蘇教版九年級上冊數(shù)學[《圓》全章復習與鞏固—知識點及重點題型梳理](提高版)

1、精品文檔用心整理資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用蘇教版九年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習圓全章復習與鞏固知識講解（提高）【學習目標】1理解圓及其有關概念，理解弧、弦、圓心角的關系，探索并了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系，探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征；2了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線；3了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；4了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；5結(jié)

2、合相關圖形性質(zhì)的探索和證明，進一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的學習，進一步培養(yǎng)綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力. 【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、圓的定義、性質(zhì)及與圓有關的角1圓的定義(1) 線段 oa繞著它的一個端點o旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點a所形成的封閉曲線，叫做圓. (2) 圓是到定點的距離等于定長的點的集合. 要點詮釋：精品文檔用心整理資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑， 二者缺一不可；圓是一條封閉曲線.2圓的性質(zhì)(1) 旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度

3、都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心. 在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等. (2) 軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸. (3) 垂徑定理及推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧. 平分弦 ( 不是直徑 ) 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧. 弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧. 平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦. 平行弦夾的弧相等. 要點詮釋：在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五

4、個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論. （注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑）3兩圓的性質(zhì)(1) 兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線. (2) 相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.4與圓有關的角(1) 圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角. 圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù). (2) 圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角. 圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半. 同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等. 90的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角. 如果三角

5、形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形. 圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角. 要點詮釋：(1) 圓周角必須滿足兩個條件：頂點在圓上；角的兩邊都和圓相交. (2) 圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中. 要點二、與圓有關的位置關系1判定一個點p是否在 o上設 o的半徑為，op=，則有點 p在 o 外；點 p在 o 上；點 p在 o 內(nèi). 要點詮釋：點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數(shù)量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數(shù)量關系；知道數(shù)量關系也可以確定位置關系.2判定幾個點12naaa、在同一個圓上的方法當時，在 o 上. 3直線和圓的位置關系設 o 半徑為

6、r，點 o到直線的距離為. 精品文檔用心整理資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用(1) 直線和 o沒有公共點直線和圓相離. (2) 直線和 o有唯一公共點直線和 o相切. (3) 直線和 o有兩個公共點直線和 o相交. 4切線的判定、性質(zhì)(1) 切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線. 到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線. (2) 切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑. 經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點. 經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心. (3) 切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長. (4) 切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切

7、線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角 . 5圓和圓的位置關系設的半徑為，圓心距. (1)和沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離. (2)和沒有公共點，且的每一個點都在內(nèi)部內(nèi)含(3)和有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切. (4)和有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在內(nèi)部內(nèi)切. (5)和有兩個公共點相交. 要點三、三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形1三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1) 三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“i ”表示 . (2) 三角形的外

8、心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用o表示 . (3) 三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用g表示 . (4) 垂心：是三角形三邊高線的交點.要點詮釋：(1) 任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；(2) 解決三角形內(nèi)心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(s 為三角形的面積，p為三角形的周長，r 為內(nèi)切圓的半徑). (

9、3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)精品文檔用心整理資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用外心 ( 三角形外接圓的圓心) 三角形三邊中垂線的交點(1)oa=ob=oc ；(2) 外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心 ( 三角形內(nèi)切圓的圓心) 三角形三條角平分線的交點(1) 到三角形三邊距離相等；(2)oa、ob 、 oc分別平分bac 、 abc 、 acb ； (3) 內(nèi)心在三角形內(nèi)部. 2圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1) 四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角. (2) 各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等. 要點四、圓中有關計算

10、1圓中有關計算圓的面積公式：，周長. 圓心角為、半徑為r的弧長. 圓心角為，半徑為r，弧長為的扇形的面積. 弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算. 圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為r，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為. 圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為r，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.要點詮釋：(1) 對 于 扇 形 面 積 公 式 ， 關 鍵 要 理 解 圓 心 角 是1 的 扇 形 面 積 是 圓 面 積 的， 即；(2) 在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積s、扇形半徑r、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出

11、第三個量. (3) 扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；(4) 扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：. 精品文檔用心整理資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用【典型例題】類型一、圓的基礎知識【362179 課程名稱：圓單元復習：經(jīng)典例題3】1. 如圖，已知 o是以數(shù)軸的原點o為圓心，半徑為1 的圓， aob=45 , 點p在數(shù)軸上運動，若過點 p且與 oa平行（或重合）的直線與o有公共點 , 設 op=x ，則x的取值范圍是（）. a1x1 b 2x2c0 x2 dx2【答案】 b；【解析】 如圖，平移過p點的直線到p，使其與 o相切，設切點為q ，連接 oq ，

12、由切線的性質(zhì)，得 oqp =90，oa pq ，op q= aob=45 ，oqp 為等腰直角三角形，在 rtoqp 中， oq=1 ，op =2，當過點p且與 oa平行的直線與o有公共點時， 0op ，當點 p在 x 軸負半軸即點p向左側(cè)移動時，結(jié)果為-2op0故答案為：-2op 2精品文檔用心整理資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用【點評】 本題考查了直線與圓的位置關系問題關鍵是通過平移，確定直線與圓相切的情況，求出此時op的值舉一反三：【變式 】如圖，已知o是以數(shù)軸的原點為圓心，半徑為1 的圓， aob=45 ，點p在數(shù)軸上運動，若過點 p且與 ob平行的直線于o有公共點，設p（x，0），則

13、x 的取值范圍是（）. a - 1x 0 或 0 x1 b0 x1 c-2x 0 或 0 x2 dx1 【答案】 o是以數(shù)軸的原點為圓心，半徑為1 的圓， aob=45 ，過點 p且與 ob平行的直線與o相切時，假設切點為d，od=dp=1，op =2，0op 2，同理可得，當op與 x 軸負半軸相交時，-2op 0，-2op 0，或 0op 2故選 c類型二、弧、弦、圓心角、圓周角的關系及垂徑定理2如圖所示，已知在o中， ab是 o的直徑，弦cg ab于 d，f 是 o上的點，且cfcb，bf交 cg于點 e，求證： ce be 精品文檔用心整理資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用【答案與解析】證

14、法一：如圖 (1) ，連接 bc ， ab 是 o的直徑，弦cg ab ，cbgbcfbc，cfgbc cbe ce be 證法二：如圖(2) ，作 on bf，垂足為 n，連接 oe ab 是 o的直徑，且abcg ，cbbgcbcf，cfbcbg bf cg ，on od one ode 90， oe oe ，on od ，one ode ， ne de12bnbf，12cdcg， bn cd ， bn-en cd-ed ， be ce 證法三：如圖 (3) ，連接 oc交 bf于點 ncfbc， oc bf ab 是 o的直徑， cg ab，bgbc，cfbgbcbfcg，onod oc

15、 ob ， oc-onob-od ，即 cn bd又 cne bde 90， cen bed ，cne bde ， ce be【點評】 上述各種證明方法，雖然思路各異，但都用到了垂徑定理及其推論在平時多進行一題多解、一題多證、一題多變的練習，這樣不但能提高分析問題的能力，而且還是溝通知識體系、學習知識，使用知識的好方法舉一反三：【362179 課程名稱：圓單元復習：經(jīng)典例題1-2 】【變式 】如圖所示，在o內(nèi)有折線oabc, 其中 oa=8,ab=12,a=b=60, 則 bc的長為（）a19 b 16 c 18 d20 精品文檔用心整理資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用【答案】 如圖，延長ao交

16、 bc于點 d,過 o作 oe bc于 e. 則三角形abd為等邊三角形，da=ab=bd=12 ，od=ad-ao=4 在 rtode中， ode=60 ， doe=30 , 則de=12od=2 ，be=bd-de=10 oe垂直平分bc ，bc=2be=20. 故選 d 類型三、與圓有關的位置關系3一個長方體的香煙盒里，裝滿大小均勻的20 支香煙 . 打開煙盒的頂蓋后，二十支香煙排列成三行，如圖（ 1）所示 . 經(jīng)測量，一支香煙的直徑 約為 0.75cm，長約為8.4cm. （1）試計算煙盒頂蓋abcd 的面積（本小題計算結(jié)果不取近似值）；（ 2 ） 制 作 這 樣 一 個 煙 盒 至

17、少 需 要 多 少 面 積 的 紙 張 （ 不 計 重 疊 粘 合 的 部 分 ， 計 算 結(jié) 果精確到，?。?.1cm3173. 【答案與解析】（ 1）如圖（ 2） ，作 o1eo2o3精品文檔用心整理資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用3 333 332844abcm四邊形abcd 的面積是：（2）制作一個煙盒至少需要紙張：. 【點評】 四邊形 abcd 中， ad長為 7 支香煙的直徑之和，易求；求ab長，只要計算出如圖（2）中的 o1e長即可 . 類型四、圓中有關的計算4 （2015?丹東）如圖， ab 是 o 的直徑，=，連接 ed、bd，延長 ae 交 bd 的延長線于點m，過點 d 作

18、 o 的切線交ab 的延長線于點c（1）若 oa=cd=2，求陰影部分的面積；（2）求證： de=dm 【答案與解析】解：如圖，連接od，cd 是 o 切線，odcd，oa=cd=2，oa=od ，od=cd=2， ocd 為等腰直角三角形， doc= c=45 ，s陰影=socds扇obd=4 ；（2）證明：如圖，連接ad ，ab 是 o 直徑， adb= adm=90 ，精品文檔用心整理資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用又=，ed=bd ， mad= bad ，在amd 和 abd 中， amd abd ，dm=bd ，de=dm 【點評】 本題考查的是切線的性質(zhì)、弦、弧之間的關系、扇形面積的

19、計算，掌握切線的性質(zhì)定理和扇形的面積公式是解題的關鍵，注意輔助線的作法舉一反三：【變式 】 （2015?貴陽）如圖，o 是 abc 的外接圓， ab 是 o 的直徑， fo ab，垂足為點o，連接 af 并延長交 o 于點 d，連接 od 交 bc 于點 e， b=30 ，fo=2（1）求 ac 的長度；（2）求圖中陰影部分的面積（計算結(jié)果保留根號）【答案】 解： （1） ofab ， bof=90 ， b=30 ， fo=2，ob=6，ab=2ob=12 ，又 ab 為 o 的直徑， acb=90 ，ac=ab=6 ；（2）由（ 1）可知， ab=12 ，ao=6 ，即 ac=ao ，在 r

20、tacf 和 rtaof 中，rtacf rtaof ， fao=fac=30 ， dob=60 ，過點 d 作 dgab 于點 g，od=6， dg=3，sacf+sofd=saod= 6 3=9，即陰影部分的面積是9精品文檔用心整理資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用類型五、圓與其他知識的綜合運用5. 【答案與解析】延長 db至點 e，使 be dc ，連結(jié) ae abc是等邊三角形 acb abc 60， ab ac adb acb 60四邊形 abdc 是圓內(nèi)接四邊形 abe acd 在 aeb和 adc中， aeb adc ae ad adb 60 aed是等邊三角形ad de db be be dc db dc da. 【點評】 由已知條件，等邊abc可得60角，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得adb 60，利用截長補短的方法可得一個新