指數(shù)函數(shù)經(jīng)典例題(答案)10頁

1、指數(shù)函數(shù)1指數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)定義域是R2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=，y=，y=，y=的圖象.我們觀察y=，y=，y=，y=圖象特征，就可以得到的圖象和性質(zhì)。 a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：R（2）值域：（0，+）（3）過點（0，1），即x=0時，y=1（4）在 R上是增函數(shù)（4）在R上是減函數(shù)指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個基本初等函數(shù)，有關(guān)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的題目類型較多，同時也是學(xué)習(xí)后續(xù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)和高考考查的重點，本文對此部分題目類型作了初步總結(jié)，與大家共同探討1比較大小例1已知函數(shù)滿足，且，則與的大

2、小關(guān)系是_分析：先求的值再比較大小，要注意的取值是否在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)解：，函數(shù)的對稱軸是故，又，函數(shù)在上遞減，在上遞增若，則，；若，則，綜上可得，即評注：比較大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函數(shù)的單調(diào)性或中間量等對于含有參數(shù)的大小比較問題，有時需要對參數(shù)進行討論2求解有關(guān)指數(shù)不等式例2已知，則x的取值范圍是_分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，注意底數(shù)的取值范圍解：，函數(shù)在上是增函數(shù)，解得x的取值范圍是評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式，并判斷底數(shù)與1的大小，對于含有參數(shù)的要注意對參數(shù)進行討論3求定義域及值域問題例3求函數(shù)的定義域和值域解：由題意可得，即

3、，故 函數(shù)的定義域是令，則，又， ，即，即函數(shù)的值域是評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域時，要注意定義域?qū)λ挠绊?最值問題例4函數(shù)在區(qū)間上有最大值14，則a的值是_分析：令可將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，需注意換元后的取值范圍解：令，則，函數(shù)可化為，其對稱軸為當(dāng)時，即當(dāng)時，解得或（舍去）；當(dāng)時，即， 時，解得或（舍去），a的值是3或評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最值時注意一些方法的運用，比如：換元法，整體代入等5解指數(shù)方程例5解方程解：原方程可化為，令，上述方程可化為，解得或（舍去），經(jīng)檢驗原方程的解是評注：解指數(shù)方程通常是通過換元轉(zhuǎn)化成二次方程求解，要注意驗根6圖象變換及應(yīng)用問題例6為了得到

4、函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象（）A向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度B向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度C向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度D向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度分析：注意先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用圖象的平移規(guī)律進行判斷解：，把函數(shù)的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，故選（C）評注：用函數(shù)圖象解決問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，利用其直觀性實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題，所以要熟悉基本函數(shù)的圖象，并掌握圖象的變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等習(xí)題1、比較下列各組數(shù)的大?。海?）若 ，比較 與 ；（2）若 ，比較 與 ；（3）若 ，

5、比較 與 ；（4）若 ，且 ，比較a與b；（5）若 ，且 ，比較a與b解：（1）由 ，故 ，此時函數(shù) 為減函數(shù)由 ，故 （2）由 ，故 又 ，故 從而 （3）由 ，因 ，故 又 ，故 從而 （4）應(yīng)有 因若 ，則 又 ，故 ，這樣 又因 ，故 從而 ，這與已知 矛盾（5）應(yīng)有 因若 ，則 又 ，故 ，這樣有 又因 ，且 ，故 從而 ，這與已知 矛盾小結(jié)：比較通常借助相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖象來求解2，曲線 分別是指數(shù)函數(shù) , 和 的圖象,則 與1的大小關(guān)系是 (  ).   ( 分析:首先可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性,確定 ,在 軸右側(cè)令 ,對應(yīng)的函數(shù)值由小到大依次為 ,故應(yīng)

6、選 .小結(jié):這種類型題目是比較典型的數(shù)形結(jié)合的題目,第(1)題是由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化,第(2)題則是由圖到數(shù)的翻譯,它的主要目的是提高學(xué)生識圖,用圖的意識.求最值3，求下列函數(shù)的定義域與值域.(1)y2; (2)y4x+2x+1+1.解：(1)x-30，y2的定義域為xxR且x3.又0，21，y2的值域為yy>0且y1.(2)y4x+2x+1+1的定義域為R.2x>0,y4x+2x+1+1(2x)2+2·2x+1(2x+1)2>1.y4x+2x+1+1的值域為yy>1.4，已知-1x2,求函數(shù)f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：設(shè)t=3x,

7、因為-1x2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故當(dāng)t=3即x=1時，f(x)取最大值12，當(dāng)t=9即x=2時f(x)取最小值-24。5、設(shè) ，求函數(shù) 的最大值和最小值分析：注意到 ，設(shè) ，則原來的函數(shù)成為 ，利用閉區(qū)間上二次函數(shù)的值域的求法，可求得函數(shù)的最值解：設(shè) ，由 知， ，函數(shù)成為 ， ，對稱軸 ，故函數(shù)最小值為 ，因端點 較 距對稱軸 遠，故函數(shù)的最大值為 6（9分）已知函數(shù)在區(qū)間1,1上的最大值是14，求a的值.解： ， 換元為，對稱軸為.當(dāng)，即x=1時取最大值，略解得 a=3 (a= 5舍去)7已知函數(shù) （ 且 ）（1）求 的最小值；  （2）若 ，求

8、的取值范圍解：（1） ， 當(dāng) 即 時， 有最小值為 （2） ，解得 當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， 8（10分）（1）已知是奇函數(shù)，求常數(shù)m的值； （2）畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程|3k無解？有一解？有兩解？解： （1）常數(shù)m=1（2）當(dāng)k<0時，直線y=k與函數(shù)的圖象無交點,即方程無解;當(dāng)k=0或k1時, 直線y=k與函數(shù)的圖象有唯一的交點，所以方程有一解; 當(dāng)0<k<1時, 直線y=k與函數(shù)的圖象有兩個不同交點，所以方程有兩解。9若函數(shù) 是奇函數(shù)，求 的值解： 為奇函數(shù)， ，即 ，則 ， 10. 已知9x-10.3x+90，求函數(shù)y=（）x-1-4·

9、（）x+2的最大值和最小值解：由已知得（3x）2-10·3x+90 得（3x-9）（3x-1）013x9 故0x2 而y=()x-1-4·()x+2= 4·（）2x-4·（）x+2 令t=（）x（）則y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-）2+1 當(dāng)t=即x=1時，ymin=1 當(dāng)t=1即x=0時，ymax=2 11已知 ，求函數(shù) 的值域解：由 得 ，即 ，解之得 ，于是 ，即 ，故所求函數(shù)的值域為 12. (9分)求函數(shù)的定義域，值域和單調(diào)區(qū)間定義域為R 值域（0，8。（3）在（-， 1上是增函數(shù)在1，+）上是減函數(shù)。13 求函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間.分析

10、這是復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的問題可設(shè)y,ux2-3x+2，其中y為減函數(shù)ux2-3x+2的減區(qū)間就是原函數(shù)的增區(qū)間(即減減增)ux2-3x+2的增區(qū)間就是原函數(shù)的減區(qū)間(即減、增減)解：設(shè)y,ux2-3x+2,y關(guān)于u遞減，當(dāng)x(-，)時，u為減函數(shù)，y關(guān)于x為增函數(shù)；當(dāng)x，+)時，u為增函數(shù)，y關(guān)于x為減函數(shù).14 ，已知函數(shù)f(x) (a>0且a1).(1)求f(x)的定義域和值域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)討論f(x)的單調(diào)性.解：(1)易得f(x)的定義域為xxR.設(shè)y,解得ax-ax>0當(dāng)且僅當(dāng)->0時，方程有解.解->0得-1<y<1.f(x

11、)的值域為y-1y1.(2)f(-x)-f(x)且定義域為R，f(x)是奇函數(shù).(3)f(x)1-.1°當(dāng)a>1時，ax+1為增函數(shù)，且ax+1>0.為減函數(shù)，從而f(x)1-為增函數(shù).2°當(dāng)0<a<1時，類似地可得f(x)為減函數(shù).15、已知函數(shù)f（x）=a（aR），（1） 求證：對任何aR，f（x）為增函數(shù)（2） 若f（x）為奇函數(shù)時，求a的值。（1）證明：設(shè)x1x2f（x2）f（x1）=0故對任何aR，f（x）為增函數(shù)（2），又f（x）為奇函數(shù) 得到。即16、定義在R上的奇函數(shù)有最小正周期為2，且時，（1）求在1，1上的解析式；（2）判斷在（0，1）上的單調(diào)性；（3）當(dāng)為何值時，方程=在上有實數(shù)解.解（1）xR上的奇函數(shù) 又2為最小正周期 設(shè)x（1，0），則x（0，1），（2）設(shè)0<x1<x2<1 = 在（0，1）上為減函數(shù)。（3）在（0，1）上為減函數(shù)。 即 同理在（1，0