立體幾何知識點和例題講解

1、立體幾何知識點和例題講解（高三）一、知識點1.夾角公式：設(shè) a (a1, a2 ,a3 ) ，b (b1, b2 ,b3 ) ，則 cos a， b=a1b1a2 b2a3b3.a22a32 b12b22a12b322異面直線所成角：cos| cos a,b| =| a b | x1x2y1 y2z1 z2 | a | | b |x12y12z12x2 2y2 2z22（ 0or ra,b 的方向向量）（其中90o ）為異面直線 a,b 所成角， a,b 分別表示異面直線3.直線 AB 與平面所成角：arc sin AB m(m 為平面的法向量 ).| AB | m |4.空間四點 A、 B、

2、C、 P 共面OPxOAyOBzOC ，且 x + y + z = 15.二面角l的平面角arc cos m n或arc cos m n（ m ， n 為平面， 的法向量） .| m | n | m | n |6.異面直線間的距離：d| CD n |l1 ,l 2 是兩異面直線， 其公垂向量為 n ，C、D 分別是 l1 ,l 2 上任一點， d(| n |為 l1,l 2 間的距離 ).7.點B到平面的距離： d| AB n |（ n為平面的法向量， AB 是經(jīng)過面的一條斜線，A）.| n |二溫馨提示：1. 直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時它們各自的取值范圍？ 異面直線所成的角、直線

3、與平面所成的角、二面 直線的傾斜角、到的角、與的夾角的角的取值范圍依次.取值范圍依次是二、題型與方法【考點透視】不論是求空間距離還是空間角，都要按照“一作，二證，三算”的步驟來完成。求解空間距離和角的方法有兩種：一是利用傳統(tǒng)的幾何方法，二是利用空間向量?！纠}解析】z考點 1 點到平面的距離AA1求點到平面的距離就是求點到平面的垂線段的長度，其關(guān)鍵在于F確定點在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.CC1OD例 1 如圖，正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱長都為 2 ， D 為 CC1 中點yBB1（）求證：AB1 平面 A1BD ；x（）求二面角AA1DB 的大??；（）求點

4、C 到平面 A1BD 的距離考點 2異面直線的距離此類題目主要考查異面直線的距離的概念及其求法，考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.例 2 已知三棱錐SABC ，底面是邊長為4 2 的正三角形，棱SC 的長為2 ，且垂直于底面. E、 D 分別為 BC 、 AB 的中點，求CD 與 SE 間的距離 .思路啟迪 ：由于異面直線CD 與 SE 的公垂線不易尋找，所以設(shè)法將所求異面直線的距離， 轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求點到平面的距離 .小結(jié) ：通過本例我們可以看到求空間距離的過程，就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程.考點 3直線到平面的距離此類題目再加上平行平面間的距離，主要考查點面

5、、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.例 3 如圖，在棱長為 2 的正方體 AC1 中， G 是 AA1 的中點，求BD 到平面 GB1 D1 的距離 .思路啟迪 ：把線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離，再用點到平面距離的方法求解.D1C1小結(jié) ：當(dāng)直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是O1線面距離 .所以求線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c，轉(zhuǎn)化為點面距離A1B1.本例解H析一是根據(jù)選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離.GDCOBA考點 4異面直線所成的角此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形來求角.異面直線所成的角是高考考查的重點 .例 4 、如圖，在 Rt AOB 中

6、， OAB，斜邊 AB4 Rt AOC 可以通過6zRt AOB 以直線 AO 為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B AOC 的直二面角 D 是AAB 的中點1 求證：平面 COD平面 AOB（ 2）求異面直線 AO 與 CD 所成角的余弦值。 D思路啟迪 ：關(guān)鍵是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi).建立空間直角坐標(biāo)系O xyz，如圖，則O(0，0，0)，A(0，0，23) C (2，0，0)D(01，3)OA(0，0，2 3) ， CD( 21，3) ，OByx Ccos OACD，OA CD66 OA CD23224考點 5直線和平面所成的角此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計算. 線

7、面角在空間角中占有重要地位，是高考的?？純?nèi)容 .例 5 . 四棱錐 SABCD 中，底面 ABCD 為平行四邊形， 側(cè)面 SBC底面 ABCD 已知 ABC45 ， AB2 ，BC 2 2，SASB 3（）證明 SABC ；（）求直線 SD 與平面 SAB 所成角的大小SCBDA如圖，四棱錐 P-ABCD 中，側(cè)面 PDC 是邊長為 2 的正三角形且與底面ABCD 垂直，ADC=60 °且 ABCD 為菱形(1)求證： PACD； (2)求異面直線 PB 和 AD 所成角的余弦值；(3)求二面角 P-AD-C 的正切值PDCAB考點 6二面角此類題主要是如何確定二面角的平面角， 并將

8、二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角放到一個合適的三角形中進(jìn)行求解 .二面角是高考的熱點，應(yīng)重視 .例 6 如圖，已知直二面角PQ，A PQ，B， C， CACB ，BAP45 ，直線 CA和平面所成的角為 30 （I）證明 BC PQ ；（ II）求二面角 BAC P 的大小C zPA命題目的 ：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識，考查空QBOyx間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.考點 7利用空間向量求空間距離和角眾所周知，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定. 當(dāng)掌握了用向量的方法解決立體幾何問題這套強(qiáng)有力的工具時，不僅會降低題目的難度，而且使得作題具有很強(qiáng)的操作性.例 7 如圖，四棱錐 PABCD 是的底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD ， E, F 分別是 AB, PD的中點，又二面角 PCD B 的大小為 45 ，（1）求證： AF / 面