2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何課時(shí)跟蹤訓(xùn)練52拋物線文

1、 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練（五十二）拋物線 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 2 2 X 2 1 若拋物線y2= 2px的焦點(diǎn)與雙曲線 3- y2= 1 的右焦點(diǎn)重合，貝y p的值為（ ） A. 4 B 4 C - 2 D 2 解析拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 0 , 由雙曲線的方程可知 a2= 3, b2= 1, 所以 c2= a2 + b2= 4,即即 c = 2, 所以右焦點(diǎn)為（2,0），所以 2= 2, p= 4. 答案B 2. （2018 廣東湛江一中等四校第二次聯(lián)考 ）拋物線y2= 2px上橫坐標(biāo)為 4 的點(diǎn)到此拋 物線焦點(diǎn)的距離為 9,則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 （ ） A. 4 B . 9 C . 10 D

2、 . 18 解析拋物線y = 2px的焦點(diǎn)為, 0 ,準(zhǔn)線為x =舟.由題意可得 4 +弓=9,解得p 幺丿 2 2 =10,所以該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 p= 10. 答案C 2 k 3. （2016 全國卷n ）設(shè)F為拋物線C： y = 4x的焦點(diǎn)，曲線y = -（ k0）與C交于點(diǎn)P, X PF丄x軸，則k =（ ） 1 3 A. 2 B 1 C. D 2 解析 拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F（1,0） , PF丄x軸，XP= XF= 1.又/ yP= 4XP,= yP= k 4. v yp= （ k0）, yp= 2,. k= xpyp= 2.故選 D. XP 答案D 4（2017 全國

3、卷n ）過拋物線C: y2= 4X的焦點(diǎn)F,且斜率為.3的直線交C于點(diǎn)MM 在X軸的上方），1為C的準(zhǔn)線，點(diǎn) N在I上且MNL I，則M到直線NF的距離為（ ） A. 5 B 2 2 C 2 , 3 D 3 3 解析 解法一：依題意，得 F（1,0），則直線 FM的方程是 y = . 3（ X 1） 由2 y= ,3 x1 2 y = 4x , ， 得x =1或 x= 3.由M在x軸的上方，得皿3,2苗)，由MNL 1,得| MN =IMF = 3+ 1 = 4，又/ NMF等于直線FM的傾斜角，即/ NMF60，因此 MNf是邊長為 4 的等邊三角形，點(diǎn) M到直線NF的距離為 4X-23 =

4、 2 3 ,選 C. 2 FM的傾斜角為 60，則 |MN = |MF = c0s60 = 4,又/ NMF等于直線FM的傾斜角，即/ NM= 60,因此 MNF是邊長為 4 的等邊三角形，點(diǎn) M到 直線NF的距離為 2 3，選 C. 答案C y2= 4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限, 解法二：依題意，得直線 5.已知拋物線 3 PAL I，垂足為 A, |PF = 4，則直線AF的傾斜角等于( 7n A. 12 2 n B. 3n C.-r 5 n D.5? 解 由拋物線定義1,2 3) , AF與x軸夾角為nn，所以直線AF的傾斜角為|n ,選 B. 答案B 6設(shè)

5、拋物線 C: y2= 2px(p0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上，| MF = 5.若以MF為直徑的圓 過點(diǎn)(0,2)，貝 U C 的方程為( ) A. y2= 4x 或 y2= 8x 2 2 B. y = 2x 或 y = 8x D. y2= 2x 或 y2= 16x 解析由已知得拋物線的焦點(diǎn) ,設(shè)點(diǎn)A(0,2),拋物線上點(diǎn) Mxo, yo),則AF= AF AM= 0,即 yo 8yo+ 16= 0,因而 yo = 4 , 0 2 , AM= yo 2 .由已知得, 4 答案C 二、填空題 7已知拋物線y2= 4x，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于 A B兩點(diǎn)，過A, B分別作y軸 垂線，垂足分別為

6、C D,則| AQ + | BD的最小值為 _ 解析由題意知 F(1,0) , |AQ + |BD = |AF| + | FB| 2= | AB 2，即 | AC| + | BQ 取 得最小值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)|AB取得最小值由拋物線定義知，當(dāng) |AB為通徑，即|AB = 2p= 4 時(shí)，取得最小值，所以| AC + | BQ的最小值為 2. 答案2 & (2017 武漢市武昌區(qū)高三三調(diào) )已知拋物線 r : y2= 8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸的 交點(diǎn)為K,點(diǎn)P在r上且 I PK = 2| PF，則 PKF的面積為 _ 解析由已知得，F(xiàn)(2,0) , K( 2,0)，過P作PM垂直于準(zhǔn)線，則

7、|PM =I PF，又 I PK = Q2| PF，二 | PM = I MK = IPF，二 PF丄X 軸， PFK的高等于 I PF，不妨設(shè) P(m, 2 羽 1 m)( m0)，則 mi+ 2 = 4,解得 m= 2,故厶 PFK的面積 S= 4X2 , 2x 2X-= 8. 答案8 9. _ (2016 沈陽質(zhì)量監(jiān)測)已知拋物線x2= 4y的焦點(diǎn)為 F,準(zhǔn)線為I ,P 為拋物線上一點(diǎn)， 過P作PAL I于點(diǎn)A當(dāng)/ AFO= 30( O為坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí)，I PF = _ . 解析 設(shè)I與y軸的交點(diǎn)為 B,在 Rt ABF中，/ AFB= 30, I BFI = 2，所以 I AB = ，設(shè)

8、 F( Xo, yo)，貝U Xo = ，代入 x = 4y 中，得 yo=3 從而 I PFI = I PA = yo + 1 = . “亠 4 答案3 三、解答題 2 10. 已知拋物線y= 2px(p0)的焦點(diǎn)為F, A是拋物線上橫坐標(biāo)為 4,且位于x軸上方 的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于 5,過A作AB垂直于y軸，垂足為B, OB的中點(diǎn)為M (1) 求拋物線的方程； (2) 若過M作M丄FA,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo). 解 拋物線y2= 2px的準(zhǔn)線為x= p于是 4+ 2= 5 , p= 2，二拋物線方程為 y2 = 4x. 點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4)，由題意得B(0,4) , M0,2)

9、. 4 + 16= 5,又 p0,解得 p= 2 或 p =8, 故選 C. 由 I MF = 5 又T F(1,0) , kFA= 3. / MNL FA kMN= 4. 又FA的方程為y = 3(x- 1), 故MN勺方程為y- 23x，解方程組得x= 5, y= 4, 4 5 5 N的坐標(biāo)為 15, 5 . 能力提升 11 已知拋物線x2= 4y上有一條長為 6 的動(dòng)弦AB,則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為 ( ) 3 3 A. B. - C 1 D 2 4 2 解析由題意知，拋物線的準(zhǔn)線 I : y= 1,過點(diǎn)A作AA丄l交I于點(diǎn)A,過點(diǎn)B | AA| + | BB| 作BB丄I交I于點(diǎn)

10、B,設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M過點(diǎn)M作MM丄I交I于點(diǎn)M,則| MM = Hr 一L. 因?yàn)閨 AB 6,當(dāng)直線AB過點(diǎn)F時(shí)，等號(hào) 成立，所以|AA| + |BB| 6,2| MM 6, | MM 3,故點(diǎn) M到x軸的距離d2,選 D. 答案D 12. (2016 全國卷I )以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交 C于A B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于 D, E兩點(diǎn)已知|AB = 4,2 IDE = 25,貝U C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( ) A. 2 B . 4 C . 6 D . 8 解析如圖，設(shè)圓的方程為x2 + y2= R(R0)，拋物線方程為y2= 2px(p0) , A(m n), 2 拋物線y2= 2px關(guān)

11、于x軸對(duì)稱，圓關(guān)于x軸對(duì)稱，且| AB = 4/2, | yA| = 2 訂 2,二XA= 2 4 亠口 . 16 =:/ A在圓上， + 8= R2. p p 由拋物線y2= 2px知，它的準(zhǔn)線方程為 x = p 6 2 |DE = 2 5,.R2= p + 5. 聯(lián)立可解得p= 4, C 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 4.故選 B. 答案B 13. _ (2017 全國卷n )已知F是拋物線 C： y2= 8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線 交y軸于點(diǎn)N若M為FN的中點(diǎn)，則| FN| = . 2 解析解法一：依題意，拋物線 C y = 8X的焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線x=- 2,因?yàn)镸是C 上一點(diǎn)

12、，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N, M為FN的中點(diǎn)，設(shè)Ma, b)( b0)，所以a= 1, b= 2 2, 所以 N0,4 2) , |FN| = 4+ 32= 6. 2 解法二：依題意，拋物線 c： y = 8X的焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線x= 2，因?yàn)镸是C上一點(diǎn)， FM的延長線交y軸于點(diǎn)N, M為FN的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 1,所以| MF = 1 ( 2) = 3, | FN = 2| MF = 6. 答案6 14. _ (2017 山東濰坊期末)已知點(diǎn)A為拋物線 M x = 2py( p0)與圓 N： (x + 2) + y = r2在第二象限的一個(gè)公共點(diǎn)，滿足點(diǎn) A到拋物線M準(zhǔn)線的距離為

13、r.若拋物線M上動(dòng)點(diǎn)到其 準(zhǔn)線的距離與到點(diǎn) N的距離之和的最小上值為 2r，則p = _ . 解析圓 N： (x+ 2)2+ y2= r2的圓心N 2,0),半徑為r.設(shè)拋物線x2= 2py的焦點(diǎn)為 Fp, p，則 |AN + I AF = 2r. 由拋物線 M上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn) N的距離之和的最小值為 2r，即動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn) F與 到點(diǎn)N的距離之和的最小值為 2r, 可得A, N, F三點(diǎn)共線，且A為NF的中點(diǎn). 由N( 2,0), 電 p j,可得A1, 4 j 代入拋物線 M的方程可得，1= 2p p解得p =2. 答案 2 15. (2017 河北廊坊期末質(zhì)量監(jiān)測 )我國唐代詩人王維詩

14、云： “明月松間照，清泉石上 流”，這里的明月和清泉都是自然景物，沒有變，形容詞“明”對(duì)“清”，名詞“月”對(duì) “泉”，詞性不變，其余各詞均如此變化中的不變性質(zhì)，在文學(xué)和數(shù)學(xué)中都廣泛存在比 如我們利用幾何畫板軟件作出拋物線 C: x2= y的圖象(如圖)，過焦點(diǎn)F作直線I交C于A, B兩點(diǎn)，過A, B分別作C的切線，兩切線交于點(diǎn) P,過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于點(diǎn)N,拖動(dòng) 點(diǎn)B在C上運(yùn)動(dòng)，7 會(huì)發(fā)現(xiàn) 疇是一個(gè)定值，試求出該定值. 1 NF| 解由題意，得線段 AB是過拋物線x2= y焦點(diǎn)F的弦過A B兩點(diǎn)分別作拋物線的 切線，兩切線相交于 P點(diǎn)，則P點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上.下面給出證明： 由拋物線C：

15、x2= y,得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F 0, 1 . 設(shè) A(xi, x1) , B(x2, x2)，直線 l : y= kx + -. 4 將直線I的方程代入拋物線 C的方程x2= y，得X2 kx 4= 0. 二 XiX2=；. 4 又拋物線C的方程為y= x2，求導(dǎo)得y= 2x, 拋物線C在點(diǎn)A處的切線的斜率為 2xi，切線方程為y x2= 2xi(x Xi) ， 拋物線C在點(diǎn)B處的切線的斜率為 2X2,切線方程為yx2= 2X2(X X2). i 由得 y= ；. i 點(diǎn)P的軌跡方程得y =：，即點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上. 根據(jù)拋物線的定義知|NF = | NR , 疇是一個(gè)定值 i. 丨NF i

16、6.設(shè)A, B為拋物線y2= x上相異兩點(diǎn)，其縱坐標(biāo)分別為 i, 2，分別以A, B為切點(diǎn) 作拋物線的切線li , l2，設(shè)li,丨2相交于點(diǎn)P. (1) 求點(diǎn)P的坐標(biāo)； f f (2) M為A, B間拋物線段上任意一點(diǎn)，設(shè) PM=入PA PB試判斷仁+們是否為定 值？如果為定值，求出該定值，如果不是定值，請(qǐng)說明理由. 1 2 8 解 由題知A(i,i) , B(4 , 2)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(XP, yp), y i = k x1 , 切線I仁y i= k(x i)，聯(lián)立f 2 由拋物線與直線11相切，解得k ly = x,9 1 1 1 即 ii： y= 2X+2，同理，12： y=-4X 1. 聯(lián)立丨1,丨2的方程，可解得 yp= XP = 2 , 1 2， 即點(diǎn)P的坐標(biāo)為 i2，2 . 設(shè) f f 由 PM=入 PA PB# y0+ 2, yo+ 2 = jy2+ 2 = 3 入 即 1 3 yo+ 2=2 解得 yo+2 2 9