探究線性微分方程解的存在唯一性

1、常微分課程報告題目：探究線性微分方程解的存在唯一性 組長：侯芮 組員：白柳純 張小雨 李琳 李振勇 報告日期：5.15目錄引言.11、 引例.22、 證明解的存在唯一性的步驟.23、 一階線性微分方程解的存在唯一性.24、 探究n階線性微分方程解的存在唯一性.85、 用不動點定理證明一階線性微分方程解的存在唯一性.101、 不動點定理的一些結論.102、 不動點定理證明一階線性微分方程解的存在唯一性.126、 用不動點定理證明n階線性微分方程解的存在唯一性.167、 總結.21引言從分析方法入手,來證明滿足初值條件下一階線形微分方程解的存在唯一性定理的證明.我們學習了能用初等解法的一階方程的若

2、干類型,但同時知道大量的一階方程是不能用初等解法求出它的通解,而實際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解,因此對初值問題的研究被提到重要地位,自然要問:初值問題的解是否存在?如果存在是否唯一?The analysis method of that satisfy the initial conditions the solution of linear differential equation of first order is the only proof of the theorem of. We learn to use several types of elementary

3、solution of first-order equations, but also know a lot of first-order equations is not elementary solution for the general solutions of, and practical problems need is often required to meet some initial conditions the solution. Therefore, study for the initial value problem is mentioned an importan

4、t position, natural to ask: the existence of solutions of initial value problems? If there is only one?一、引例例： y(0)=0解： 通解： y=0例： y(0)=0解： 及y=0二、證明解的存在唯一性的步驟1、 微分方程的初值問題等價于一個積分問題2、 構造一個合適的連續(xù)的逐步逼近序列3、 證明此逐步逼近序列一致收斂4、 證明此收斂的極限函數(shù)為所求初值問題的解5、 證明唯一性三、一階線形微分方程解的存在唯一性首先，我們令這里是在帶形域 R:上的連續(xù)函數(shù).函數(shù)稱為在R上關于y滿足利普希茲（L

5、ipschitz)條件,如果存在常數(shù)L>0使不等式對于所有的都成立,L稱為利普希茲常數(shù)。下面我們給出一階線性微分方程 (1) 解的存在唯一性定理:如果在R上連續(xù)且關于y滿足利普希茲條件,則方程(1)存在唯一的解,定義于區(qū)間上,連續(xù)且滿足初始條件:這里 ， ， 下面我們分五個命題來證明。 命題1 設是 一階線性微分方程的定義于區(qū)間 上的，且滿足初始條件 的解，所以 是積分方程的定義于 上的連續(xù)解，反之亦然。 證明：因為是 的解 所以兩邊從到取積分得 （2） 又因為初始條件即 （3）所以是積分方程 定義于 上的連續(xù)解。 反之：是積分方程 的連續(xù)解，則 微分得到 將代入 得 因此是 的定義于上

6、且滿足初始條件的解。 現(xiàn)在取,構造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下: (n=1,2,) (4) 命題2 對于所有的n，函數(shù) 在 上定義、連續(xù)且滿足不等式 證明 當n=1時， 在 上有定義、連續(xù)且有 即n=1時，命題2成立，下面我們用數(shù)學歸納法證明假設當n=k時命題2成立，即 由n=k時成立知道， 在 上有定義、連續(xù)且有 即n=k+1時命題2成立，即對所有n成立，即構建連續(xù)逐步逼近的序列完畢。 命題3 函數(shù)序列在上是一致收斂的。證明 我們考慮級數(shù) (5)它的部分和為=因此,要證明序列在上一致收斂,只需證明級數(shù)(5)在上一致收斂.為此,我們進行如下估計.由(4)有 （6）及 利用利普希茲條件及(6)得到

7、=設對于正整數(shù)n,不等式成立,則有利普希茲條件,當時,有 于是,由數(shù)學歸納法得知,對于所有的正整數(shù)k,有如下的估計 (7)從而可知,當時 (8)(8)的右端是正項收斂級數(shù)的一般項。由維爾斯特拉斯判別法級數(shù)(5)在上一致收斂,因而序列也在上一致收斂,命題3證畢. 命題4 是積分方程(2)的定義于上的連續(xù)解. 證明 由利普希茲條件以及在上一致收斂于,即知序列 在上一致收斂于.因而對于(4)兩邊取極限,得到即 （9）這就是說是積分方程(2)的定義于上的連續(xù)解.命題4證畢. 命題5 設是積分方程(2)的定義于上的一個連續(xù)解,則 證明 我們首先證明也是序列的一致收斂極限函數(shù).為此,從 (n=1,2,)我

8、們可以進行如下估計 現(xiàn)設,則有 故有數(shù)學歸納法得知,對于所有的正整數(shù)n,有下面的估計式 (10)因此,在上有 (11)是收斂級數(shù)的公項,故因而在上一致收斂于,根據(jù)極限的唯一性,即得 命題5證畢.綜合1-5,即得到一階線性微分方程 解的存在唯一定理的證明。四、探究n階線性微分方程解的存在唯一性 n階線性微分方程的一般形式： （1) 初值條件為： (2)有如下結論： 定理1：（n階線性微分方程初值問題解的存在與唯一性）設(i=1,2,.n)和均在區(qū)間I上連續(xù)，則對任一x0屬于I和任意n個常數(shù)c0，c1，-1，方程（1）恒有且只有一個定義在整個區(qū)間I上且滿足條件（2）的解。問題的轉化：將n階線性微分

9、方程的初值問題轉化成形如的線性微分方程組的初值問題。研究初值問題 (3)的解的存在唯一性定理。定理2：（存在唯一性性定理）如果是n*n矩陣，是n維列向量，它們都在區(qū)間上連續(xù)，則對于區(qū)間上的任何數(shù)t0及任一常數(shù)n維列向量c，方程組存在唯一解，定義于整個區(qū)間上，且滿足初值條件 。 命題1：設是方程組(3）的定義于區(qū)間上且滿足初值條件 （4）的解，則是積分方程 ，上的連續(xù)解，反之亦然。證明：因為是方程（3）的解，兩邊從t0到t取定積分得到，將（4）式代入上式，即有 ， （5） 命題2：對于所有的正整數(shù)k，向量在區(qū)間上有定義且連續(xù)。現(xiàn)取，構造皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列如下： 命題3：向量函數(shù)序列在區(qū)間上

10、是一致收斂的。由利普希茲條件以及在上一致收斂于,即知序列在上一致收斂于.因而對于(4)兩邊取極限,得到=即 命題4：是積分方程（5）的定義在區(qū)間上的連續(xù)解。 證明：由在上一致收斂于，以及的連續(xù)性，推知序列在區(qū)間 上一致收斂于。這就是說，是積分方程（5）的定義于上的連續(xù)解。 命題5：設p（t）是積分方程（5）的定義于上的另一個連續(xù)解，則 。t）。五、不動點定理證明一階線性微分方程解的存在唯一性 （一）不動點定理的重點結論 不動點,是一個函數(shù)術語,在數(shù)學中是指“被這個函數(shù)映射到其自身一個點”。 定義1稱：（X,）（X,）是一個壓縮映射,如果存在01使得（Tx,Ty）(x,y), 定理1.1 壓縮映

11、射原理(C.(C.-)É.皮卡(1890);S.Banach（1922）)：設X是一個完備的度量空間,映射: 把每兩點的距離至少壓縮倍,即d（x）,(y)d(x,y),這里是一個小于1的常數(shù),那么必有而且只有一個不動點,而且從的任何點x0出發(fā)作出序列這序列一定收斂到那個不動點。 定理1.2布勞威爾不動點定理(1910):設是歐氏空間中的緊凸集,那么到自身的每個連續(xù)映射都至少有一個不動點。 定理1.3萊夫謝茨不動點定理:設是緊多面體,:是映射,那么的不動點代數(shù)個數(shù)等于的萊夫謝茨數(shù)L(),它是一個容易計算的同倫不變量.當L()0時,與同倫的每個映射都至少有一個不動點。這個定理發(fā)展了布勞威

12、爾定理。 定理1.4（ Schauder不動點定理）：設是Banach空間X的非空緊凸集,是連續(xù)映射,則在中有不動點。（二）不動點定理證明一階線性微分方程解的存在唯一性定理 1、Banach壓縮映射原理： 對于一階線性微分方程的初值問題 （1）解的存在與唯一問題,有下面的Picard定理： 設在矩形上連續(xù),且關于滿足Lipschitz條件,即存在常數(shù)有 則問題(1)在區(qū)間上有唯一解,這里 證明 首先,問題(1)等價于積分方程 （2)令則是Banach空間的閉子空間,故也是完備的,而映射事實上,是上的連續(xù)函數(shù),即且有 故其次, 因故 是上的壓縮映射.于是,由壓縮映射原理,存在唯一使即積分方程(2

13、)有唯一解也就是問題(1)在區(qū)間上有唯一解。例1 (Volterra積分方程的解) 設是定義在上的連續(xù)函數(shù),則Volterra積分方程 （3）對任意的以及任意常數(shù)存在唯一的解證明 作到其自身的映射：用表示在上的最大值,表示中的距離.對于任意的則有 下面用數(shù)學歸納法來證明 (4)當時,不等式(4)已經(jīng)證明.現(xiàn)設時,不等式(4)成立,則當時,有 故不等式(4)對也成立,于是對一切自然數(shù)成立.由(4) 因為對任意常數(shù)有, 這樣我們始終可以選取足夠大的自然數(shù)使得,因此,是壓縮映射,故方程(3)在上有唯一的解。2、 Schauder不動點定理的應用 （5）其中: , 若給定( ,) , ( , ) 則對

14、于方程求一個函數(shù) ( t) 滿足 (6)的問題稱為方程( 5) 的Cauchy 問題, 而 ( t ) 稱為Cauchy問題( 6)的一個解. 定理 3.1 ( Peano解的存在性定理) 設函數(shù) 在 中的閉區(qū)域: , 上連續(xù), 則Cauchy初值問題( 5 )至少在區(qū)間: 上有解存在,這里 證明 顯然,( 6)等價于積分方程 的求解.令 ： 表示如下：易證是連續(xù)映象, 令,當 又 是相對緊的, 故 是全連續(xù)映象, 且 ( ) ,據(jù)一般的Schauder定理, 在 有不動點, 即Cauchy問題問題( 6)有解.例2 設是連續(xù), 有界的, 則兩點邊值問題 有解.證明 令在上定義則是Banach

15、空間.設定義： 這里 顯然是連續(xù)泛函,且現(xiàn)來證明是全連續(xù)映象, 由于是連續(xù)的, 易證 是連續(xù)的,再者, 任取，則 .令 還有 當如令,顯然有 ( ) ,故存在,使.由,顯然有,求兩次導就得到s即兩點邊值問題有解。6、 用不動點定理證明n階線性微分方程解的存在唯一性1、對N階線性微分方程： （1）初值條件： 設 （2）則有 (3) 帶入原方程： (4)進一步整理：注釋： (5)很顯然在矩形區(qū)域axb,atx上是連續(xù)的 引理：方程（5）與方程（1），（2）等價，也就是如果是初值問題（1）（2）的解，則（其中）是積分方（5）的解；如果是方程（5）的解，則（其中）是初值問題（1）（2）的解。證明：若是初值問題（1）（2）的解，設 由上述過程可知： 代回原方程可以得到： 經(jīng)過進一步的整理： 得到是方程（5）的解若是方程（5）的解，則有：即 其中 ，）取 （6） 變?yōu)椋航?jīng)過移項可得滿足條件的方程（1），即得到是初值問題（1）（2）的解。故方程（1）（2）與方程（5）是等價的。2、用引理證明定理 證明：考慮積分方程 在給定的區(qū)域上連續(xù)，考率映射 T： 則