柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用經(jīng)典例題透析

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我經(jīng)典例題透析類型一：利用柯西不等式求最值1,求函數(shù)y二5石口 4 J10-2,的最大值.，思路點(diǎn)撥：利用不等式解決最值問題， 通常設(shè)法在不等式一邊得到一個常數(shù)，并尋找不等式取等號的條件.這個函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值.也可以利用導(dǎo)數(shù)求解。解析：法一：1?0 且 10-2壯0 ,.函數(shù)的定義域?yàn)榍襶"。，y= 5-Jx-l +0, J5-工工*2 +(收)* x忒小-W +J5-爐工 6電當(dāng)且僅當(dāng)5出二三=我五二時，等號成立,127即 27時函數(shù)取最大值，最大值為 6也法二：,一萬一 1之0且1。一 2

2、元之0 ,.函數(shù)的定義域?yàn)?f _5_1 _ _2” 了 口由2五一1 如f2五五施一公, 得 5J10 -，-2&-1 >0127 即 5J10 -> 2jx-l > 0 ,解得 27丁 127. 27時函數(shù)取最大值，最大值為6招./總結(jié)升華：當(dāng)函數(shù)解析式中含有根號時常利用柯西不等式求解.不等式中的等號能否取得是求最值問題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1(2011遼寧，24)已知函數(shù)f (x) =|x-2|-|x-5|(I)證明：-3Wf (x) w 3; /(II)求不等式f (x) >x2-8x+15的解集。/【答案】7當(dāng)2匕工工5時，一3二2五一(n)由(I)

3、可知,當(dāng)郭三2時，/3 - -8工+勺的解集為空集;當(dāng)2七5時，5的解集為當(dāng)五之5時，/卜"/_"+7的解集為傳綜上，不等式 /(x)>?-Ex+15的解集為5分10分【變式2】已知3 E區(qū)，W/+2八6,求2-+y的最值.【答案】法一：由柯西不等式(2x+y)3<是2x+y的最大值為 舊,最小值為一=(31+2尸)011法二：由柯西不等式I 2x + y 埠J(岳寸甘+ %二業(yè)”4 1于是2x+y的最大值為 赤，最小值為-JH【變式3】設(shè)2x+3y+5z=29,求函數(shù)P =缶+ 1 +島+4【答案】根據(jù)柯西不等式3 * 4。= Q+1+1) . 0 +. 1)

4、+(3») + (5z + 6)r2 "，2尤+1 +lx 后 M + lxn/5z+6)a /故 +4 +、反 + 6£2回。372822當(dāng)且僅當(dāng) 2x+1=3y+4=5z+6，即/6r2 =-15時等號成立,評注：根據(jù)所求最值的目標(biāo)函數(shù)的形式對已知條件進(jìn)行配湊.類型二：利用柯西不等式證明不等式利用柯西不等式證明某些不等式顯得特別方便, 常數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧變、巧設(shè)數(shù)組等。(1)巧拆常數(shù)：而利用柯西不等式的技巧也有很多。如.設(shè)s、5、二為正數(shù)且各不相等， 求證:+>a + A b-c c + a 口十占十 c思路點(diǎn)撥：.式、&、匕均為正為證結(jié)論正確

5、只需證二證明之。證明:,/ 23 +6+匚)(= +2) + (6 +(c +q)(各不相等，故等號不能成立又25十十亡O(2)重新安排某些項(xiàng)的次序:2g十> 十十十一二+ 8 匕+ c + a而2g+»+d)= g+5)+o+<)+k+。)，又9 = 0+1+1),故可利用柯西不等式3.0、&為非負(fù)數(shù),求證，二-Lii思路點(diǎn)撥：不等號左邊為兩個二項(xiàng)式積，僅65K，工力勺乏我中，直接利用柯西不等式,得不到結(jié)論，但當(dāng)把第二個小括號的兩項(xiàng)前后調(diào)換一下位置，就能證明結(jié)論了。證明：江+9=1（叫 +氏）（朋 + 口工。=（axL +岳q） （口巧 +b/）3 g瓜區(qū)十人囚

6、值丫1 = 3+&y亞馬 =網(wǎng)/即. 一 ；，（3）改變結(jié)構(gòu)：?求證:工a b b y a c 1思路點(diǎn)撥：初見并不能使用柯西不等式，改造結(jié)構(gòu)后便可使用柯西不等式了。=（瑞-熱+ 0。），豈事匕,.所證結(jié)論改為證+a b b -"4匕。證明:（口一次）=一喬+©一）（.白）？ 0 V? 3a b b c a c丁+i）+（r+i） a+cn +白a h c 、3+m b -c 。十色十a(chǎn) 2國+ 1 + + 1 + + 1左端變形&十0 二十口 口十&=（b+b+e）（+L+L）>2占十白十口 q十占，只需證此式 2即可。證明：a h w /

7、,鼻 /+H-V+ 3 = <H-1b +c c -a a + b -c, , w 1 I 1 .= （-FA+cX-+-）b H-c c 4-a a +£（=與3+ 6）+依+3）+ （厘+功丁.2b +c c 4-a a-kb舉一反三：【變式1】設(shè)a,b,c為正數(shù)，求證：必口3+護(hù)、+ 1皂Q+.+G【答案】由柯西不等式：十，“ ' # + 師之G +A ,即 -J2 o同理+ 3 .6之$+c ,后+# '"+2 .將上面三個同向不等式相加得2 （Jo/ + /工 4*/ + G* +r?）* 2（4 + 方 +工）?于是廬r+幾耳” +必”占應(yīng)

8、值+s+G .M Y Q-4-' + +戊 +3【變式2】設(shè)a,b,c為正數(shù)，求證： tea?！敬鸢浮坑煽挛鞑坏仁絴_ J3心d津L/> 也222（ 十 十）（立+ S+4）之 3十方十仁）2于是8cli! +十>a +A -he即- 二 -；【變式3】已知正數(shù)口力H滿足二十辦十二二1證明【答案】利用柯西不等式2 3 li 1 y（/+ 蘇+/）= 溫/+楊1+溫小百度文庫-讓每個人平等地提升自我P/=(£?+/(:曰+心 + 1=1)(i + b + c)工 3(/ +占，+/)又因?yàn)?J I ."I在此不等式兩邊同乘以 2,再加上r+ T +/得:O

9、類型三：柯西不等式在幾何上的應(yīng)用. ABC的三邊長為a、b、c,其外接圓半徑為 R,求證：由證明：由三角形中的正弦定理得Zin A =同理sin粵+與+當(dāng)巾口竺+，竺+人竺）也交艮近2 1 a b c故一一iI）豈36爐【變式】A ABC之三邊長為4, 56, P為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，P到三邊的距離分別為 x,y, z,求天士尸寺二一的最小值?！敬鸢浮? V（£ -助（£ 一亡,=7 5 3 15J7X X X 2 2 249 研4x+5y+6z=-且；一一匚一 :一血一文15小 * 一=-(4x + 5j + &j42n由柯西不等式(4x+5y+6z) 2> (

10、x2+y2+z2)(42+52+62)百度文庫-讓每個人平等地提升自我1415廉74> (X2+y2+z2) X 77k225X2+y2+Z2A 萬。類型四：排序不等式的簡單應(yīng)用.對"也E比較1十9 +/與%+3%+戶口的大小。國思路點(diǎn)撥：題目中沒有給出a,b,c三個數(shù)的大小順序，且a,b,c在不等式中的“地位”是對等的，不妨設(shè)1之5之日，再利用排序不等式加以證明.解析：建，/' w及4 ,不妨設(shè)>b>c>0 ,則之d > 0由排序原理，亂序和W順序和，得： 口m十/十/之。+舉一反三：【變式 1】比較 1010x 1111X 1212X 131

11、3 與 1013X 1112X 1211x 1310 的大小?！敬鸢浮恳?10 w 11 0 12 < 13 及 lg10 0 lg11 0 lg12 & lg13,由排序不等式得：101g10 + 11lg11 + 12lg12 + 13lg13 > 13lg10 + 12lg11 + 11lg12 + 10lg131g(1010X 1111X 1212X 1313) > lg(1013X 1112X 1211 X 1310)即 1010x 1111X 1212x 1313 > 1013x 1112x 1211X 1310012 j 12【變式2已知"

12、;也匕*,求證：乩至此證明:由對稱性，不妨設(shè)aNbN”。，一 >一 > 一be ca ab故由排序不等式：順序和 亂序和，得:門口 >12 、口 “INU>11 A1&£ C , a 占 E £15£*十 十A+ + =十+ 股 如岫 油股 m b c a a 1<1<1h 11、L” A 31 ，上一入一w 又因?yàn)楦餐鯾二心，口 b c再次由排序不等式：反序和w亂序和，得:戶陰聲、川%11+2h+1b c a a b eA2kL3戶口鼻2、 1口 11口一一之1“十方* +C由得乩8處證明:, e+ a-b-¥c<、設(shè)"，Ee w R，求證：2c2b,a b cW + + be ca ab國由排序不等式有:不妨設(shè)2之3 3( >0,則1s b"1+占2+亡b1 /工斗c ab c兩式相加得:1c abb c十3+w十*+立士2