第二章測評-北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-3練習(xí)

1、高中數(shù)學(xué)階段過關(guān)檢測堅持就是勝利！第二章測評( 時間:120 分鐘滿分:150 分) 一、選擇題 (本大題共 12 小題, 每小題 5 分, 共 60 分) 1. 若隨機變量 的分布列如下表所示 , 則 p1=( ) -1 2 4 p 1523p1a.0 b.215c.115d.1 解析: 由分布列性質(zhì)?=1?pi=1,n=1,2,3,n, 得15+23+p1=1.所以 p1=215. 答案: b 2. 已知事件 a,b 發(fā)生的概率都大于零 , 則( ) a.如果 a,b 是互斥事件 , 那么 a與? 也是互斥事件b.如果 a,b 不是相互獨立事件 , 那么它們一定是互斥事件c.如果 a,b

2、是相互獨立事件 , 那么它們一定不是互斥事件d.如果 ab是必然事件 , 那么它們一定是對立事件解析: 對 a,若 a,b 互斥, 則 a與? 不互斥; 對 b,若 a,b 不相互獨立 , 則它們可能互斥 , 也可能不互斥 ; 對 c,是正確的 . 對 d,當(dāng) ab是必然事件 ,ab是不可能事件時 ,a,b 才是對立事件 . 答案: c 3.(2016 山東青島教學(xué)質(zhì)量調(diào)研 ) 某校高考的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布n(100,100), 則該校成績位于 (80,120) 內(nèi)的人數(shù)占考生總?cè)藬?shù)的百分比約為( ) a.22.8% b.45.6% c.95.4% d.97.22% 解析: 設(shè)該校高考數(shù)

3、學(xué)成績?yōu)閤,由 xn(100,100)知, 正態(tài)分布的兩個參數(shù)為=100,=10, 所以 p(80x120)=p(100-20x100+20)=p(-2x +2)=0.954. 答案: c 4. 若 yb(n,p), 且 ey=3.6,dy=2.16, 則此二項分布是 ( ) a.b(4,0.9) b.b(9,0.4) c.b(18,0.2) d.b(36,0.1) 解析: 由題意得 np=3.6,np(1-p)=2.16, 所以 n=9,p=0.4. 答案: b 5. 某普通高校招生體育專業(yè)測試合格分數(shù)線確定為60 分. 甲、乙、丙三名考生獨立參加測試 , 他們能達到合格的概率分別是0.9,

4、0.8,0.75,則三人中至少有一人達標(biāo)的概率為( ) 高中數(shù)學(xué)階段過關(guān)檢測堅持就是勝利！a.0.015 b.0.005 c.0.985 d.0.995 解析: 三人都不合格的概率為 (1-0.9) (1-0.8) (1-0.75)=0.005. 所以至少有一人合格的概率為1-0.005=0.995. 答案: d 6. 設(shè)由“ 0”“1”組成的三位數(shù)組中 , 若用 a表示“第二位數(shù)字為 0的事件” , 用 b表示“第一位數(shù)字為 0的事件” , 則 p(a|b)=( ) a.25b.34c.12d.18解析: p(b)=1 222 22=12,p(a b)=1 122 22=14, p(a|b)

5、=? ( ? )? ( ? )=12. 答案: c 7. 在 4 次獨立重復(fù)試驗中 , 隨機事件 a恰好發(fā)生 1 次的概率不大于其恰好發(fā)生2 次的概率, 則事件 a在 1 次試驗中發(fā)生的概率p 的取值范圍是 ( ) a.0.4,1) b.(0,0.4 c.(0,0.6 d.0.6,1) 解析: 由題意知 c41p(1-p)3c42p2(1-p)2, 化簡得 2(1- p)3p,解得 p0.4, 又因為 0p1,所以 0. 4p1. 故選 a. 答案: a 8. 由正方體 abcd-a1b1c1d1的 8 個頂點中的任意3 個頂點構(gòu)成的所有三角形中, 任取其中的兩個 , 這兩個三角形不共面的概率

6、為( ) a.367385b.376385c.192385d.18385解析: 從 8 個頂點中任選 3 個頂點組成三角形的個數(shù)為c83=56,從 56 個三角形中任選 2個有c562種選法 . 正方體中四點共面的情況共有12種, 每共面的四個頂點可組成c43=4 個三角形 , 在 4 個三角形中任取 2 個的取法有 c42=6 種, 所以 8個頂點中的任意3 個頂點構(gòu)成的所有三角形中 , 任取其中的兩個 , 這兩個三角形共面的概率為126c562=18385, 所以所求概率為 1-18385=367385. 答案: a 9. 設(shè)集合 a=1,2,b=1,2,3,分別從集合 a和集合 b中隨機

7、取一個數(shù) a 和 b, 確定平面上的一個點 p(a,b), 記“點 p(a,b) 落在直線 x+y=n 上”為事件 cn(2n5,n n+), 當(dāng)事件 cn發(fā)生的概率最大時 ,n 的所有可能取值為 ( ) a.3 b.4 c.2 和 5 d.3 和 4 解析: 由題意知點 p 的坐標(biāo)可能為 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),故事件 c2發(fā)生的概率為16, 事件 c3發(fā)生的概率為13, 事件 c4發(fā)生的概率為13, 事件 c5發(fā)生的概率為16,故選 d. 答案: d 高中數(shù)學(xué)階段過關(guān)檢測堅持就是勝利！10. 利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進行決策, 應(yīng)選擇的方案是(

8、 ) 自然狀況方案盈利概率a1a2a3a4s10.25 50 70 -20 98 s20.30 65 26 52 82 s30.45 26 16 78 -10 a.a1b.a2c.a3d.a4解析: 分別求出方案 a1,a2,a3,a4盈利的均值 , 得 ea1=43.7,ea2=32.5,ea3=45.7,ea4=44.6,故選 c. 答案: c 11.(2016 四川綿陽市高二月考 )設(shè) 10 x1x2x3d 2b.d1=d 2c.d1d 2. 答案: a 12.(2016 甘肅天水一中高二段考 ) 一袋中有大小、形狀、質(zhì)地相同的4 個紅球和 2 個白球, 給出下列結(jié)論 : 從中任取 3

9、球, 恰有一個白球的概率是35; 從中有放回的取球6 次, 每次任取一球 , 則取到紅球次數(shù)的方差為43; 現(xiàn)從中不放回的取球2 次, 每次任取 1 球, 則在第一次取到紅球后 , 第二次再次取到紅球的概率為25; 從中有放回的取球3 次, 每次任取一球 , 則至少有一次取到紅球的概率為2627. 其中所有正確的結(jié)論是 ( ) a.b.c.d.解析: 恰有一個白球的概率p=c21c42c63=35, 故正確 ; 每次任取一球 , 取到紅球次數(shù) xb (6 ,23), 其方差為 623(1 -23) =43, 故正確 ; 設(shè) a=第一次取到紅球 ,b= 第二次取到紅球 , 則 p(a)=23,p

10、(ab)=4365=25, 高中數(shù)學(xué)階段過關(guān)檢測堅持就是勝利！所以 p(b|a)=? ( ? )? ( ? )=35, 故錯 ; 每次取到紅球的概率p=23, 所以至少有一次取到紅球的概率為1-(1 -23)3=2627, 故正確 . 答案: a 二、填空題 ( 本大題共 4 小題, 每小題 5 分, 共 20 分) 13.(2016 湖北省孝感高中高二上學(xué)期期中考試) 已知離散型隨機變量x的分布列為 : x 0 1 2 p 0.5 1-2q q2則常數(shù) q=.解析: 由離散型隨機變量的分布列意義得0. 5 + 1- 2? + ?2= 1,0 1- 2? 1,0 ?2p2p3, 所以方案對乙最

11、有利 . 答案: 三、解答題 ( 本大題共 6 小題, 共 70 分) 17.( 本小題滿分 10 分)一盒中裝有 9 張各寫有一個數(shù)字的卡片, 其中 4 張卡片上的數(shù)字是 1,3 張卡片上的數(shù)字是2,2 張卡片上的數(shù)字是3. 從盒中任取 3 張卡片 . (1) 求所取 3 張卡片上的數(shù)字完全相同的概率; (2)x 表示所取 3 張卡片上的數(shù)字的中位數(shù) , 求 x的分布列與均值 . ( 注: 若三個數(shù) a,b,c 滿足 abc, 則稱 b 為這三個數(shù)的中位數(shù) .) 解(1) 由古典概型中的概率計算公式知所求概率為p=c43+c33c93=584. (2)x 的所有可能值為 1,2,3, 且p(

12、x=1)=c42c51+c43c93=1742, p(x=2)=c31c41c21+c32c61+c33c93=4384, p(x=3)=c22c71c93=112, 故 x的分布列為x 1 2 3 p而 ex=1 1742+24384+3112=4728. 18.( 本小題滿分 12 分)某高校設(shè)計了某實驗學(xué)科的考核方案: 考生從 6 道備選題中一次性隨機抽取 3 題, 按照題目要求獨立完成全部實驗操作. 規(guī)定: 至少正確完成其中2 題才可提交通過 . 已知 6 道備選題中 , 考生甲有 4 道題能正確完成 ,2 道題不能正確完成 ; 考生乙每題正確完成的概率都是2

13、3, 且每題正確完成與否互不影響. (1) 分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列, 并計算數(shù)學(xué)期望 ; (2) 試從兩位考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望及至少正確完成2 道題的概率分析比較兩位考生的實驗操作能力 . 解(1) 設(shè)考生甲、乙正確完成實驗操作的題數(shù)分別為, , 則 的所有可能取值為1,2,3, 的所有可能取值為0,1,2,3. p(=1)=c41c22c63=15,p( =2)=c42c21c63=35, p(=3)=c43c20c63=15, 高中數(shù)學(xué)階段過關(guān)檢測堅持就是勝利！考生甲正確完成題數(shù)的概率分布列為1 2 3 p 153515e=115+235+315=2. p(=0

14、)=c30(1 -23)3=127, p(=1)=c3123(1 -23)2=627=29, p(=2)=c32(23)2(1 -23) =1227=49, p(=3)=c33(23)3=827, 考生乙正確完成題數(shù)的分布列為0 1 2 3 p 1272949827e=0127+129+249+3827=2. (2) p(2)=35+15=0.8, p(2)=49+8270.74, p(2)p(2) . 從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考核, 兩人水平相當(dāng) ; 從至少正確完成 2 道題的概率考核 , 甲獲得通過的可能性大 . 因此可以判斷甲的實驗操作能力較強. 19.( 本小題滿分 12 分)某班從 6

15、名班干部 ( 其中男生 4 人, 女生 2 人) 中, 任選 3 人參加學(xué)校的義務(wù)勞動 . (1) 設(shè)所選 3 人中女生人數(shù)為 x,求 x的分布列 ; (2) 求男生甲或女生乙被選中的概率; (3) 設(shè)“男生甲被選中”為事件a,“女生乙被選中”為事件b,求 p(b)和 p(a|b). 解(1)x 的所有可能取值為0,1,2, 依題意得p(x=0)=c43c63=15,p(x=1)=c42c21c63=35, p(x=2)=c41c22c63=15. x的分布列為x 0 1 2 p 153515(2) 設(shè)“男生甲、女生乙都不被選中”為事件c, 則 p(c)=c43c63=420=15, 高中數(shù)學(xué)

16、階段過關(guān)檢測堅持就是勝利！所求概率為 p(? )=1-p(c)=1-15=45. (3) 由題意得 p(b)=c52c63=1020=12, 又p(ab)=c41c63=15, p(a|b)=? (? )? (? )=25. 20. 導(dǎo)學(xué)號 43944048(本小題滿分 12 分) 某球類總決賽采取7 局 4 勝制, 預(yù)計本次比賽兩隊的實力相當(dāng) (各隊在一場比賽中獲勝的可能性均為12) , 每場比賽組織者可獲利200萬元. (1) 求組織者在本次比賽中獲利不低于1 200 萬元的概率 ; (2) 組織者在本次比賽中獲利的期望為多少萬元? 解設(shè)本次比賽組織者獲利為x萬元, 當(dāng) x=800時, 這

17、兩隊只進行四場比賽 , 兩隊有一隊全勝 ,p(x=800)=2 (12)4=0.125; 當(dāng) x=1 000 時, 這兩隊進行五場比賽 , 兩隊中有一隊前四場比賽是勝三場, 敗一場 ,第五場勝 , p(x=1 000)=2 c41(12)412=0.25; 當(dāng) x=1 200 時, 這兩隊進行六場比賽 , p(x=1 200)=2 c52(12)512=0.312 5; 當(dāng) x=1 400 時, 這兩隊比賽滿七場 , p(x=1 400)=2 c63(12)612=0.312 5. 所以 x的分布列為x 800 1 000 1 200 1 400 p 0.125 0.25 0.312 5 0.

18、312 5 (1) 組織者在本次比賽中獲利不低于1 200 萬元的概率是 0.312 5 2=0.625. (2)ex=8000.125+1 000 0.25+1 200 0.312 5+1 400 0.312 5=1 162.5. 故組織者在本次比賽中獲利的期望為1 162.5 萬元. 21. 導(dǎo)學(xué)號 43944049(本小題滿分 12 分) 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄, 繪制了日銷售量的頻率分布直方圖, 如圖所示 . 將日銷售量落入各組的頻率視為概率, 并假設(shè)每天的銷售量相互獨立. (1) 求在未來連續(xù) 3 天里, 有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于100 個且另 1 天的日銷售量

19、低于 50 個的概率 ; (2) 用 x表示在未來 3 天里日銷售量不低于100 個的天數(shù) , 求隨機變量 x的分布列 , 均值ex及方差 dx. 高中數(shù)學(xué)階段過關(guān)檢測堅持就是勝利！解(1) 設(shè) a1表示事件“日銷售量不低于100 個”,a2表示事件“日銷售量低于50 個”,b表示事件“在未來連續(xù)3 天里, 有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于100 個且另 1 天的日銷售量低于 50 個”, 因此 p(a1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6, p(a2)=0.003 50=0.15, p(b)=0.6 0.6 0.152=0.108. (2)x 可能取的值為 0,1,2,3,

20、相應(yīng)的概率為p(x=0)=c30(1-0.6)3=0.064, p(x=1)=c310.6 (1-0.6)2=0.288, p(x=2)=c320.62(1-0.6)=0.432, p(x=3)=c330.63=0.216. 分布列為x 0 1 2 3 p 0.064 0.288 0.432 0.216 因為 xb(3,0.6),所以 ex=3 0.6=1.8, 方差 dx=3 0.6 (1-0.6)=0.72. 22. 導(dǎo)學(xué)號 43944050(本小題滿分 12 分) 某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)a,b 兩種奶制品, 生產(chǎn) 1 噸 a產(chǎn)品需鮮牛奶 2 噸, 使用設(shè)備 1 小時, 獲利 1 0

21、00 元; 生產(chǎn) 1 噸 b產(chǎn)品需鮮牛奶 1.5 噸, 使用設(shè)備 1.5 小時, 獲利 1 200 元, 要求每天 b產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過a產(chǎn)品產(chǎn)量的 2 倍, 設(shè)備每天生產(chǎn) a,b 兩種產(chǎn)品時間之和不超過12 小時, 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量 w( 單位: 噸)是一個隨機變量 , 其分布列為w 12 15 18 p 0.3 0.5 0.2 該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn), 使其獲利最大 , 因此每天的最大獲利z(單位: 元)是一個隨機變量 . (1) 求 z 的分布列和均值 ; (2) 若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立, 求 3 天中至少有 1 天的最大獲利超過10 000元的概率 . 解(1) 設(shè)每天 a,b 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x,y, 相應(yīng)的獲利為 z, 則有2? + 1. 5? ?,? + 1. 5?12,2? -? 0,? 0, ? 0.目標(biāo)函數(shù)為 z=1 000 x+1 200y. 當(dāng) w=12時, 表示的平面區(qū)域如圖1, 三個頂點分別為a(0,0),b(2.4,4.8),c(6,