分平面的遞推計(jì)數(shù)(六年級(jí))

1、知識(shí)圖譜計(jì)數(shù)第01講_分平面的遞推計(jì)數(shù)-一、分平面的遞推計(jì)數(shù)直線或角分平面封閉圖形分平面組合圖形分平面一：分平面的遞推計(jì)數(shù)知識(shí)精講分平面（無(wú)邊界）問(wèn)題的總體思路是增量分析，即先求出新畫圖形與已有圖形的交點(diǎn)數(shù)，進(jìn)而推出它使平面增加了幾部分其中，求交點(diǎn)數(shù)是最關(guān)鍵的一步為了使平面被劃分成的部分盡量多，顯然應(yīng)讓交點(diǎn)也盡量多一直線或角分平面1直線：第條直線與前n條直線最多有n個(gè)交點(diǎn)，被截為段，可使平面增加部分2角：第個(gè)角與前n個(gè)角最多有個(gè)交點(diǎn)，被截為段（拐彎處視為一段），可使平面增加部分二封閉圖形分平面1n邊形：與直線類似，先數(shù)每條邊與之前圖形的交點(diǎn)數(shù)，再乘n即為n邊形與之前圖形的交點(diǎn)數(shù)，進(jìn)而求出平面增

2、加的部分?jǐn)?shù)2圓：任意兩個(gè)不同的圓最多有2個(gè)交點(diǎn)三組合圖形分平面1封閉圖形間的組合：與單種封閉圖形分平面類似，建議先畫圓2直線與封閉圖形間的組合：建議先畫直線三點(diǎn)剖析重難點(diǎn)：本類型題目的關(guān)鍵是不同圖形之間交點(diǎn)數(shù)的求法此外，對(duì)于組合圖形分平面，若最后畫直線，容易多算一部分因此，建議先畫直線題模精講題模一 直線或角分平面例1.1.1、5條直線最多把平面劃分為多少部分？n條直線呢？答案：16；解析：1條直線，把平面分成部分；2條直線，直線間增加1個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；3條直線，直線間增加2個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；4條直線，直線間增加3個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；5條直線，直線間增加4個(gè)交點(diǎn)，把

3、平面分成部分第n條直線與前條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，故其最多被分成n段每段使原來(lái)平面的一部分一分為二，即可增加n部分開始時(shí)平面只有一部分，故n條直線最多將平面分成部分 例1.1.2、用直線把一個(gè)平面分成50部分，至少要在平面上畫_條直線答案：10解析：1條直線，把平面分成部分；2條直線，直線間增加1個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；3條直線，直線間增加2個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；4條直線，直線間增加3個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分設(shè)n條直線把一個(gè)平面分成50部分，則有，可得，即至少要在平面上畫10條直線 例1.1.3、五個(gè)角最多可以把平面分成多少部分？答案：43解析：顯然應(yīng)讓交點(diǎn)盡量多兩個(gè)角最多把平

4、面分成7部分，第三個(gè)角與之前最多有個(gè)交點(diǎn)，被分為8段（轉(zhuǎn)角處為一段），可使平面增加8部分類似的，第四、五個(gè)角可使平面增加12、16部分綜上，五個(gè)角最多可以把平面分成部分 題模二 封閉圖形分平面例1.2.1、一個(gè)圓能把平面分成兩個(gè)區(qū)域，兩個(gè)圓最多能把平面分成四個(gè)區(qū)域，那么四個(gè)圓最多能把平面分成_個(gè)區(qū)域答案：14解析：時(shí)，第個(gè)圓與前n個(gè)圓最多有2n個(gè)交點(diǎn)，使得自身被分為2n段，每段使原來(lái)的一個(gè)區(qū)域一分為二，故第個(gè)圓最多可使平面增加2n部分，四個(gè)圓最多能把平面分成部分 例1.2.2、如果在一個(gè)平面上畫出8個(gè)三角形，最多可以把平面分成幾個(gè)部分？答案：170解析：1個(gè)三角形

5、可以把平面分成2部分；畫第2個(gè)三角形時(shí)，它與前面的三角形最多有6個(gè)交點(diǎn)，這6個(gè)交點(diǎn)會(huì)把新畫的三角形分成6段，每一段都會(huì)使整個(gè)平面多分出一個(gè)部分，因此2個(gè)三角形可以把平面分成個(gè)部分；畫第3個(gè)三角形，它與前面的圖形有12個(gè)交點(diǎn)，同理可知，平面增加了12個(gè)部分，因此2個(gè)三角形可以把平面分成個(gè)部分；第n個(gè)三角形與前面的圖形有個(gè)交點(diǎn)，平面增加了個(gè)部分，綜上，n個(gè)三角形最多把平面分成個(gè)部分因此8個(gè)三角形最多可以把平面分成個(gè)部分 例1.2.3、如果在一個(gè)平面上畫出4個(gè)凸五邊形，最多可以把平面分成_個(gè)部分答案：62解析：增量分析每畫一個(gè)凸五邊形，最多可與之前的n個(gè)凸五邊形有個(gè)交點(diǎn)，可使平面增加部分因

6、此，畫4個(gè)凸五邊形最多可以把平面分成個(gè)部分 題模三 組合圖形分平面例1.3.1、有10條直線和2個(gè)圓，最多可以把平面分成_個(gè)部分答案：98解析：增量分析先畫直線，畫完第1條直線后平面被分為2部分時(shí)，第n條直線與之前圖形最多有個(gè)交點(diǎn)，可使平面增加n部分；第1個(gè)圓與直線最多有個(gè)交點(diǎn)，可使平面增加20部分；第2個(gè)圓與之前的圖形最多有個(gè)交點(diǎn)，可使平面增加22部分因此，10條直線和2個(gè)圓最多可以把平面分成部分 例1.3.2、在一個(gè)平面上畫1條直線，2個(gè)三角形和3個(gè)長(zhǎng)方形，那么最多可把這個(gè)平面分成多少部分？答案：78解析：依次畫3個(gè)長(zhǎng)方形、2個(gè)三角形和1條直線，通過(guò)增量分析可

7、得最多可把這個(gè)平面分成個(gè)部分 隨堂練習(xí)隨練1.1、如果在一個(gè)平面上畫出8條直線，最多可以把平面分成幾個(gè)部分？如果畫8個(gè)圓，最多可以分成幾個(gè)部分？答案：37個(gè)；58個(gè)解析：根據(jù)上面第4題的解答可知：新增直線被分為幾部分，區(qū)域數(shù)量自然也就增加幾部分，所以可以將8條直線的情況寫為如下的一張數(shù)表：8個(gè)圓也是同樣的道理： 隨練1.2、用直線把一個(gè)平面分成100部分，至少要在平面上畫_條直線答案：14解析：1條直線，把平面分成部分；2條直線，直線間增加1個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；3條直線，直線間增加2個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；4條直線，直線間增加3個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分設(shè)n條直線把一個(gè)平面

8、分成100部分，則有，可得，即至少要在平面上畫14條直線 隨練1.3、在一個(gè)平面上畫出20個(gè)圓，最多可以把平面分成_個(gè)部分答案：382解析：一個(gè)圓最多能把平面分成2個(gè)部分；2個(gè)圓最多能把平面分成個(gè)部分；3個(gè)圓最多能把平面分成個(gè)部分；現(xiàn)在加入第4個(gè)圓，為了使分成的部分最多，第4個(gè)圓必須與前面3個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，因此得6個(gè)交點(diǎn)將第4個(gè)圓的圓周分成6段圓弧，而每一段圓弧將原來(lái)的部分一分為二，即增加了一個(gè)部分，于是4個(gè)圓最多將平面分成個(gè)部分；同理，5個(gè)圓最多將平面分成個(gè)部分那么20個(gè)圓，最多可以把平面分成部分 隨練1.4、在一個(gè)平面上畫出6個(gè)正方形，最多可以把平面分成幾個(gè)部分？答案

9、：122解析：第1個(gè)正方形將平面分為2部分，第2個(gè)正方形與第1個(gè)最多有8個(gè)交點(diǎn)，即被分為8段，每段使原來(lái)的1部分一分為二，即可增加8部分同理，第個(gè)正方形與之前的n個(gè)正方形最多有個(gè)交點(diǎn)，將使平面增加部分因此，6個(gè)正方形最多可以把平面分成部分 隨練1.5、在一個(gè)平面上畫出3個(gè)三角形、2個(gè)圓、1條直線，最多可以把平面分成幾個(gè)部分？答案：68解析：第1個(gè)三角形將平面分為2部分，第2個(gè)三角形與第1個(gè)三角形最多有6個(gè)交點(diǎn)，即被分為6段，每段使原來(lái)的1部分一分為二，即可增加6部分，同理第3個(gè)三角形使平面增加個(gè)部分，至此共部分；每個(gè)圓與1個(gè)三角形最多有6個(gè)交點(diǎn)，兩圓間還可有2個(gè)交點(diǎn)，故畫完圓可再增加

10、部分；直線與之前的5個(gè)圖形最多有10個(gè)交點(diǎn)，故還能增加10部分綜上，共部分 課后作業(yè)作業(yè)1、12條直線最多把平面劃分為多少部分？答案：79解析：1條直線，把平面分成部分；2條直線，直線間增加1個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；3條直線，直線間增加2個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；12條直線可把平面分成部分 作業(yè)2、在一個(gè)平面上畫出50條直線，最多可以把平面分成_個(gè)部分答案：1276解析：1條直線，把平面分成部分；2條直線，直線間增加1個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；3條直線，直線間增加2個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分；4條直線，直線間增加3個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部分50條直線，直線間增加49個(gè)交點(diǎn)，把平面分成部

11、分 作業(yè)3、八個(gè)角最多可以把平面分成多少部分？答案：115解析：顯然應(yīng)讓交點(diǎn)盡量多兩個(gè)角最多把平面分成7部分，第三個(gè)角與之前最多有個(gè)交點(diǎn)，被分為8段（轉(zhuǎn)角處為一段），可使平面增加8部分類似的，第四至八個(gè)角可使平面增加12、16、20、24、28部分綜上，八個(gè)角最多可以把平面分成部分 作業(yè)4、在一個(gè)平面上畫出10個(gè)圓，最多可以把平面分成多少部分？答案：92解析：一個(gè)圓最多能把平面分成2個(gè)部分；2個(gè)圓最多能把平面分成個(gè)部分；3個(gè)圓最多能把平面分成個(gè)部分；現(xiàn)在加入第4個(gè)圓，為了使分成的部分最多，第4個(gè)圓必須與前面3個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，因此得6個(gè)交點(diǎn)將第4個(gè)圓的圓周分成6段圓弧，而每一段圓弧將原來(lái)的部分一分為二，即增加了一個(gè)部分，于是4個(gè)圓最多將平面分成個(gè)部分；同理，5個(gè)圓最多將平面分成個(gè)部分那么10個(gè)圓，最多可以把平面分成部分 作業(yè)5、在一個(gè)平面上畫出4個(gè)正六邊形，最多可以把平面分成幾個(gè)部分？答案：74解析：第1個(gè)正六邊形將平面分為2部分，第2個(gè)正六邊形與第1個(gè)最多有個(gè)交點(diǎn)，即被分為12段，每段使原來(lái)的1部分一分為二，即可增加12部分同理，第3、4個(gè)