2020年上海市寶山區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(有答案解析)

1、2020 年上海市寶山區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷題號(hào)一二三總分得分一、選擇題（本大題共 4 小題，共 12.0分）1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意 n>k（n，kN）的自然數(shù)都成立，則 k 的最小值為（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 設(shè)點(diǎn) A（a1，a2），B（b1，b2）， C（c1，c2）均非原點(diǎn)，則“能表示成 和 的線性組合”是“方程組 有唯一解”的（ ）條件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要3. 已知雙曲線 的右焦點(diǎn)為 F（ c， 0），直線 y=k（ x-c）與雙曲線的右支有兩個(gè) 交點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D.4. 設(shè)向量 ，其中 a2+b

2、2=c2+d2=1 ，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A. 向量 與 z軸正方向的夾角為定值（與 c，d 之值無(wú)關(guān)）B. 的最大值為C. 與 的夾角的最大值為D. ad-bc 的最大值為 1二、填空題（本大題共 12小題，共 36.0 分）5. 已知 i 是虛數(shù)單位，則集合 A=x|x=in，nZ中元素的個(gè)數(shù)為 6. 圓 x2+y2-2x+6y=6 的半徑 r = 7. 過(guò)點(diǎn) A（-2， 4），且開(kāi)口向左的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 8. 設(shè) zC，且，其中 i 為虛數(shù)單位，則 |z|= 9. 在（ 1-x） 5（1+x3）的展開(kāi)式中， x3的系數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）10. 在平面直角坐標(biāo)系中， 已知點(diǎn)，若

3、為平面區(qū)域 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 則的取值范圍是 .11. 將半徑為 1 和 2 的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么這個(gè)大鉛球的表面積是 .12. 方程 的解集為 13. 如圖，扇形 OAB的半徑為 1，圓心角為 ，若P為弧 上異于 A，B的點(diǎn)， 且 PQOB 交 OB于 Q點(diǎn)，當(dāng)POQ的面積大于 時(shí)，POQ 的大小范圍為14. 已知袋子裝有 9個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2， 9，隨機(jī)摸出兩個(gè)球，則兩個(gè)球編號(hào)之和大于 9 的概率是 （結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）15. 已知無(wú)窮等比數(shù)列 a1，a2，a3，各項(xiàng)的和為 ，且 a2=-2，若，則 n 的最小值為 16. 在線段 A1A2 的兩端點(diǎn)各置一個(gè)

4、光源，已知 A1，A2 光源的發(fā)光強(qiáng)度之比為 1：2，則該線段上光 照度最小的一點(diǎn)到 A1，A2的距離之比為 （光學(xué)定律： P 點(diǎn)的光照度與 P 到光源的距離的平方成反比，與光源的發(fā)光強(qiáng)度成正比）三、解答題（本大題共 5 小題，共 60.0分）17. 如圖，已知點(diǎn) P在圓柱 OO 1的底面圓 O上， AOP =120 °，圓 O的 直徑 AB=4 ，圓柱的高 OO1=3（ 1）求圓柱的表面積和三棱錐 A 1- APB 的體積；（ 2）求點(diǎn) A 到平面 A1PO 的距離18. 已知 （ 1）若，求 f（x）的取值范圍；（ 2）設(shè)ABC 的三邊分別是 a， b， c，周長(zhǎng)為 1，若，求A

5、BC面積的最大值19. 對(duì)年利率為 r 的連續(xù)復(fù)利，要在 x年后達(dá)到本利和 A，則現(xiàn)在投資值為 B=Ae-rx，e是自然對(duì)數(shù)的 底數(shù)如果項(xiàng)目 P 的投資年利率為 r=6%的連續(xù)復(fù)利（ 1）現(xiàn)在投資 5 萬(wàn)元，寫(xiě)出滿 n年的本利和，并求滿 10年的本利和；（精確到 0.1萬(wàn)元） （ 2）一個(gè)家庭為剛出生的孩子設(shè)立創(chuàng)業(yè)基金，若每年初一次性給項(xiàng)目P投資 2萬(wàn)元，那么，至少滿多少年基金共有本利和超過(guò)一百萬(wàn)元？（精確到1 年）20. 已知橢圓 的左右焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn)2， M 是橢圓上半部分的動(dòng)點(diǎn)，連接 M 和 長(zhǎng)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)所得兩直線交y正半軸于 A， B兩點(diǎn)（點(diǎn) A在 B的上方或重合）（ 1）當(dāng)M

6、F 1F2 面積最大時(shí)，求橢圓的方程；（2）當(dāng)時(shí)，若 B是線段 OA的中點(diǎn)，求直線 MA 的方程；（3）當(dāng) b=1時(shí)，在 x軸上是否存在點(diǎn) P使得 為定值，若存在， 求 P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由21. 已知函數(shù) f（x）， g（ x）在數(shù)集 D 上都有定義，對(duì)于任意的 x1，x2D，當(dāng) x1<x2 時(shí)，或 成立，則稱 g（ x）是數(shù)集 D 上 f（ x）的限 制函數(shù)（ 1）求在 D=（0，+）上的限制函數(shù) g（x）的解析式；（ 2）證明：如果 g（x）在區(qū)間 D1?D 上恒為正值，則 f（x）在 D1上是增函數(shù)；【注：如果 g（ x）在區(qū)間 D1?D 上恒為負(fù)值，則 f（x）在區(qū)間

7、 D 1上是減函數(shù)，此結(jié)論無(wú)需證明，可以直接 應(yīng)用】（ 3）利用（ 2）的結(jié)論，求函數(shù)在 D =0 ， +）上的單調(diào)區(qū)間第 16 頁(yè)，共 14 頁(yè)答案與解析1. 答案： B 解析： 解：當(dāng) n=1 時(shí)，左邊 = = ，右邊 = = ，當(dāng) n=2 時(shí)，左邊 = ，右邊 = = ，當(dāng) n=3 時(shí)，左邊 = ，右邊 = = = ，即左邊>右邊，不等式成立，則對(duì)任意 n>k（ n， kN ）的自然數(shù)都成立，則 k 的最小值為 2， 故選： B分別令 n=1，2， 3，計(jì)算左右兩邊，觀察不等式是否成立，即可求出 本題以不等式為載體，考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于基礎(chǔ)題2. 答案： B 解析

8、： 解：若 能表示成 和 的線性組合，則 =x +y ，即（ c1，c2）=x（a1，a2）+y（b1，b2），即 ，則方程有解即可，不一定是唯一解，有唯一解，則=x +y ，即 能表示成 和 的線性組合，即必要性成立，則“ 能表示成 和 的線性組合”是“方程組 有唯一解”的必要不充分條件， 故選： B 根據(jù)向量坐標(biāo)公式，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合向量基本定理進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵3. 答案： A 解析： 解：雙曲線 的漸近線方程為 y=± x，直線 y=k（ x-c）經(jīng)過(guò)焦點(diǎn) F（c， 0），當(dāng) k> 0，可得 k&

9、gt; ；當(dāng) k<0時(shí)， k<-可得 |k|> 故選： A 求得雙曲線的漸近線方程，結(jié)合圖象可得直線的斜率 k 的范圍 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于基礎(chǔ)題4. 答案： B解析： 解：由向量，其中 a2+b2=c2+d2=1，知：在 A 中，設(shè) z 軸正方向的方向向量 =（ 0，0，t），向量 與 z 軸正方向的夾角的余弦值：cos = = = ， =45，°向量 與 z軸正方向的夾角為定值 45°（與 c，d 之值無(wú)關(guān)），故 A正確；在 B 中， =ac+bd=1，且僅當(dāng) a=c，b=d時(shí)取等號(hào)，因此的最大

10、值為 1，故 B 錯(cuò)誤；在 C 中，由 B 可得： | | ，1-1 1，cos< > =-=- ，與 的夾角的最大值為 ，故 C 正確；在 D 中， ad-bc + =1 ，ad-bc 的最大值為 1故 D 正確故選： B在 A 中，取 z軸的正方向向量 =（0，0，t），求出 與 的夾角即可判斷命題正確； 在 B 中，計(jì)算 =ac+bd， 利用不等式求出最大值即可判斷命題錯(cuò)誤；在C 中，利用數(shù)量積求出 與 的夾角的最大值，即可判斷命題正確；在 D 中，利用不等式求出最大值即可判斷命題正確本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔

11、題5. 答案： 4解析： 解：當(dāng) n=4k，kN*時(shí)，in=1；當(dāng) n=4k+1 ，kN* 時(shí)，in=i；當(dāng) n=4k+2，kN*時(shí)，in=-1；當(dāng) n=4k+3， kN*時(shí)，in=-i；所以集合 A=-1 ，-i，1，i故答案為： 4利用 n的不同取值求出集合 A，即可確定集合 A 中元素的個(gè)數(shù) 本題考查了元素與集合之間的關(guān)系與單位虛數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題6. 答案： 4解析： 解：圓 x2+y2-2x+6y=6，即圓（ x-1）2+（ y+3）2=16，故圓的半徑為 4， 故答案為： 4把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓的半徑 本題主要考查把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，屬于基礎(chǔ)題7.

12、 答案： y2=-8x解析： 解：根據(jù)題意，要求拋物線的開(kāi)口向左，設(shè)其方程為y2=-2px，又由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ -2， 4），則有 16=-2×（ -2） p，解可得： p=4，則拋物線的方程為 y2=-8x； 故答案為： y2=-8x根據(jù)題意，設(shè)要求拋物線的方程為y2=-2px，將點(diǎn) A 的坐標(biāo)代入拋物線方程，計(jì)算可得 p的值，將其代入拋物線的方程即可得答案本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，關(guān)鍵是依據(jù)題意設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程8. 答案： 2解析： 解：由，得 z-2=iz+2i ，|z|=2故答案為： 2把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得z，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求

13、解本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題9. 答案： 6 解析： 解：（ 1-x）5?（1+x） 3 =（1-x）2?（1-x）（ 1+x）3 =（x2-2x+1） ?（1-3x2+3x4-x6） 展開(kāi)式中 x3的系數(shù)為（ -2）?（ -3）=6 故答案為： 6 把（1-x）5?（1+x）3化為（ 1-x）2?（1-x）（ 1+x）3，再化為（ x2-2x+1）?（1-3x2+3x4-x6），由此求 出展開(kāi)式中 x3 的系數(shù)本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)多項(xiàng)式的運(yùn)算法則合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化， 是基礎(chǔ)題目10. 答案： 3， 5解析： 【分析】 本題考查線性

14、規(guī)劃、向量的坐標(biāo)表示、平面向量數(shù)量積的運(yùn) 算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題 作出可行域，確定目標(biāo)函數(shù)，平移直線，即可得到結(jié)論 【解答】解：設(shè) z=（2， 1）?（ x，y）=2x+y，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 由 z=2x+y，即 y=-2 x+z， 平移目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)過(guò)點(diǎn) B（2， 1）截距最大，從而 z最大， 即 zmax=5 ，經(jīng)過(guò) A（ 1， 1）點(diǎn)時(shí)在 y 軸上的截距最小，從而 z最小， zmin=3，的取值范圍是 3， 5，故答案為 3， 511. 答案： 12 解析： 解：設(shè)大鉛球的半徑為 R，則 （ 13+23） =，解得 R= ，這個(gè)大鉛球的表面積 S=

15、4 R2=12 故答案為： 12 設(shè)大鉛球的半徑為 R，則 （13+23） =，求出 R= ，由此能求出這個(gè)大鉛球的表面積本題考查球的表面積的求法，考查球的體積、表面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題 12.答案：解析： 解： secx?sinx=tanx=- ， 解得 x=k， kZ， 方程 的解集為 故答案為： 利用二階行列式展開(kāi)法則得到 secx?sinx=tanx=- ，由此能求出解集 本題考查行列式方程的解集的求法，考查二階行列式展開(kāi)法則的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能 力，是基礎(chǔ)題13.答案：解析： 解：設(shè) POQ=，則 PQ=sin ， OQ=cos，（ 0<由 &g

16、t; ，得 sin2 > ，又 2（ 0， ）， < 2< ，則 < < POQ 的大小范圍為故答案為： 設(shè)POQ=，則 PQ=sin ，OQ=cos，（0<）寫(xiě)出三角形面積，由 角不等式得答案本題考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用，考查由三角函數(shù)值求角，是中檔題POQ 的面積大于 ，求解三14.答案：解析： 解：當(dāng)抽出的其中一個(gè)球?yàn)?1 號(hào)時(shí)，另一個(gè)球的號(hào)碼為 9，當(dāng)抽出的其中一個(gè)球?yàn)?當(dāng)抽出的其中一個(gè)球?yàn)?當(dāng)抽出的其中一個(gè)球?yàn)?當(dāng)抽出的其中一個(gè)球?yàn)?當(dāng)抽出的其中一個(gè)球?yàn)?當(dāng)抽出的其中一個(gè)球?yàn)?當(dāng)抽出的其中一個(gè)球?yàn)? 號(hào)時(shí)，另一個(gè)球的號(hào)碼為3 號(hào)時(shí)，另一個(gè)球的號(hào)碼為4

17、 號(hào)時(shí)，另一個(gè)球的號(hào)碼為5 號(hào)時(shí)，另一個(gè)球的號(hào)碼為6 號(hào)時(shí)，另一個(gè)球的號(hào)碼為7 號(hào)時(shí)，另一個(gè)球的號(hào)碼為8 號(hào)時(shí)，另一個(gè)球的號(hào)碼為9，8，9，8，7，9，8，7，6，9，8，7，6，9，8，7，9，8，9，所以兩個(gè)球編號(hào)之和大于9 的情況有 1+2+3+4+4+3+2+1=20 種，總的抽取情況有 C =36 種，所以兩個(gè)球編號(hào)之和大于 9 的概率是 P= =故答案為：由題意分別列舉兩個(gè)球編號(hào)之和大于 9 的號(hào)碼，再用古典概型公式求概率 本題考查古典概型，屬于簡(jiǎn)單題15. 答案： 10解析： 解： 無(wú)窮等比數(shù)列 a1，a2， a3，各項(xiàng)的和為 ，且 a2=-2 ，=，a1q=-2，|q|<

18、1，解得： a1=6， q=- ，Sn=-<，則 n 的最小值為 10 故答案為： 10無(wú)窮等比數(shù)列 a1， a2，a3，各項(xiàng)的和為 ，且 a2=-2 ，可得 = ， a1q=-2，|q|< 1，解得：a1， q，利用求和公式即可得出本題考查了無(wú)窮等比數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì) 算能力，屬于中檔題16. 答案： 1： 解析： 解：設(shè)線段長(zhǎng)為 L，線段上光照度最小的一點(diǎn) P到 A1，A2的距離分別為 x，L-x（0<x<L）， 不妨設(shè) A1，A2 光源的發(fā)光強(qiáng)度之比為 1，2，光照度與光的強(qiáng)度成正比，設(shè)比例系數(shù)為k1 ，與光源距離

19、的平方成反比，設(shè)比例系數(shù)為k2， 故 P 點(diǎn)受光源 A1 的照度為：， x（ 0， L）P 點(diǎn)受光源 A2 的照度為：令 y（ x） =0，解得：x=當(dāng) 0< x<時(shí)， y<x<L時(shí)， yx）<0，x）>0，在（0，在（，L）上遞減，上遞增，故當(dāng) x=時(shí)， f（x）取極小值，且是最小值，故 P 在線段 A1A2 上距離 A1為 時(shí)， P 點(diǎn)的光照度最小，=y故 P 收到 A1，A2 兩光源的總照度 y=故答案為： 1： 設(shè)線段長(zhǎng)為 L，線段上光照度最小的一點(diǎn)P到 A1，A2的距離分別為，P 點(diǎn)受光源 A2的照度為：=此時(shí)點(diǎn) P到 A1， A2的距離之比為x，

20、L-x（ 0< x< L），不妨設(shè) A1，A2光源的發(fā)光強(qiáng)度之比為 1，2，由題意可得 P 點(diǎn)受光源 A1的照度為：，作和后利用導(dǎo)數(shù)求最值，可得 P到 A1，A2的距離，作比得答案導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值是常用的方法，本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用， 同時(shí)考查了函數(shù)的最值的求解， 屬于中檔題17. 答案： 解：（ 1）AB是圓 O 的直徑， APPB， AOP=120 °， BAP=30 °，ABP=60 °，又 OB=OP= AB=2，BP=2， AP=2 ，圓柱的表面積為 S=2?OB2+?AB?AA1=2×22+?4?3=20 三棱錐 A1-AP

21、B 的體積 V= =2 （ 2）A1O= ， A1P= ，OP=2，cosA1PO= ， sinA1PO= S= =2 ，設(shè)點(diǎn) A 到平面 A1PO 的距離為 d， 由 V =V ，得 = ，解得 d= 點(diǎn) A到平面 A1PO 的距離為 解析： （1）計(jì)算 AP， BP，帶入面積公式和體積公式計(jì)算；（2）根據(jù) V=V 列方程計(jì)算點(diǎn) A到平面 A1PO 的距離本題考查了棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題18. 答案： 解：（ 1） = sin2x- cos2x=sin（ 2x- ），又 ，可得： 2x- - ， ，sin（ 2x- ）- ， 1；即;（ 2），即： sin（ 2B- ） =1，又 B（

22、0，），可得： 2B- （ - ， ），可得： 2B- = ，可得： B= ，周長(zhǎng)為 1， a+b+c=1，由余弦定理可得： b2=a2+c2-ac2ac-ac=ac， 當(dāng)且僅當(dāng) a=c 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)， b=a=c= ， SABC= acsinB=即 ABC 面積的最大值是 解析： 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式，以及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決 本題的關(guān)鍵（1）利用倍角公式，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求出角的范圍，結(jié)合函數(shù)取值范圍進(jìn)行求解（2）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理，以及基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可19. 答案： 解：（ 1）由題意可得 5=A?e-0.06n，A

23、=5?e0.06n；當(dāng) n=10 時(shí)， A=5?e0.6 9.1萬(wàn)元（2）n 年后的本利和為 A=2?e0.06n+2?e0.06（n-1）+2?e0.06（n-2）+2?e0.06=2?，令 2?>100 可得 n>22.7至少 23 后基金共有本利和超過(guò)一百萬(wàn)元解析： （ 1）根據(jù)投資值公式變形得出； （2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式列不等式求出n 的值本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題20. 答案： 解：（ 1）由題意可得點(diǎn) A 與點(diǎn) B 重合時(shí)， MF 1F 2 面積最大， 此時(shí)面積為 bc，b2+c2=a2=9，9=b2+c22bc，當(dāng)且僅當(dāng) b=c= 時(shí)取等號(hào)，橢圓方程為

24、 + =1（ 2）當(dāng) b= 時(shí)，此時(shí)橢圓方程為 + =1 ，此時(shí)左頂點(diǎn)為（ -3， 0） 設(shè)直線 MA 的方程為 x= my-3， m> 0當(dāng) x=0 時(shí)，可得 A（ 0， ），B 是線段 OA的中點(diǎn)，B（ 0， ），直線 MB 的方程為 y=- （ x-3），即 x=-2my+3，聯(lián)立方程組可得解得 ，即 M（ -1， ），+ =1，解得 m= ，MA 的方程為 x= y-3，即 2x-3y+6=0 3）當(dāng) b=1 時(shí)，此時(shí)橢圓方程為假設(shè)存在點(diǎn) P（t， 0），使得為定值，設(shè) M（x0，y0）設(shè)直線 MA 的方程為 x= my-3，當(dāng) x=0 時(shí)， y= ，即 A（ 0， ），消 x可得（9+m2）-6m