的的OAOA半徑的長度比半徑的長度比rrOAOA2222)()(byaxrbyyaxxyxr而22222222sincos)()(barybrxarr上式即為微分圓上任一點(diǎn)長度比與極值長度比之關(guān)系式。上式即為微分圓上任一點(diǎn)長度比與極值長度比之關(guān)系式。變形橢圓的方位角變形橢圓的方位角變形橢圓長半軸與經(jīng)線的夾角

19、變形橢圓長半軸與經(jīng)線的夾角22220bmmaabtg122byaxxy00mOn在直角三角形在直角三角形AOA0中中0000sincosmAAymAOx代入橢圓方程代入橢圓方程1sincos20222022bmam1)tan1 (tan)tan1 (0220220222bmam用三角基本公式可化上式為用三角基本公式可化上式為化簡后即為化簡后即為得得沿經(jīng)、緯線長度比與極值長度比的關(guān)系式沿經(jīng)、緯線長度比與極值長度比的關(guān)系式n一點(diǎn)上任意方向長度比與沿經(jīng)、緯線長度比的關(guān)系式一點(diǎn)上任意方向長度比與沿經(jīng)、緯線長度比的關(guān)系式22sin2nmnmbasinmnab 2/ )2cos1 (cos2/ )2cos

20、1 (sin002002以以a、b表示極值長度比的二極值，則有表示極值長度比的二極值，則有當(dāng)當(dāng) 時時有極值且有極值且220cos2tannmmn由可得由可得 代入代入(2)式式002cos2sin及(2)02/sin4222222222nmnmnme利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可最終獲得利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可最終獲得面積比用沿經(jīng)、緯線長度比表示面積比用沿經(jīng)、緯線長度比表示面積比引用公式引用公式可得可得sinsinnmMrEGMrHdMrddHddFdFPsinmnab abP rMnmEG角度變形地面上某一方向與主方向組地面上某一方向與主方向組成的角度與它投影后角度關(guān)系成的角度與它

21、投影后角度關(guān)系tgbaaxbyxytg最大角度變形最大角度變形tgbatgtgtgbatgtg)1(coscos)sin()1(coscos)sin()sin()sin()sin()sin(babababa以表示最大值以表示最大值2/4/454/452/900004/45tantantan)4/45tan(00abab4/45cot)4/45tan(00ab)4/45tan(0111A1A3角度變形的公式重要關(guān)系式總結(jié)1長度比公式 2面積比公式 經(jīng)緯線夾角變形公式經(jīng)緯線夾角變形公式經(jīng)緯線投影后的夾角為經(jīng)緯線投影后的夾角為經(jīng)緯線投影后的夾角變形為經(jīng)緯線投影后的夾角變形為 最大角度變形公式最大角度

22、變形公式 a、b作為主方向的長度比作為主方向的長度比(極值長度比極值長度比)。以上公式中以上公式中E E、F F、G G、H H稱為一階基本量，稱為一階基本量，或稱高斯系數(shù)。具體或稱高斯系數(shù)。具體含義如右：含義如右：在在等角投影等角投影中沒有角度變形，而中沒有角度變形，而面積變形最大面積變形最大。這。這種投影主要是依靠增大面積變形而達(dá)到保持角度不變種投影主要是依靠增大面積變形而達(dá)到保持角度不變( (即圖形相似即圖形相似) )的。在的。在等積投影等積投影中沒有面積變形，但中沒有面積變形，但角角度變形最大度變形最大，即這種投影主要是依靠增大角度變形而，即這種投影主要是依靠增大角度變形而保持面積相等

23、。至于等距離投影，既有角度變形又有保持面積相等。至于等距離投影，既有角度變形又有面積變形，兩種變形其量值近似相等，而且這種投影面積變形，兩種變形其量值近似相等，而且這種投影的變形值也是介于等角與等面積投影之間的。的變形值也是介于等角與等面積投影之間的。等變形線等變形線等變形線是投影中各種變形相等的點(diǎn)的軌跡線。等變形線是投影中各種變形相等的點(diǎn)的軌跡線。用來顯示投影變形的分布及變化規(guī)律。用來顯示投影變形的分布及變化規(guī)律。 在變形分布較復(fù)雜的投影中，難以繪出許多變形在變形分布較復(fù)雜的投影中，難以繪出許多變形橢圓，或列出一系列變形值來描述圖幅內(nèi)不同位置的橢圓，或列出一系列變形值來描述圖幅內(nèi)不同位置的變

24、形變化狀況。變形變化狀況。計算出一定數(shù)量的經(jīng)緯線交點(diǎn)上的變形值，再利計算出一定數(shù)量的經(jīng)緯線交點(diǎn)上的變形值，再利用插值的方法描繪出一定數(shù)量的等變形線。用插值的方法描繪出一定數(shù)量的等變形線。在制圖區(qū)域較大而且變形分布亦較復(fù)雜時經(jīng)常采在制圖區(qū)域較大而且變形分布亦較復(fù)雜時經(jīng)常采用的一種方法。用的一種方法。1、依外在的特征進(jìn)行分類依外在的特征進(jìn)行分類： 在投影平面上經(jīng)緯線投影的形狀具有直觀的明顯性在投影平面上經(jīng)緯線投影的形狀具有直觀的明顯性 2、依內(nèi)在的性質(zhì)來進(jìn)行分類依內(nèi)在的性質(zhì)來進(jìn)行分類： 投影內(nèi)蘊(yùn)的變形的實質(zhì)投影內(nèi)蘊(yùn)的變形的實質(zhì)在決定投影的分類時，應(yīng)把兩者結(jié)合起來，才能較完整地在決定投影的分類時，應(yīng)

25、把兩者結(jié)合起來，才能較完整地表達(dá)投影。表達(dá)投影。-5地圖投影的分類分析投影中經(jīng)緯度與投影直角坐標(biāo)分析投影中經(jīng)緯度與投影直角坐標(biāo)(或極坐標(biāo)或極坐標(biāo))之間的關(guān)系，之間的關(guān)系，無非存在如下幾種情況：無非存在如下幾種情況： .5.1地圖投影按經(jīng)緯線形狀分類以上這些關(guān)系可以用下列圖解來說明經(jīng)緯線的形狀：以上這些關(guān)系可以用下列圖解來說明經(jīng)緯線的形狀：相應(yīng)于圖相應(yīng)于圖中的類別中的類別投影名稱投影名稱經(jīng)緯線形狀經(jīng)緯線形狀限定特征限定特征經(jīng)線經(jīng)線緯線緯線C（右）（右）C（右）（右）圓錐投影圓錐投影方位投影方位投影直線束直線束直線束直線束同心圓弧同心圓弧同心圓同心圓經(jīng)線間隔相等，交經(jīng)線間隔相等，交于緯線圓心于緯線圓心同上，且經(jīng)線夾同上，且經(jīng)線夾角等于經(jīng)差角等于經(jīng)差C（左）（左）圓柱投影圓柱投影平行直線平行直線平行直線平行直線經(jīng)緯線正交經(jīng)緯線正交B2（右）（右）B2（右）（右）偽圓錐偽圓錐偽方位偽方位對稱曲線對稱曲線對稱曲線對稱曲線同心圓弧同心圓弧同心圓同心圓B2（左）（左）A （右）（右）偽圓柱偽圓柱多圓錐多圓錐對稱曲線對稱曲線對稱曲線對稱曲線平行直線平行直線同軸圓弧同軸圓弧不同位置的情況，具體地說，可以分為：正軸投影(極投影)斜軸投影(水平投影)橫軸投影(赤道投影)為調(diào)整變形分布，投影面可以與地球相切或相割。 .5.2 按內(nèi)蘊(yùn)的特征(