哈工大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案三

1、1. 擲一枚非均質(zhì)的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為 p (0 < p <1),若以X表示直 至擲到正、反面都出現(xiàn)時(shí)為止所需投擲次數(shù)，求 X的分布列。解 (X =k)表示事件：前k-1次出現(xiàn)正面，第k次出現(xiàn)反面，或前k-1次 出現(xiàn)反面，第k次出現(xiàn)正面，所以P(X =k)=pk(1-p) (1-p廣 p, k=2,3,.2. 袋中有b個(gè)黑球a個(gè)白球，從袋中任意取出r個(gè)球，求r個(gè)球中黑球個(gè) 數(shù)X的分布列。解 從a+b個(gè)球中任取r個(gè)球共有。；種取法，r個(gè)球中有k個(gè)黑球的取 法有C；C；，所以X的分布列為k r -kP(X=k)=, k = max(0, r-a), max(0, r-a)+1廣，m

2、in(b,r),此乃因?yàn)?，如?r <a，貝U r個(gè)球中可以全是白球，沒有黑球，即k = 0；如果ra則r個(gè)球中至少有r -a個(gè)黑球，此時(shí)k應(yīng)從r - a開始。3 .一實(shí)習(xí)生用一臺(tái)機(jī)器接連生產(chǎn)了三個(gè)同種零件，第 i個(gè)零件是不合格品 ，-，1的概率pj = (i =1,2,3),以X表示三個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)，求X的分布i 1列。解 設(shè)a ='第i個(gè)零件是合格品i =1,2,3。則1111P(X =0) = P(A A2A3) =；2 3 424P(X =1) -psAA A-A A AA)= p(aA2Aj P(AA2A) P(AA2A01 1 11 2 11 1 36=一T 一

3、 一干一一.234 2 34 2 34 24P(X =2) =P(A A2A3 +A A2A3 +A A2A3)=P(A1 A2A3) P(A1 A2A3) P( A2A3)1 2 11 1 31 2 3 11=_一'十一-=.2 3 4 2 3 42 3 4 241 2 36P(X =3) =P(A A2A3)= 一 一 一 = 一.2 3 4 24即X的分布列為X0123P16116242424244. 一汽車沿一街道行駛，需通過三個(gè)設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且每一信號(hào)燈紅綠兩種信號(hào)顯示的概，1 一 率均為1，以X表示該汽車首次遇到紅燈前

4、已通過的路口的個(gè)數(shù)，求X的概率2分布。解 P(X=0) = P(第一個(gè)路口即為紅燈)= 1,21 11P(X =1) = P (第一個(gè)路口為綠燈，第二個(gè)路口為紅燈)= ,-=,2 2 4依此類推，得X的分布列為X0123P111124885. 將一枚硬幣連擲 n次，以X表示這n次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，求 X的分 布列。 1解 X為n重貝努里試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù)，故X B(n, ) , X的分布2列為P(X =k) =C：k=0, 1, n6. 一電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求(1)每分鐘恰有8次呼叫的概率；(2)每分鐘的呼叫次數(shù)大于10的概率。解 設(shè)X為每分鐘接到的呼叫次

5、數(shù)，則 X P(4)8kk八，、4 -4 4-4 4-4 (1) P(X =8) = e =£ ee =0.29778! k$k! kk!:4k 4(2) P(X10)=£ e =0.00284.kd1 k!7. 某商店每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為5的泊松分布，問在月初至少庫存多少此種商品，才能保證當(dāng)月不脫銷的概率為0.99977以上。解設(shè)X為該商品的銷售量，N為庫存量，由題意-39 -二二甘.0.99977P(X &N) =1P(X . N) =1 ' P(X=K)=1' e5KJN 1K 占 1 k!即二5K上e <0. 0002 3k

6、 =n ! ：1 k!查泊松分布表知 N十1=15 ,故月初要庫存 概率在0.99977以上。8.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為:14件以上，才能保證當(dāng)月不脫銷的P(X =1) = 0.2, P(X =2) = 0.3,P(X =3)=0.5，試寫出X的分布函數(shù)。解 X的分布列為X | 123P 0.2 0.3 0.5所以X的分布函數(shù)為0 , x<1,0.2, 1 公 <2,F (x)= 0.5, 2 £ x : 3,1 , x _3.9 .設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 csinx, 0 ：x ：二，f (x)=求：解(1)1=：f(x)dx=c J 0 sin x:dx =

7、 -c cos x0=2c , c =冗1 . 一，1n11(2)P(X >a) = f一 sin xdx =一cosx a =+ - cos a ，* a22a22a1 一.一 一，1a11P(X <a)= Lsin xdx =cosxn =-cos a,' 022022、0 ,其他.1T ；2(1)常數(shù)C；(2)使 P(X Aa) =P(X <a)成立的 a.71可見 cosa=0,二 a =210 .設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F (x) = A + B arctanx，-*< x+°° ,求：(1)系數(shù)A與B ; (2) P(-1 <

8、;X <1); (3) X的概率密度。解 (1)由分布函數(shù)的性質(zhì)fn0 =F(-二)=A B -2ji1 =F(E) = a+B 、2一 1_1于正A = , B =，所以X的分布函數(shù)為2 二F (x) =+arctan x<x < +斧2 二_-11 二 11 二 1(2) P(1 <X <1) = F(1) F(1)=二+一二(；一-) = - ；2 二 42 二 42(3) X的概率密度為._.1f(x) = F (x)=2，_00 <x < +.=°11.已知隨機(jī)變量X的概率密度為1 _|x|.-f (x) = e，*< x &

9、lt;.2求X的分布函數(shù).解F(x)=x.f(u)du1 x Uje du,2"11exdxx】e%u,-：c0 x £0,x 0,1 xne ,x 0,2 1.1- x1 e , x 0. 212.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為Xfoudu，°<X<1,1XJ°xdx+ L(2 u)du, 1<x<2,1 ,x_2.”0 ,X<0,0 ,x<0,2,0 < x < 1,2_2-X +2x-1,任 x<2,21 ,xg13 .設(shè)電子管壽命 X的概率密度為x 100,x £100.100f（x）=疽

10、I0 ,150小時(shí)內(nèi)，至少有兩若一架收音機(jī)上裝有三個(gè)這種管子，求（1）使用的最初個(gè)電了管被燒壞的概率；（2）在使用的最初150小時(shí)內(nèi)燒壞的電子管數(shù) Y的分布列；（3）解Y的分布函數(shù)。Y為在使用的最初150小時(shí)內(nèi)燒壞的電子管數(shù)，YB（3, p）,其中1501001p = p（X 芻5。）=扁。10，X3所求概率為 P(Y22) = P(Y=2) + P(Y = 3) = CrR凸 3) 3 3)7一 27，1 k 2 Y的分布函數(shù)為*Y 的分布列為 P(Y=k)=勇.一 | I , k=0,1,2,3,3 3Y0123P旦12_6_127272727F(x)=0 ,827 ,20,2726271

11、x ： 0,0 _ x ： 11 < x ： 2,2 三 x ： 3, x _3.14.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為2x, 0：x", f (x)-0 ,其他.現(xiàn)對X進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)觀測，以 Vn表示觀測值不大于 0.1的觀測次數(shù)，試求 隨機(jī)變量Vn的概率分布。解Vn B( n, p)其中0.1p = P(X 壬0.1) = f0 2xdx = 0.01 ,所以Vn的概率分布列為P(Vn =k) = C： (0. 0M) (0n,9)k,n0,115. 設(shè)隨機(jī)變量 XU1,6,求方程x2+Xx+1=0有實(shí)根的概率.解設(shè)A='方程有實(shí)根，則A發(fā)生u X24芝0 即|X至2因X

12、 U1,6，所以A發(fā)生u X >2,所以P(A)=P(X 2) =4=0.8. 6 -1516. 設(shè)隨機(jī)變量 X U2,5，現(xiàn)對X進(jìn)行3次獨(dú)立觀測，試求至少有兩次 觀測值大于3的概率.解 設(shè)Y為三次觀測中，觀測值大于3的觀測次數(shù)，則 Y B(3, p),其中5 -32p = P(X A3)=一， 5-23P(Y 芝2) = P(Y =2) + P(Y =3) =C；言 j+j所求概率為20.271 , 17.設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X (單位：分)，服從參數(shù)為一的5指數(shù)分布。若等待時(shí)間超過10分鐘，則他就離開。設(shè)他一個(gè)月內(nèi)要來銀行 5次, 以Y表示一個(gè)月內(nèi)他沒有等到服務(wù)而離開窗口

13、的次數(shù)，求Y的分布列及P(Y >1)o七=e",10解由題意YB(5, p)，其中二1 ：:p = P(X 10) = 1Q -e 5dxe 5于是Y的分布為k =0,1,2,3,4,5,_2 5_) 0.5167.N(t)服從參數(shù)為XtP(Y =k) =C；(e2)k(1 e2)*P(Y _1) =1 -P(Y =0) =1 _(1-eT的概率分布；(2)求在設(shè)備已 8小時(shí)的概率。t，也就是說在時(shí)間t內(nèi)沒有發(fā)生18 .一大型設(shè)備在任何長為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)的泊松分布。(1)求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔經(jīng)無故障工作了 8小時(shí)的情況下，再無故障運(yùn)行解 (1)設(shè)T的分布函數(shù)為F

14、T(t)，則Ft (t) = P(T 強(qiáng))=1 _P(T t)事件(T At)表示兩次故障的間隔時(shí)間超過故障，故N(t) =0 ,于是FT(t)=1P(T t) =1 _P(N(t) =0) =1零0,可見，T的分布函數(shù)為Ft (t) = $1 -e 't, t 0,0, t 三 0.即T服從參數(shù)為人的指數(shù)分布。(2) 所求概率為叩 16IT 8)一叩 16,T 8_P(T 16) 一M ，P(i i6|i 8) -一 q,-eP(T 8) P( 8) e19.設(shè)隨機(jī)變量XN(108, 32)。求(1) P(101.1<X <117.6) ； (2)常數(shù) a,使 P(X &

15、lt;a)=0.90；(3) 常數(shù) a,使 P(|X a|a)=0.01。解(1) P(101.1<X <117.6)2() 4()3 3-如 2) - '，(-2 3) - : ：J(3 2) "2 3) -1= 0.9993 十0.9893-1 =0.9886 ； a -1080.90 =P(X <a)=中(),查表知3m°8=1.28,所以 a=111.84；3(3)0.01 = P(| X a| . a) =1 P(|X a|£a) =1 P(0 ： X 壬 2a)，Na -108、= "(),所以2a -108小()=

16、0.99 ,3查正態(tài)分布表知2a -108 =2.33 ,3故 a =57.495。20.設(shè)隨機(jī)變量 X N(2,s2)，且 P(2X <4) = 0.3，求 P(X <0)。.4一2解 0.3=P(2 ：X ：4)=：")一'(0),a.2所以中(一)=0. ,8CT. 02.2. 2P(X <0)=小()=小(一)=1中(一)=0.2。CTCT<121 .某地抽樣結(jié)果表明，考生的外語成績X (百分制)近似服從正態(tài)分布，平均成績(即參數(shù) 卜之值)為72分，96分以上的占考生總數(shù)的 2.3%,試求考生的外語成績在 60分至84分之間的概率。,96 72

17、.24解 0. 0 23P X(96)-命1= -p 十 ()242412巾(芻=0.977,竺=2, 12=1.所求概率為P(60：X： 8" NJ 牛字)一J ) (12 ) CTCTCTCT.12 =2'"()-1 =2 0.8413 -1 =0.6826. CT2、22 .假設(shè)測量的隨機(jī)誤差 X N(0,10 )，試求在100次重復(fù)測量中，至少有三次測量誤差的絕對值大于19.6的概率a，并利用泊松分布求出 a的近似值。解 設(shè)Y為誤差的絕對值大于 19.6的測量次數(shù)，貝U YB(100, p),其中 p = P(| X |一 1 9. 6) -1P -( 1

18、9.X6 £19.6)：，1 (1«9 6)=2 -2(1. 9 6 2 2 0. 97 5,所求概率為100:=P(Y _3) ='。；00(0.05)*0.95)10°土 k=3利用泊松定理100 /:' Je' =0.875. k z3 k !23 .在電源電壓不超過 200V，在200 -240V和超過240V三種情況下， 某種電子元件，損壞的概率分別為0.1, 0.001和0.2,假設(shè)電源電壓 X服從正態(tài)分布N(220, 252),試求：(1)該電子元件損壞的概率 0 ; (2)該電子元件損 壞時(shí)，電源電壓在 200 240V的概

19、率P。解 設(shè)A='電子元件損壞，Bi ='電源電壓在第i檔，i =1,2,3，則(1)a =P(A)=P(BQP(A|Bi)+P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A|B3)= P(X 三 200) 0.1 P(200 ：X £240) 0.001 P(X 240) 0.2 二，(200 一220) 0.1 "(240-220)_：.,(200 -220) 0.001 252525,240 -2201一'() 0.225 20.20.20. 20)0.1 山 )-'，() 0.001 (1 -'，() 0.225252525= (

20、1 -0.7881) 0.1 (2 0.7881 -1) 0.001 (1 -0.7881) 0.2= 0.0641P(B2)P(A| B2)0.005756(2) P =P(B2 | A)= ' 2，' l =0.0898.0.06410.0641，一1 一124 .假設(shè)隨機(jī)變量 X的絕對值不大于1； P(X=1) = -，P(X=1) = ,84在事件-1 <X <1出現(xiàn)的條件下，X在(-1, 1)內(nèi)任意子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比。試求：(1) X的分布函數(shù)；(2) X取負(fù)值的概率 P .解1設(shè)X的分布函數(shù)為F(x),則1當(dāng) x<-1 時(shí)，F(xiàn)

21、(x)=0，且 F(T)=g,當(dāng) x>1 時(shí)，F(xiàn)(x)=1,115P(_1 <X <1)=1乙二=如 8 48當(dāng)一1 <x < 1時(shí)，由題意P1 ： X _x| -1 ：X ：1 =k(x 1),而1 =P-1 ：X ：1| -1 :： X ：1 =2k ,，1所以 k =。于是2r、 x 1P -1 ： X £ x | -1 ： X ： 1=,2此時(shí)F(x) =P1 ： X £x F(1)r、 1= P-1 ：X £x, -1 ：X ：1-8，、1=P 一1 ： X : 1 P( 1 ： X £ x | 1 ： X : 1

22、-85x1 1 5x 7=+=,82816故X的分布函數(shù)為"0， < - 1,5x+7F(x)=, -1 £x 1, 161, x_1.5.P(x <X <x + Ax) = - kAx , 8兩邊同除以,x得F(x ：x) -F(x) _%：x令A(yù)x T 0取極限得F (x) 二；k,-8，兩邊積分得F(x) = 5kx C ,813由 F(1)=a 及 xljmF(x)=；得15=- k C883 5_ k C4 871解之礙 C = , k = 故162F(x)16 1616一1 ： x : 1綜上所述，X的分布函數(shù)為'0 , x<-1

23、,5x +7F(x) = -，T* 1，161, x 1.解 Y的分布列為Y014917111P 5 30 5 3026.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為e", X 芝 0,fX(x)=tc c0 , X 0.X求Y =e的概率密度fY(y)X .11-,y-1, y-1,y = y,y£1.0 , y 1.解1當(dāng)x >0時(shí)函數(shù)y =e單倜增，反函數(shù)為x = h(y) = In y，于是Y 的概率密度為enyfY(y) = fX(h(y)|h(y)| =0解2設(shè)Y的分布函數(shù)為Fy(y),則FY(y)=P(Y"P(eX" P(X£lny), y_1

24、0, y ",Iny-I1 !0 e dx, y_1,-e0, y 1,In y0-X,y-1.010, y 1,wy, J.13,y 1,y _1.12, y -1, fy (y) = Fy (y) = y0 , y 1.27 .設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為1(1 X2),-fx(X)r求隨機(jī)變量Y =1 - WX的概率密度fY(y)解1函數(shù)y =1 -扳嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為 x = h(y) =(1 - y)3,則3(1-y)2 fY(y) =fx(h(y)|h(y)| =二(1 (1 - y)6)一二：y :解2設(shè)Y的分布函數(shù)為Fy(y),則房(y) =P(Y £y)=P(

25、仁3 X wy) =P(3X _ 1 一y) =1 一P(X £(1 - y)3)= 1_Fx(1-y)3,所以 .o3(1 _y)2fY(y) = fx(1 y) )K3(1 y) =! V)西 <y<E。二(1 (1 - y)X28.設(shè)X U(0,1)，求(1) Y = e的概率密度；(2) Y = -2ln X的概率密度。解 X的密度為1, 0 ： x ：1, fX (x)=0,其它.(1) y =ex在(0,1)上單調(diào)增，反函數(shù)為 h(y) = lny，所以Y的密度為1,1：y：e,fY(yX y【0,其他.y(2) y=2lnx在(0,1)上單調(diào)減，反函數(shù)為 h

26、(y)=e，所以Y的密度為1 ： C e 2, y 0,fY(y) = 20 , y".29 .設(shè)X N(0,1),求Y =|X |的概率密度。解1函數(shù)y=|x|在(-°°,0)上單調(diào)減，反函數(shù)為 h(y) = y,在0,危)上單調(diào)增，反函數(shù)為 h2(y) = y,所以Y的密度為f , 、*X(n (y )h"y( )fX h?y e/i y ) i, 0,fY (y)=0 ,y£0.即 fY(",2* y Q .0, yw30.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，試證Y=1-ex在區(qū)間(0,1) 上服從均勻分布。證只須證明Y的分布函

27、數(shù)為0, y0Fy(y) = y, 0 y ：1,y _ o0 ：. y ： 1,y _11, y -1.0 ,FY(y) =P(Y 壬 y) =P1e" 4y=<PeE y,o,y”,o,y<0,j=Jp(-2X 習(xí)n(1 -y), 0 <y <1, = v P(X <ln(1- y) 2). 0< y <1,J ,yx0,y-1.0 ,WO '0, J。j-12Fx(ln(1y) 2), 0<y<1, = 1_eN|n(17)z, °<y<11 , y«1,yv.0, y E=y, 0<y<1,J, yE31 .設(shè)隨機(jī)變量 x的概率密度為f(x) = <岑00 ： x ：二, 其它.求Y =sinX的概率密度.一 兀_解1函數(shù)y =sin x在(0,虧上單倜增，反函數(shù)為h1 (y) = arcsin y在(:，R)上單調(diào)減，反函數(shù)為 h2(y) = ”arcsiny.Y的概率密度為： 1_. 、12arcsin y.1-y2fY (y) =