新版高考數(shù)學(xué)題型全歸納：用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式要點講解(含答案)

1、1 1 用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式求數(shù)列的通項公式是高考重點考查的內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列-等差數(shù)列等比數(shù)列可直接根據(jù)它們的通項公式求解，但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，之后再應(yīng)用各自的通項公式求解，體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用。例 1: （06 年福建高考題）數(shù)列nnnnaaaaa則中12, 1,11 ( ) a n2 b12n c12n d12n解法 1：121nnaa) 1(22211nnnaaa又211a2111nnaa1na是首項為2 公比為 2 的等比數(shù)列12,22211nnnnnaa, 所以選 c 解法 2 歸納總結(jié)：若數(shù)列na滿足qpqpaann, 1(1為常數(shù)

2、），則令)(1nnapa來構(gòu)造等比數(shù)列，并利用對應(yīng)項相等求的值，求通項公式。例 2：數(shù)列na中，nnnaaaaa23, 3, 11221，則na。解：)(2112nnnnaaaa212aa1nnaa為首項為 2 公比也為2 的等比數(shù)列。112nnnaa， （n1）n1 時1221211222)()()(21112211nnnnnnnnnaaaaaaaa顯然 n=1 時滿足上式na12n小結(jié)：先構(gòu)造nnaa1等比數(shù)列，再用疊加法, 等比數(shù)列求和求出通項公式，例 3：已知數(shù)列na中) 3( ,32,2, 52121naaaaannn求這個數(shù)列的通項公式。解：2132nnnaaa)(3211nnnn

3、aaaa又121,7nnaaaa形成首項為7，公比為 3 的等比數(shù)列，則2137nnnaa又)3(3211nnnnaaaa，13312aa，13nnaa形成了一個首項為13，公比為 1 的等比數(shù)列則21)1()13(3nnnaa311)1(13374nnna11)1(413347nnna小結(jié)：本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列，屬于構(gòu)造方面比較級，最終用加減消元的方法確定出數(shù)列的通項公式。例 4： 設(shè)數(shù)列na的前項和為nnnnsas22,若成立，(1) 求證：12nnna是等比數(shù)列。(2) 求這個數(shù)列的通項公式證明： (1) 當(dāng)2,) 1(2, 1111aababn又nnnsbab)1(2111)1(2n

4、nnsbab11)1(2nnnnabababnnnaba21當(dāng)2b時，有nnnaa221)2(22) 1(222)1(11nnnnnnnnanana又12111a12nnna為首項為1，公比為2 的等比數(shù)列，(2)1112)1(,22nnnnnnana小結(jié)：本題構(gòu)造非常特殊，要注意恰當(dāng)?shù)幕喓吞崛」蚴剑绢}集中體現(xiàn)了構(gòu)造等比數(shù)列的價值與魅力，同時也彰顯構(gòu)造思想在高考中的地位和作用。例 5：數(shù)列na滿足111232,3nnnaaa，則naann2) 13( b 12)36(nn c 12) 12(3nn d 12)23(nn解：322,2321111nnnnnnnaaaa232, 322111

5、aaannnn又nna2構(gòu)成了一個首項這23，公差為 3 的等差數(shù)列，2333) 1(232nnann112)36()233(22nnnnna所以選 b。小結(jié)：構(gòu)造等比數(shù)列，注意形nna2，當(dāng)1nn時，變?yōu)?12nna。例 6：已知函數(shù))0( ,)2()(2xxxf，又?jǐn)?shù)列na中21a，其前項和為,ns)(nn，對所有大于1 的自然數(shù)都有)(1nnsfs，求數(shù)列na的通項公式。解：2112)2()(,)2()(nnnssfsxxf2,211nnnnssss211asns是首項為2，公差為2的等差數(shù)列。22,22) !(2nsnnsnn。2n時，24)1(22221nnnssannn且當(dāng)1n時，

6、21421a符合條件通項公式為24nan例 7： （2006 山東高考題）已知21a，點（1,nnaa）在函數(shù)xxxf2)(的圖象上， 其中,3, 2, 1n求數(shù)列na的通項公式。解：xxxf2)(2又),(1nnaa在函數(shù)圖象上nnnaaa221221) 1(121nnnnaaaa3lg)1lg(,2)1lg() 1lg()1lg(2)1lg(111aaaaannnn) 1lg(na是首項為3lg公比為 2 的等比數(shù)列12113lg3lg2lgnnna1231nna1312nna小結(jié)：前一個題構(gòu)造出ns為等差數(shù)列，并且利用通項與和的關(guān)系來確定數(shù)列的通項公式，后一個題構(gòu)造1lgna為等比數(shù)列

7、, 再利用對數(shù)性質(zhì)求解。數(shù)列與函數(shù)的綜合運用是當(dāng)今高考的重點與熱點，因此我們在解決數(shù)列問題時應(yīng)充分利用函數(shù)有關(guān)知識，以它的概念與性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列的橋梁, 揭示它們之間內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問題。例 8： (2007 天津高考題 ) 已知數(shù)列na滿足nnnnaaa2)2(,2111，（*nn）其中0，求數(shù)列的通項公式方法指導(dǎo)：將已知條件中的遞推關(guān)系變形，應(yīng)用轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列形式，從而為求na的通項公式提供方便，一切問題可迎刃而解。解：)0*,( ,2)2(11nnaannnn1)2()2(111nnnnnnaa, 1)2()2(111nnnnnnaa。所以02, 1)2()2(11

8、11aaannnnnn所以nnna)2(為等差數(shù)列，其首項為0，公差為 1；nnnnnnnana2) 1(, 1)2(例 9：數(shù)列na中，若21a，nnnaaa311，則4aa192 b1516 c58 d43解：31311,3111nnnnnnnaaaaaaa又naa1,2111是首項為21公差 3 的等差數(shù)列。562,2562533)1(211nannnann19254624a所以選 a 變式題型：數(shù)列na中，nnnaaaa312,211，求na解：nnnnnnnaaaaaaa121232311,312113,232),1(2111則令nnaa2531),31(213111aaann又31na是首項為25公比為21的等比數(shù)列11)21(2531,)21(2531nnnnaa1)21(2531nna小結(jié) :)(1nnafa且為一次分式型或構(gòu)造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構(gòu)造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列，發(fā)散之后，兩種構(gòu)造思想相互聯(lián)系,相互滲透，最