放縮法典型例題

1、優(yōu)秀教案歡迎下載放縮法典型例題數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題能有效地考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式知識(shí)解決問(wèn)題的能力本文介紹一類(lèi)與數(shù)列和有關(guān)的不等式問(wèn)題， 解決這類(lèi)問(wèn)題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和一先求和后放縮例1正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求證：解： （1）由已知得，時(shí)，作差得：，所以，又因?yàn)闉檎龜?shù)數(shù)列，所以，即是公差為 2的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式如果此數(shù)列的前項(xiàng)和能直接求和或者通過(guò)變形后求和，則采用先求和再放

2、縮的方法來(lái)證明不等式求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列滿足條件）求和或者利用分組、裂項(xiàng)、倒序相加等方法來(lái)求和二先放縮再求和1放縮后成等差數(shù)列，再求和例2已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且. (1) 求證：；(2) 求證：優(yōu)秀教案歡迎下載解： （1）在條件中，令，得，又由條件有，上述兩式相減，注意到得所以，所以（2）因?yàn)椋?，所以?放縮后成等比數(shù)列，再求和例3 （1）設(shè) a，n n*，a2，證明：；（2） 等比數(shù)列 an中， 前 n 項(xiàng)的和為an， 且 a7， a9， a8成等差數(shù)列 設(shè)，數(shù)列 bn前 n 項(xiàng)的和為bn，證明： bn解： （1）當(dāng) n 為

3、奇數(shù)時(shí)， ana，于是，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， a11，且 ana2，于是（2），公比優(yōu)秀教案歡迎下載3放縮后為差比數(shù)列，再求和例4已知數(shù)列滿足：，求證：證明：因?yàn)?，所以與同號(hào)，又因?yàn)椋裕?，即所以?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得4放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和例5在 m（m2）個(gè)不同數(shù)的排列p1p2pn中，若1ijm時(shí)pip（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱pi與pj構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)j（1）求 a4、a5，并寫(xiě)出an的表達(dá)式；（2）令，證明，n=1,2, .（2）因?yàn)?，?yōu)秀教案歡迎下載所以. 又因?yàn)?，所?. 綜上，. 注：常用放縮的結(jié)論： （1）（2） 在解題時(shí)朝著什么方向進(jìn)行放縮，是解題的關(guān)鍵， 一般要看證明的結(jié)果是什么形式如例要證明的結(jié)論、為等差數(shù)列求和結(jié)果的類(lèi)型，則把通項(xiàng)放縮為等差數(shù)列，再求和即可；如例3要證明的結(jié)論為等比數(shù)列求和結(jié)果的類(lèi)型，則把通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列， 再求和即可； 如例 4要證明的結(jié)論為差比數(shù)列求和結(jié)果的類(lèi)型，則把通項(xiàng)放縮為