壓軸題當(dāng)中等腰三角形的分類討論

1、壓軸題當(dāng)中等腰三角形的分類討論在近幾年的全國各地中考數(shù)學(xué)試卷當(dāng)中，與等腰三角 形有關(guān)的試題越來越靈活，特別是在一些綜合性較強的壓軸 題中，等腰三角形都起到關(guān)鍵性的作用，甚至一些壓軸題都 是圍繞等腰三角形來設(shè)計。關(guān)于等腰三角形的的求解問題，常常以不同的方式呈現(xiàn)， 不少學(xué)生由于忽略了分類討論，造成無法準(zhǔn)確解決問題，導(dǎo) 致丟分。下面我們就對此類問題進(jìn)行分析講解，希望能幫助 到大家的學(xué)習(xí)。為什么等腰三角形能跟分類討論扯上關(guān)系呢？先一起來看看等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角 形角等腰三角形，相等的兩個邊稱為這個三角形的腰。在一 個等腰三角形中，相等的兩條邊稱為這個三角形的腰，另一 邊叫做底邊。兩腰的

2、夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底 角。等腰三角形的兩個底角度數(shù)相等 （簡寫成 等邊對等角”）。一個三角形有三條邊，只要其中兩邊相等，那么這個三 角形就是等腰三角形，這就相當(dāng)于給分類討論開了一個入 口，圍繞邊的問題可以展開多種討論。同時根據(jù)等腰三角形 的判定定理：等角對等邊，即如果兩個角相等，那么這兩個 角所對的邊也相等，這也可以根據(jù)角”來進(jìn)行分類討論。典型例題分析1:如圖（1）,出BC與EFD為等腰直角三角形， AC與DE 重合，AB=AC=EF=9 , / BAC= / DEF=90o,固定 AABC , 將ADEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) DF邊與AB邊重合時，旋 轉(zhuǎn)中止.現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和

3、結(jié)束時重合的情況，設(shè) DE, DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G, H點, 如圖（1）問：始終與GC相似的三角形有 及；（2）設(shè)CG=x , BH=y ,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要 求根據(jù)圖（2）的情形說明理由）（3）問：當(dāng)x為何值時， 出GH是等腰三角形.考點分析：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等腰直 角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)題干分析：（1）根據(jù) 出BC與ZXEFD為等腰直角三角形，AC與DE 重合，利用相似三角形的判定定理即可得由結(jié)論.（2）由2GCs HAB ,利用其對應(yīng)邊成比例列由關(guān)于 x、y的關(guān)系式：9: y=x: 9即可.（3）此題要采用分類討論的思想，

4、當(dāng)/ GAH=45是等 腰三角形.的底角時，如圖（1）：可知解得 CG和當(dāng)/ GAH=45是等腰三角形.的頂角時，如圖（2）:由AHGAs HAB ,利用其對應(yīng)邊成比例即可求得答案.解題反思:此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三 角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點 的理解和掌握，綜合性較強，難易程度適中，是一道很典型 的題目.我們知道等腰三角形是一種特殊而又十分重要的三角 形，具有 等邊對等角”和 等角對等邊”的性質(zhì)。因此，等腰 三角形問題常需分情況討論，按邊討論，這是較為常見的方 法，同時在一些題目當(dāng)中需兩個從角著手進(jìn)行討論的問題。典型例題分析2:如圖，在 Rt

5、AABC 中，/ACB=90 , AC=6 , BC=8 ,點 D 以每秒1個單位長度的速度由點 A向點B勻速運動，到達(dá)B 點即停止運動，M, N分別是AD , CD的中點，連接 MN , 設(shè)點D運動的時間為t.(1)判斷MN與AC的位置關(guān)系；(2)求點D由點A向點B勻速運動的過程中，線段MN 所掃過區(qū)域的面積；(3)若ADMN是等腰三角形，求t的值.考點分析：三角形相關(guān)的綜合題.題干分析：(1)利用三角形中位線證明即可；(2)分別取公BC三邊AC, AB , BC的中點E, F, G, 并連接EG, FG,根據(jù)題意可得線段 MN掃過區(qū)域的面積就 是？AFGE的面積求解即可；（3）分三種情況：

6、當(dāng) MD=MN=3 時，當(dāng) MD=DN , 當(dāng)DN=MN時，分別求解 4DMN為等腰三角形即可.解題反思：本題主要考查了相似形綜合題，涉及等腰三角形的性質(zhì)， 平行四邊形的面積及中位線，解題的關(guān)鍵是分三種情況討論 DMN是等腰三角形.等腰三角形相關(guān)的分類討論綜合問題是近幾年中考數(shù)學(xué) 的熱點，如將三角形的三條線段長度（或長度的平方）分別用 參數(shù)表示再分類討論；分類討論時，結(jié)合等腰三角形的三線合一及三角形的相似（或銳角三角函數(shù)）解決問題；通過作圖法尋找符合條件的等腰三角形；原三角形分類討論不太方便時，將三角形轉(zhuǎn)化為與其相 似的三角形進(jìn)行分類討論等。典型例題分析3:如圖（1）,矩形ABCD的一邊BC在

7、直接坐標(biāo)系中x軸 上，折疊邊 AD ,使點D落在x軸上點F處，折痕為AE , 已知AB=8 , AD=10 ,并設(shè)點B坐標(biāo)為（m, 0）,其中m>0.（1）求點E. F的坐標(biāo)（用含的式子表示）；（2）連接OA,若4OAF是等腰三角形，求 m的值；(3)如圖(2),設(shè)拋物線 y=a (x m-6) 2+h經(jīng)過A. E 兩點，其頂點為 M ,連接AM ,若/ OAM=90，求a. h. m 的值.考點分析：二次函數(shù)綜合題。題干分析：(1)根據(jù)四邊形 ABCD是矩形以及由折疊對稱性得由 AF=AD=10 , EF=DE,進(jìn)而求生 BF的長，即可得由 E, F點 的坐標(biāo)；(2)分三種情況討論：若 AO=AF , OF=FA, AO=OF , 利用勾股定理求生即可；(3)由E (m+10, 3), A (m, 8),代入二次函數(shù)解析 式得由M點的坐標(biāo)，再利用 公OBsamg ,求生m的值 即可.解題反思：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的 判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點題型特 別注意利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論思想是這部分考查的重 點也是難點同學(xué)們應(yīng)重點掌握.等腰三角形是一種特殊而又十分重要的三角形，基于其 特殊性，大家在解決問題的過程中