三角函數(shù)圖像學(xué)案

1、三角函數(shù)圖像學(xué)案適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)高一適用區(qū)域人教版課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60（一對(duì)一）知識(shí)點(diǎn)三角函數(shù)的圖形及基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)了解三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，理解三角函數(shù)周期性，單調(diào)性教學(xué)重點(diǎn)三角函數(shù)的周期性，對(duì)稱性及單調(diào)性教學(xué)難點(diǎn)三角函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)一、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)a.基礎(chǔ)梳理1“五點(diǎn)法”描圖(1)ysin x的圖象在0,2上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)，(，0)，(2，0)(2)ycos x的圖象在0,2上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)，(，1)，(2，1)2三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)ysin xycos xytan x定義域rrx|xk，kz圖象值域1,11,1r對(duì)稱

2、性對(duì)稱軸：xk(kz)對(duì)稱中心：(k，0)(kz)對(duì)稱軸：xk(kz)對(duì)稱中心：無(wú)對(duì)稱軸對(duì)稱中心：(kz)周期22單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間，2k(kz)；單調(diào)減區(qū)間，2k(kz)單調(diào)增區(qū)間2k，2k(kz)；單調(diào)減區(qū)間2k，2k(kz)單調(diào)增區(qū)間，k(kz)奇偶性奇偶奇b.方法與要點(diǎn)1、兩條性質(zhì)(1)周期性函數(shù)yasin(x)和yacos(x)的最小正周期為，ytan(x)的最小正周期為.(2)奇偶性三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為yasin x或yatan x，而偶函數(shù)一般可化為yacos xb的形式2、三種方法求三角函數(shù)值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)

3、化為yasin(x)k的形式逐步分析x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的值域；(3)換元法：把sin x或cos x看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題c.雙基自測(cè)1(人教a版教材習(xí)題改編)函數(shù)ycos，xr()a是奇函數(shù) b是偶函數(shù)c既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) d既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 2函數(shù)ytan的定義域?yàn)?)a. b.c. d. 3已知k4，則函數(shù)的最小值是( )(a) 1 (b) 1 (c) 2k1 (d) 2k14ysin的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()a(，0) b. c. d.5函數(shù)f(x)cos的最小正周期為_(kāi)d.考點(diǎn)解析考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域與值域【例11】(1)求

4、函數(shù)ylg sin 2x的定義域 (2) 求函數(shù)ycos2xsin x的最大值與最小值(1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解(2)求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)到以下幾種類型的題目：，設(shè)化為一次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之；形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yasin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函

5、數(shù)求值域(最值)【訓(xùn)練1】（1）求函數(shù)y的定義域（2）（06年遼寧卷）已知函數(shù),則的值域是(a) (b) (c) (d) (3) （04年廣東卷）當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是 ( ) a. 4 b. c.2 d. 考點(diǎn)二三角函數(shù)的奇偶性與周期性【例21】判斷下列函數(shù)的奇偶性及周期性，若具有周期性，則求出其周期.（1）（2）（3）（4）求三角函數(shù)的最小正周期的一般方法：先化為，在由公式求之；由周期函數(shù)的定義：求得 一般地，或的周期是不含有絕對(duì)值的函數(shù)的周期的一半【例22】設(shè)有函數(shù)和，若它們的最小正周期的和為，且，求和的解析式?！纠?3】已知函數(shù)（1）求它的定義域，值域；（2）判定它的奇偶性和周期性；（3

6、）判定它的單調(diào)區(qū)間及每一區(qū)間上的單調(diào)性【訓(xùn)練2】1、定義在r上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，則的值為 a. b. c. d. 2、函數(shù)的最小正周期是 a b c 2 d 4xxxxooooyyyyabcd3、函數(shù)的部分圖象是 4、給定性質(zhì)：最小正周期為，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列四個(gè)函數(shù)中，同時(shí)具有性質(zhì)的是（ ）abcd考點(diǎn)三三角函數(shù)的單調(diào)性【例31】已知，求的單調(diào)遞增區(qū)間【例32】(2011年高考安徽卷理科9)已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若對(duì)恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（a） （b）（c） （d）來(lái)源:（1）求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般方法是：首先化為；再解不等式：（增函數(shù)

7、區(qū)間）或（減函數(shù)區(qū)間）（也可先解（增）或，然后再在區(qū)間端點(diǎn)前面加上周期的倍）（2）如果題目中還限制了自變量的取值范圍，還應(yīng)在規(guī)定范圍下求單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間。【訓(xùn)練3】1、的單調(diào)減區(qū)間是（ ）abcd2、（2011年全國(guó)新課標(biāo)卷）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且，則a.在單調(diào)遞減b. 在單調(diào)遞減c. 在單調(diào)遞增d. 在單調(diào)遞增考點(diǎn)四三角函數(shù)的對(duì)稱性【例41】 (1)函數(shù)ycos圖象的對(duì)稱軸方程可能是()ax bx cx dx(2)若0，g(x)sin是偶函數(shù)，則的值為_(kāi)（3）（2009全國(guó)卷文）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為(a) (b) (c) (d) 【例42】已知函數(shù)，若，則與的大小關(guān)

8、系是a、> b、<c、= d大小與a、有關(guān)（1）正、余弦函數(shù)的圖象既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形正切函數(shù)的圖象只是中心對(duì)稱圖形，應(yīng)熟記住它們的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，并注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用（2）三角函數(shù)的對(duì)稱性及其應(yīng)用：對(duì)稱中心圖象上的平衡點(diǎn)，對(duì)稱軸圖象上的極值點(diǎn)；三角函數(shù)的對(duì)稱性也符合對(duì)稱中心及對(duì)稱軸的一般公式。【訓(xùn)練4】(1)函數(shù)y2sin(3x)的一條對(duì)稱軸為x，則_.(2)如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為（a） （b） （c） (d) （3）的圖象關(guān)于x對(duì)稱，它的周期是，則（ ）a、f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0， b、f（x）在區(qū)間上是減函數(shù) c、f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)

9、稱中心是點(diǎn)（ d、f（x）的最大值是a（4）已知,且在區(qū)間有最小值,無(wú)最大值,則_.二、正弦型函數(shù)yasin(x)的圖象及應(yīng)用a.基礎(chǔ)梳理1用五點(diǎn)法畫(huà)yasin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)如下表所示xx02yasin(x)0a0a02函數(shù)ysin x的圖象變換得到y(tǒng)asin(x)的圖象的步驟3當(dāng)函數(shù)yasin(x)(a0，0，x0，)表示一個(gè)振動(dòng)時(shí)，a叫做振幅，t叫做周期，f叫做頻率，x叫做相位，叫做初相4圖象的對(duì)稱性函數(shù)yasin(x)(a0，0)的圖象是軸對(duì)稱也是中心對(duì)稱圖形，具體如下：(1)函數(shù)yasin(x)的圖象關(guān)于直線xxk(其中 xkk，kz)成軸對(duì)稱圖形(2)函數(shù)y

10、asin(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(xk,0)(其中xkk，kz)成中心對(duì)稱圖形b.方法與要點(diǎn)1、一種方法在由圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)，若最大值為m，最小值為m，則a，k，由周期t確定，即由t求出，由特殊點(diǎn)確定2、一個(gè)區(qū)別由ysin x的圖象變換到y(tǒng)asin (x)的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(0)個(gè)單位原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于x加減多少值 3、兩個(gè)注意作正弦型函數(shù)yasin(x)的圖象時(shí)應(yīng)注意：(1)首先要確定函數(shù)的定義域；(2)對(duì)于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求

11、出周期，作圖象時(shí)先作一個(gè)周期的圖象，再由周期性作整個(gè)函數(shù)的圖象c.雙基自測(cè)1(人教a版教材習(xí)題改編)y2sin 的振幅、頻率和初相分別為()a2， b2， c2， d2， 2.已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)f(x)asin(x)的部分圖象如圖所示，則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期t和初相分別為()at6， bt6， ct6， dt6，3函數(shù)ycos x(xr)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)yg(x)的圖象，則g(x)的解析式應(yīng)為()asin x bsin x ccos x dcos x解析由圖象的平移得g(x)cossin x. 4設(shè)0，函數(shù)ysin2的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，則的最小值是()a. b. c

12、. d35已知函數(shù)f(x)sin(x)(0)的圖象如圖所示，則_.d.考點(diǎn)解析考點(diǎn)一函數(shù)的圖象題型1：給出函數(shù)作圖象【例11】設(shè)函數(shù)f(x)cos(x)的最小正周期為，且f.(1)求和的值；(2)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在0，上的圖象審題視點(diǎn) (1)由已知條件可求，；(2)采用“五點(diǎn)法”作圖，應(yīng)注意定義域0，(1)“五點(diǎn)法”作圖的關(guān)鍵是正確確定五個(gè)點(diǎn)，而后列表、描點(diǎn)、連線即可(2)變換法作圖象的關(guān)鍵看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用x來(lái)確定平移單位【訓(xùn)練11】 已知函數(shù)f(x)3sin，xr.(1)畫(huà)出函數(shù)f(x)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；(2)將函數(shù)ysin

13、 x的圖象作怎樣的變換可得到f(x)的圖象？題型2：給出圖象求函數(shù)【例12】（1）已知函數(shù)yasin(x)(a0，|，0)的圖象的一部分如圖所示(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)試寫(xiě)出f(x)的對(duì)稱軸方程（2）（07年江西卷）如圖，函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，且該函數(shù)的最小正周期為（1）求和的值；（2）已知點(diǎn)a，點(diǎn)p是該函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)q是pa的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值。給出圖象求函數(shù)一般有兩種方法，方法1：待定系數(shù)法，即找出圖象上兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)式中聯(lián)解方程組求出、的值；方法2：先由函數(shù)圖象上的三個(gè)平衡點(diǎn)及兩個(gè)極值點(diǎn)求出函數(shù)的周期（三個(gè)平衡點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn)把函數(shù)的一個(gè)周期分為四等分，所以只要

14、知道這五個(gè)點(diǎn)其中的兩個(gè)就可以求出周期t）再由求出；再找出圖象其中一個(gè)周期中的起始點(diǎn)的坐標(biāo)（注意，這里的不一定是）然后用代入函數(shù)中得整理即得。（特別注意：是而不是）。至于振幅a的值則有圖象上的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)而求得。（如果最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)不關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)式應(yīng)是的形式）【訓(xùn)練12】1、（05年四川卷）下列函數(shù)中，圖象的一部分如右圖所示的是（a） （b） （c） （d）2、（2005天津卷文）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為 （a） （b）（c） （d）1o-13、（2009寧夏海南卷理）已知函數(shù)y=sin（x+）（>0, -<）的圖像如圖所示，則 =_ .4、（2

15、009遼寧卷理）已知函數(shù)=acos()的圖象如圖所示，則=（a） (b) (c) (d) 21世紀(jì)教育網(wǎng) 考點(diǎn)二函數(shù)yasin(x)的圖象變換題型1：給定原函數(shù)和變換過(guò)程求變換后的函數(shù)【例21】（1）（2009全國(guó)卷理）若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為a b. c. d. 【例21】（2）函數(shù)y=cosx的圖象向左平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，所得的函數(shù)圖象解析式為 ( ) (a) y=3cos(x+) (b) y=3cos(2x+) (c) y=3cos(2x+) (d) y=cos(x+)（3）若改為：“把函數(shù)y=cosx的圖象先

16、橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，再向左平移個(gè)單位”其他不變呢？給定原函數(shù)和變換過(guò)程求變換后的函數(shù)時(shí)，左右平移變換：用替換，得，其中，左移用“”，右移用“”；橫坐標(biāo)伸縮變換：用替換，得；縱坐標(biāo)伸縮變換（即振幅變換）：；注意先后順序：若先平移再左右伸縮，則；若先左右伸縮再平移，則振幅變換無(wú)需考慮順序（但須看其最大值與最小值是否關(guān)于x軸對(duì)稱）【訓(xùn)練21】（1）(2012年高考浙江卷理科4)把函數(shù)ycos2x1的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像是（2）先將函數(shù)yf（x）的圖象向右移個(gè)單位，再將所得的圖象作關(guān)于直線x的對(duì)稱變換，得到的函

17、數(shù)圖象，則f（x）的解析式是（ ）a、 b、c、 d、（3）把函數(shù)y = sin(2x+)的圖象向右平移個(gè)單位, 再將橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的, 則其解析式為 .題型2：給定變換前后函數(shù)求變換過(guò)程【例22】（1）其圖象可以由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到?【例22】（2）（05年天津卷）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的（c）(a)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）,再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度(b)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度(c)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度(d)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)個(gè)

18、單位長(zhǎng)度給定變換前后函數(shù)求變換過(guò)程，一般用待定系數(shù)法，即設(shè)左右平移了個(gè)單位及橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的倍（1）若僅有初相位不同而相同，則只作平移變化；例如：把經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到的圖象？解：設(shè)左右平移了，則函數(shù)變?yōu)?，解得，向右平?（2）若僅有頻率不同而初相位相同；則只作周期變化。例如：把經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到的圖象？解：設(shè)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的倍，由變?yōu)椋山獾?，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（3）若頻率和初相位均不同，例如：把經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到的圖象？則又分兩種情況：若先平移再伸縮，則先設(shè)平移了，得，由解得；然后在設(shè)伸縮到原來(lái)的倍，由解得；結(jié)論：先向左平移，然后橫坐標(biāo)在伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍。若先伸縮再平移，則先

19、設(shè)伸縮到原來(lái)的倍，由解得，函數(shù)式變?yōu)椋蝗缓笤僭O(shè)平移了，函數(shù)式變?yōu)?，由解得，結(jié)論：先橫坐標(biāo)在伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，然后向左平移。（4）若所給的原函數(shù)與變化后的新函數(shù)不是同名函數(shù)；則需用誘導(dǎo)公式先化為同名函數(shù)：，或（5）仔細(xì)審題，分清楚那個(gè)是原函數(shù)，那個(gè)是變化后的函數(shù)?！居?xùn)練22】（1）要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)y=sin2x的圖象（）a、向左平移個(gè)單位b、向右平移個(gè)單位c、向左平移個(gè)單位d、向右平移個(gè)單位2）將的圖象變?yōu)?，其變換方法是_（3）已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù)的圖象，只要將的圖象 a向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 b 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 c向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 d 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 （4）有下

20、列四種變換方式: 向左平移，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的；橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向左平移； 橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向左平移； 向左平移，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的； 其中能將正弦曲線的圖像變?yōu)榈膱D像的是（ ） a和 b和 c 和 d 和（5、）寫(xiě)出函數(shù)y=4sin2x (xr)的圖像可以由函數(shù)y=cosx通過(guò)怎樣的變換而得到.(至少寫(xiě)出兩個(gè)順序不同的變換)2m8mhp考點(diǎn)三三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例3】一個(gè)大風(fēng)車(chē)的半徑為8米，12分鐘旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)離地面2米，求風(fēng)車(chē)翼片的一個(gè)端點(diǎn)離地面距離h(米)與時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式.【訓(xùn)練3】設(shè)是某港口水的深度關(guān)于時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)，其中,下表是該港口某一天

21、從0至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系.t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長(zhǎng)期觀察，函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.根據(jù)上述數(shù)據(jù)，函數(shù)的解析式為（ ）a bc d自我檢測(cè)題一，選擇題1、（a0，0）在x=1處取最大值，則（ ）a一定是奇函數(shù) b一定是偶函數(shù) c一定是奇函數(shù) d一定是偶函2、函數(shù)y=tg（）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象（）a、b、c、d、3、（2005福建卷理）函數(shù)的部分圖象如圖，則 ab cd4、函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值是（ ）a、0 b、1 c、22 d、225、函數(shù)，給出下列三個(gè)命題：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱；函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向左平移而得到。其中正確的是 （ ）a b c d6、函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為（ ）a. b. c. d. 7、（06年江蘇卷江蘇卷）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)（a）向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，