高中數學必修一第一章知識點總結

1、學習必備歡迎下載第一章 集合與函數概念課時二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集（1）定義：如果集合a 的任何一個元素都是集合b 的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合 a 是集合 b 的子集。記作：ba（或 b）注意：ba有兩種可能（ 1）a 是 b 的一部分，；（2）a 與 b 是同一集合。反之: 集合 a 不包含于集合 b,或集合 b 不包含集合 a,記作 ab 或 ba 2“相等”關系：a=b (5 5，且 5 5，則 5=5) 實例：設a=x|x2-1=0 b=-1,1 “元素相同則兩集合相等”即： 任何一個集合是它本身的子集。aa 真子集 :如果 ab,且 a b 那就說集合

2、 a 是集合 b 的真子集，記作 ab(或 ba) 或若集合 ab，存在 xb 且 x a，則稱集合 a 是集合 b 的真子集。如果 ab, bc ,那么 ac 如果 a b 同時 ba 那么 a=b 3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 個元素的集合，含有2n個子集， 2n-1個真子集課時三、集合的運算運算類型交集并集補集定義由所有屬于 a 且屬于 b的元素所組成的集合,叫做 a,b 的交集 記 作ab（讀作 a 交 b），即 ab=x|xa，且xb由所有屬于集合a 或屬于集合 b 的元素所組成的集合，叫做a,b 的并集記作：

3、ab （讀作 a并b ） ， 即ab =x|xa，或 xb)全集：一般，若一個集合漢語我們所研究問題中這幾道的所有元素，我們就稱這個集合為全集， 記作：u 設 s 是一個集合， a 是 s 的一個子集，由 s 中所有不屬于 a 的元素組成的集合，叫做 s 中子集 a 的補集（或余集）記作acscsa=,|axsxx且學習必備歡迎下載韋恩圖示ab圖 1ab圖 2性質a a=a a =a b=ba a ba a bb aua=a au=a aub=bua aubaubb (cua) (cub)= cu(aub) (cua) u (cub)= cu(a b) au(cua)=u a (cua)=課時

4、四：函數的有關概念1函數的概念：設a、b 是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合a 中的任意一個數 x，在集合 b 中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：a b 為從集合 a到集合 b 的一個函數 記作： y=f(x)，x a（1）其中， x 叫做自變量， x 的取值范圍 a 叫做函數的定義域；（2）與 x 的值相對應的 y 值叫做函數值，函數值的集合f(x)| x a 叫做函數的值域函數的三要素：定義域、值域、對應法則3、區(qū)間的概念：（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間（3）區(qū)間的數軸表示4 函數的表示方法：（ 1）解析法：明確函數的定義域（

5、2）圖想像：確定函數圖像是否連線，函數的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點等等。（3）列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特征。5、函數圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x) , (x a)中的 x 為橫坐標，函數值y 為縱坐標的點p(x，y)的集合 c，叫做函數y=f(x),(x a)的圖象 c 上每一點的坐標 (x，y)均滿足函數關系 y=f(x) ，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y 為坐標的點 (x，y)，均在 c 上 . (2) 畫法a、描點法：b、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對稱變換。（3）函數圖像變換的特點：1）函數

6、 y=f(x) 關于 x 軸對稱 y=-f(x) 2）函數 y=f(x) 關于 y 軸對稱 y=f(-x) 3）函數 y=f(x) 關于原點對稱 y=-f(-x) 2映射s a 學習必備歡迎下載一般地，設 a、b 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合 a 中的任意一個元素 x，在集合 b 中都有唯一確定的元素y 與之對應，那么就稱對應f：ab 為從集合 a 到集合 b 的一個映射。記作“f（對應關系）： a（原象）b（象）”對于映射 f：a b 來說，則應滿足：(1)集合 a 中的每一個元素，在集合b 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 a 中不同的元素，在集合b 中對

7、應的象可以是同一個；(3)不要求集合 b 中的每一個元素在集合a 中都有原象。課時五：函數的解析表達式，及函數定義域的求法1、函數解析式子的求法（1）、函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域. （2）、求函數的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系數法：3）換元法：4)拼湊法：2定義域 ：能使函數式有意義的實數x 的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (

8、5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合 . (6)指數為零底不可以等于零，(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義. 3、相同函數的判斷方法： 表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；定義域一致(兩點必須同時具備 ) 課時六：1值域 : 先考慮其定義域（1）觀察法：直接觀察函數的圖像或函數的解析式來求函數的值域；(2)配方法：針對二次函數的類型，根據二次函數圖像的性質來確定函數的值域，注意定義域的范圍。(3)代換法（換元法）：作變量代換，針對根式的題型，轉化成二次函數的類型。(4)分離常數法課時七1.分段函

9、數學習必備歡迎下載（1）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。（2）各部分的自變量的取值情況（3）分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集補充：復合函數如果 y=f(u)(u m),u=g(x)(x a),則 y=fg(x)=f(x)(x a) 稱為 f、g 的復合函數。（4）常用的分段函數1）取整函數：2）符號函數：3）含絕對值的函數：注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數僅僅是針對數字來說的。 所以函數是映射，而映射不一定的函數課時八函數的單調性 (局部性質 )及最值1、增減函數（1）設函數 y=f(x)的定義域為 i，如果對于定義域i 內的某個區(qū)間 d

10、內的任意兩個自變量x1，x2，當 x1x2時，都有 f(x1)f(x2)，那么就說 f(x)在區(qū)間 d 上是增函數 .區(qū)間 d 稱為 y=f(x)的單調增區(qū)間 . （2）如果對于區(qū)間d 上的任意兩個自變量的值x1，x2，當 x1x2 時，都有 f(x1)f(x2)，那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是減函數 .區(qū)間 d 稱為 y=f(x)的單調減區(qū)間 . 注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種2、 圖象的特點如果函數 y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數， 那么說函數 y=f(x)在這一區(qū)間上具有 (嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，

11、減函數的圖象從左到右是下降的. 3、函數單調區(qū)間與單調性的判定方法(a) 定義法：1 任取 x1，x2 d，且 x1x2；2 作差 f(x1)f(x2)；3 變形（通常是因式分解和配方）；4 定號（即判斷差 f(x1)f(x2)的正負）；5 下結論（指出函數f(x)在給定的區(qū)間 d 上的單調性）(b)圖象法 (從圖象上看升降 ) (c)復合函數的單調性復合函數 fg(x)的單調性與構成它的函數u=g(x) ，y=f(u) 的單調性密切相關， 其規(guī)律：“同增異減”注意：函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 學習必備歡迎下載課時九：函數的奇偶性（整體性質

12、）（1）偶函數 :一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有 f(x)=f(x) ，那么 f(x)就叫做偶函數（2）奇函數 :一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函數（3）、具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y 軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱利用定義判斷函數奇偶性的步驟：1 首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；若是不對稱，則是非奇非偶的函數；若對稱，則進行下面判斷；2 確定 f(x)與 f(x)的關系；3 作出相應結論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0 ，則 f(x)是偶函數；若

13、 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0 ，則 f(x)是奇函數（4）利用奇偶函數的四則運算以及復合函數的奇偶性1）在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數；2）復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定 ; (2)由 f(-x) f(x)=0 或 f(x)f(-x)= 1 來判定 ; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 . 課時十、函數最值及性質的應用1、函數的最值1 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值2 利用圖象求函數的最大（?。┲? 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數 y=f(x)在區(qū)間 a，b上單調遞增，在區(qū)間 b，c上單調遞減則函數y=f(x)在 x=b 處有最大值f(b)；如果函數 y=f(x)在區(qū)間 a，b上單調遞減，在區(qū)間 b，c上單調遞增則函數y=f(x)在 x=b 處有最小值f(b)；學習必備歡迎下載2、函數