2020年海南省新高考數(shù)學(xué)模擬試卷(3月份)

1、2020年海南省新高考數(shù)學(xué)模擬試卷（ 3 月份）一、單項(xiàng)選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的1（ 5分）已知集合 A x| 3 x 4， B x|4x 6 ，則 (eR A)I B ()A x | 4 x 6B x| 4 x3Ux |4 x6Cx| 4, x 6D x | 4 x剟3Ux |4 x62（5 分）若復(fù)數(shù) z的虛部小于0,|z| 5，且 zz4 ，則 iz ()A1 3iB 2 iC1 2iD1 2i3（5 分）“游客甲在海南省”是“游客甲在三亞市”的（ ）A 充分不必要條件B 必要不充分條件C充要條件D既不充分也

2、不必要條件24（ 5分）已知函數(shù) f（x） x2 mx 5在 （2,m 的取值范圍為 （A4 ，)B2 ，)C (， 45（5 分） （2x 31） 的展開式的中間項(xiàng)為 （ x)A 40B 40x2C40） 上單調(diào)遞增，則D ( ， 2D 40x26（ 5分）現(xiàn)將五本相同的作文本分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，則甲分得三本的概率是 （ ）ABCD127（5 分）如圖，在等腰直角ABC 中，D，E 分別為斜邊 BC 的三等分點(diǎn) （D 靠近點(diǎn) B） ，過 E 作 AD 的垂線，垂足為 F ，則 uAuFur （3 uuur1 uuur2 uuur1 uuurA AB1 ACB AB1 AC555

3、58 uuur 4 uuur D AB AC15 15第1頁（共 20頁）8( 5 分)已知函數(shù)xf (x)224xx,x1,x, 0若關(guān)于 x的方程 (f (x)0,1)(f (x) m) 0恰有 5個(gè)不同的實(shí)根，則 m的取值范圍為()A (1,2)B (1,5)C (2,3)D (2,5)二、多項(xiàng)選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有 多項(xiàng)符合題目要求的全部選對的得5分，部分選對的得 3 分，有選錯(cuò)的得 0分9( 5分)如圖所示的曲線圖是 2020年 1月 25日至 2020年 2月 12日陜西省及西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例的曲線圖，則下列判斷正確

4、的是 ( )6第2頁(共 20頁)A1月 31日陜西省新冠肺炎累計(jì)確診病例中西安市占比超過了3B1月 25日至 2月 12日陜西省及西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例都呈遞增趨勢C2月 2日后到 2月 10日陜西省新冠肺炎累計(jì)確診病例增加了 97 例D2月 8日到 2月 10日西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例的增長率大于2月 6日到 2月 8日的增長率 10(5 分)已知函數(shù) f (x) sin2x sin(2 x ) ，則 ( )3A f (x)的最小正周期為B曲線 y f(x)關(guān)于 ( ,0) 對稱3C f (x) 的最大值為 3D曲線 y f(x) 關(guān)于 x 對稱6x211(5分)已知 P是橢圓 C:

5、6y2 1上的動(dòng)點(diǎn)， Q是圓 D:(x 1)2 y2 1 上的動(dòng)點(diǎn)，則530B C 的離心率為 30()AC 的焦距為 5C 圓 D 在 C 的內(nèi)部D| PQ|的最小值為 2 5512（5 分）如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中， AB 2AA1， E， F 分別為 AB， BC的中點(diǎn)，異面直 AB1與 C1F 所成角的余弦值為 m ，則 （ ）第5頁（共 20頁）ACB直線 A1E 與直線 C1F 共面D直線 A1E與直線 C1F 異面三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20分.13（5 分）若 lgx lgy 0，則 4x 9y 的最小值為 214（5 分）已知 P為

6、雙曲線 C:x2 y 1右支上一點(diǎn)， F1， F2分別為 C 的左、右焦點(diǎn)，且4線段 A1 A2 ，B1 B2分別為 C 的實(shí)軸與虛軸 若 |A1A2 |，|B1B2 | ，| PF1 |成等比數(shù)列， 則|PF2 | 15（5 分）四面體 ABCD 的每個(gè)頂點(diǎn)都在球 O 的球面上， AB，AC ，AD兩兩垂直，且 AB 1，AC 2， AD 3 ，則四面體 ABCD 的體積為 ，球 O 的表面積為16（5 分）若曲線 y xex m （x 1）存在兩條垂直于 y軸的切線，則m 的取值范圍為 x1四、解答題：本題共 6 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.3 2 517（

7、 10 分）在 cosA， cosC ，csinC sin A bsin B， B 60 ，c 2，5519（12 分）某土特產(chǎn)超市為預(yù)估 2020 年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對2019年元旦期間的 90 位游客購買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表購買金額（元 ）0 ， 15)15， 30)30， 45)45， 60)60 ， 75)75 ， 90人數(shù)101520152010（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成 2 2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過 0.05 的情況下認(rèn)為 購買金額是否少于 60 元與性別有關(guān)不少于 60 元少于 60 元合計(jì)男40女18合計(jì)（2）為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠

8、方案， 購買金額不少于 60元可抽獎(jiǎng) 3 次，每次中獎(jiǎng) 概率為 p（每次抽獎(jiǎng)互不影響， 且 p的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60 元的頻率），中獎(jiǎng) 1 次減 5 元，中獎(jiǎng) 2 次減 10 元，中獎(jiǎng) 3 次減 15 元若游客甲計(jì)劃購買 80 元的土特產(chǎn)， 請列出實(shí)際付款數(shù) X（元 ）的分布列并求其數(shù)學(xué)期望2附參考公式和數(shù)據(jù)： K 2 n（ad bc ）， n a b c d （a b）（ c d）（ a c）（b d）附表：k02.0722.7063.8416.6357.879P(K 2k0)0.1500.1000.0500.0100.00520( 12 分)在數(shù)列 an ，bn 中，a1b

9、11，an 13anbn3n1，bn13bnan3n1 等差數(shù)列 cn 的前兩項(xiàng)依次為 a2， b2 1）求 cn 的通項(xiàng)公式；2）求數(shù)列 （an bn）cn的前 n項(xiàng)和 Sn221（12 分）如圖，已知點(diǎn) F 為拋物線 C:y2 2px（p 0）的焦點(diǎn)，過點(diǎn) F 的動(dòng)直線 l與拋物 線 C 交于 M ， N 兩點(diǎn)，且當(dāng)直線 l 的傾斜角為 45 時(shí)， | MN | 16 （1）求拋物線 C 的方程（2）試確定在 x軸上是否存在點(diǎn) P ，使得直線 PM ，PN 關(guān)于 x軸對稱？若存在， 求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由22（ 12 分）已知函數(shù) f （x） 2ln（x 1） sin x

10、 1，函數(shù) g（x） ax 1 blnx（a ，b R，ab 0） （1）討論 g（x） 的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng) x0時(shí)， f （x）, 3x 1（3）證明：當(dāng) x 1時(shí)， f（x） （x2 2x 2）esinx 2020年海南省新高考數(shù)學(xué)模擬試卷（ 3 月份）參考答案與試題解析、單項(xiàng)選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有一項(xiàng)是符合題目要求的1（5 分）已知集合 A x|3 x 4， B x| 4x 6 ，則 (eR A)I BA x | 4 x 6B x| 4x 3Ux |46Cx| 4, x 6D x| 4x剟 3Ux |46解答】 解：根據(jù)題意

11、，集合A x| 34，則 (eR A) x | x,3 或 x4 ，4剟x6 x | 4故選：D2（5 分）若復(fù)數(shù)A 1 3i解答】 解：由已知可得2a2aiz i (2 i)B x| 4x 6(eRA)I x | 4 x, 3x 3U x |4? x 6 ；z的虛部小于 0,|z| 5 ，且B 2 izab242i zzC4 ，則 iz1 2iD 1 2ibi (a ， bR，b0)，5，解得 ba21(b0)第11頁(共 20頁)故選： C 3（5 分）“游客甲在海南省”是“游客甲在三亞市”A 充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解答】 解：由于三亞市在海南省，故

12、“游客甲在三亞市”一定推出“游客甲在海南省”反之，“游客甲在海南省”推不出“游客甲在三亞市”根據(jù)充分必要條件定義，游客甲在海南省”是“游客甲在三亞市”的必要不充分條件；故選： B 4（5 分）已知函數(shù) f （x）2x2 mx 5在 （2, ） 上單調(diào)遞增，則 m 的取值范圍為 （ 第6頁（共 20頁）A4 ，)B2 ，)C (， 4D ( ， 2解答】 解：函數(shù) f ( x)2x2 mx 5 的對稱軸為Q 函數(shù) f (x) 在區(qū)間 (2,)上單調(diào)遞增，m , 2 ，解得 m, 4 ，2的展開式的中間項(xiàng)為故選： B 240x2C403C63(2x)3(2D 40x240x26( 5分)現(xiàn)將五本相

13、同的作文本分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，則甲分得三本的概率是 ( )1 A6BCD12解答】 解：現(xiàn)將五本相同的作文本分給甲、乙、丙三人，每人至少一本， 先每人分一本，還有 2 本相同的作文本，分給甲、乙丙三人， 基本事件總數(shù) n C31 C32 6 ， 甲分得三本包含的基本數(shù)件個(gè)數(shù) m 1 ，甲分得三本的概率是 p mn 16 故選： A 7(5 分)如圖，在等腰直角ABC 中，D，E 分別為斜邊 BC 的三等分點(diǎn) (D 靠近點(diǎn) B) ，過 E 作 AD 的垂線，垂足為 F ，則 uAuFur ( )3 uuur 1 uuur A AB AC552 uuur 1 uuur B AB AC

14、554 uuur 8 uuurC AB AC15 158 uuurD 8 AB154 uuurAC15解答】 解：設(shè) BC6 ，則 DE 2 ， ADAEcosDAE2 105AFAF4，uuur 4 uuur所以 AF AD ；ADAE55uuuruuur1 uuurBC3uuur1 uuur uuur( AC AB )3ADABABuuur42 uuur1 uuurAC)8 uuur 4AF(ABAB所以因?yàn)樗? uuurAB3 uuur AC 1 uuurAC ，3故選： D 8( 5 分)已知函數(shù)0 若關(guān)于x的方程 (f (x) 1)( f (x) m) 0恰有 5個(gè)不同的實(shí)根，則的

15、取值范圍為A (1,2)B (1,5)(2,3)D (2,5)解答】 解：方程(f (x) 1)(f(x)0即為f(x)當(dāng) f ( x) 1 時(shí)，即4x 1 1，解得4，或 2 2 x 1，解得 x 0(舍 )，若關(guān)于 x 的方程 (f (x)1) (f (x) m) 0恰有 5 個(gè)不同的實(shí)根，則 f ( x) m 有 3 個(gè)根，即函數(shù) f(x)圖象與 y m有 3個(gè)交點(diǎn)，作出圖象：由圖可知， m (1,2) ，故選： A 二、多項(xiàng)選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有 多項(xiàng)符合題目要求的全部選對的得 5分，部分選對的得 3 分，有選錯(cuò)的得 0分第8頁

16、(共 20頁)9( 5分)如圖所示的曲線圖是 2020 年 1 月 25日至 2020 年 2 月 12日陜西省及西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例的曲線圖，則下列判斷正確的是 ( )10(5 分)已知函數(shù) f (x)sin 2x sin(2 x ) ，則 (3A f (x)的最小正周期為B曲線 yf ( x) 關(guān)于 ( ,0) 對稱3C f (x) 的最大值為 3D曲線 y f(x) 關(guān)于 x 對稱6解答】 解：對于 A ，由于13f (x) sin 2x sin(2 x ) sin 2x sin 2x cos2x3 2 2 f ( x) 的最小正周期 T 223sin(2 x 6 ) ，故正確；對

17、于 B ，由于f(3)3sin(2 )3623 0 ，故錯(cuò)誤；對于 C ，由于f ( x) max3 ，故正確；對于 D ，由于f(6)3sin(266)3 ，故正確；故選： ACD 11（5 分）已知 P是橢圓2xC:6y2 1 上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓 D :(x1)11 上的動(dòng)點(diǎn)，則5()AC 的焦距為 5BC 圓 D 在 C 的內(nèi)部D306| PQ | 的最小值為 2 55C 的離心率為解答】 解：由橢圓方程可得，a2 6 ，b21， c2 a2 b2 5 ，所以焦距 2c 2 5 ， A不正確；離心率 e ca5630 ，所以 B 正確；由 c 1 可得，圓 D 的圓心為橢圓的左焦點(diǎn)5 ，

18、0） ，由橢圓的性質(zhì)可得距離左焦點(diǎn)最近的點(diǎn)為左頂點(diǎn)，所以橢圓上距離圓 D 的圓心的最小值為 ac 6 1 大于圓的半徑 5 ，所以5圓 D 在橢圓的內(nèi)部，所以 C 正確；由題意可得 | PQ|的最小值為： a 1 5 6 1 5 ， 55所以 D 不正確故選： BC 12（ 5分）如圖，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AB2AA1， E， F 分別為 AB， BC的中點(diǎn)，異面直 AB1與 C1F 所成角的余弦值為 m，則 （第13頁（共 20頁）A m 2 33C m23B直線 A1E 與直線 C1F 共面D直線 A1E與直線 C1F 異面解答】 解：如圖，連接 DC1， DF，

19、則 DC1 /AB1，DC1F 為異面直線 AB1與 C1F 所成的角，Q AB 2AA1 ，ABCD A1B1C1D1 為正四棱柱，E ，F(xiàn) 分別為 AB ，BC 的中點(diǎn)， 設(shè) AA1 2 ，則 AB 2 ， C1D 6,C1F 3,DF 5 ，在 DFC1 中，根據(jù)余弦定理，cos DC 1F解答】 解：由 lgx lgy lgxy 0 ，可得 xy 1 ， x 0 ， y 0 ，所以 4x 9y2 4xg(9y) 12 ，當(dāng)且僅當(dāng) 4x 9y且 xy 1即 y2，3，x33 時(shí)取等號，此時(shí)取最小值 122故答案為： 1214(5 分)已知 P 為雙曲線 C2 :x2y241右支上一點(diǎn)，

20、F1， F2 分別為 C 的左、右焦點(diǎn)，且線段 A1A2， B1B2分別為 C 的實(shí)軸與虛軸若 |A1A2 |，|B1B2 |，|PF1 |成等比數(shù)列，則 |PF2 | 62【解答】 解：由雙曲線的方程 x2 y 1，則 a 1，b 2，所以 |A1A2 | 2，|B1B2 | 4，42由| A1A2 |，|B1B2 |，|PF1 |成等比數(shù)列，即 |B1B2 |2 | A1A2 |g| PF1 |，則 16 2 | PF1 |， 所以 |PF1 | 8，由 P在雙曲線的右支上，則 |PF1 | |PF2 | 2，所以 |PF2 | 6 ， 故答案為： 615(5 分)四面體 ABCD 的每個(gè)

21、頂點(diǎn)都在球 O 的球面上， AB，AC ，AD兩兩垂直，且 AB 1，AC 2， AD 3 ，則四面體 ABCD 的體積為 1 ，球 O的表面積為 【解答】 解：Q AB， AC ， AD兩兩垂直，且 AB 1， AC 2 ， AD 3，11四面體 ABCD 的體積 1 2 3 1 ，32把此三棱錐補(bǔ)形為長方體，球的直徑即為長方體的對角線設(shè)球 O 的半徑為 r ，則 (2r)2 12 22 32 14 其表面積 4 r 2 14 故答案為： 1， 14 16(5 分)若曲線 y xex m (x 1)存在兩條垂直于 y軸的切線，則 m 的取值范圍為 x14( 27e 4， 0) 【解答】 解：

22、 Q 曲線 y xex m (x 1)存在兩條垂直于 y 軸的切線，x1函數(shù) y xexm (x 1) 存在兩個(gè)極值點(diǎn)，x1y (1 x)ex m 2 0 在 ( , 1)上有兩個(gè)解，( x 1)即 m (x 1)3ex 在 ( , 1) 上有兩異根，即直線 y m與 y (x 1)3ex 在 ( , 1)上有兩個(gè)交點(diǎn)令 g( x) (x 1)3ex( x1)， 則 g (x) 3(x 1)2ex ( x 1)3ex2x(x 1)2 ex(x 4)(x 1) ，當(dāng)x4時(shí)， g (x) 0 ，當(dāng) 4 x1時(shí)， g (x) 0，y g(x) 在區(qū)間 ( , 4) 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 ( 4, 1)

23、 上單調(diào)遞增，g( x)極小值 g 427e 4 又當(dāng) x 時(shí)， g(x) 0，當(dāng) x 1時(shí)， g(x) 0，27e 4 m 0時(shí)，滿足題意， 故答案為： ( 27e 4， 0)四、解答題：本題共 6 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17( 10 分)在 cosA 3 ， cosC 2 5 ，csinC sin A55bsin B， B 60 ， c2，1cosA 1 三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答8已知 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為a，b，c，若 a3，(或或)，求ABC 的面積 S 注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【解答

24、】解：選 32 5 ，Q cosA， cos C5545，sin A， sin C55sin Bsin( A C)sin A cosCcos A sin C4 2 55511 525 ，由正弦定理得 ba sin Bsin A11 5325433 520 ，5第#頁(共 20頁)Sab sin C2選1 3 33 5 5 9932 20 5 40Q csin C sin A bsin B ，由正弦定理得 c2 a b2 22Q a 3， b2 c2 3 又Q B 60 ，2 2 1 2b c 9 2 3 c c 3 ，2c 4 ，1S ac sin B 3 3 2選1Qc 2， cosA ，8

25、1 b2 22 32由余弦定理得 ，即 b8 2b 2解得 b 5 或 b 2 （舍去）2又 3 7又 sin A ，8115ABC 的面積 S1 bcsin A152222b520，3 7 15 78 1618（12 分）如圖，四棱錐 PABCD 的底面是正方形，E為 AB 的中點(diǎn)， PD CEAE 1 ，PD 3， PC 13（1）證明： AD 平面 PCD （2）求 DA與平面 PCE 所成角的正弦值1 ，PD 3 ，解答】解：（1）證明：Q四棱錐 P ABCD 的底面是正方形， E 為 AB的中點(diǎn)， AE第21頁（共 20頁）PC 13 ADCD ， AB2AE2 2 22， PD2

26、CD2 PC2 ，PD CD ，Q PDCE，CDICEC，PD平面ABCDAD PD ，Q CD IPDD，AD平面 PCD 2）解：以 D為原點(diǎn)， DA為 x軸， DC 為 y軸， DP為 z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，D(0 ，0，0）， A（2，0，0)，P(0，0，3)， C(0 ，2，0），E（2，1， 0），uuuruuuruuurDA (2 ，0，0)， PC(0，2， 3)PE（2 ，1，3)，設(shè)平面 PCE 的法向量 nr(x，y ， z)r uuur則 nr guPuCur2 y 3z 0，取z 2 ，得r n(32 ，3，2)，ngPE2 x y 3z 02設(shè) DA 與平面

27、 PCE 所成角為 ， 則 DA 與平面 PCE 所成角的正弦值為：uuur r| DAgn |3 3 61sin uuur r | DA |g|nr | 2 61 6119（12 分）某土特產(chǎn)超市為預(yù)估 2020 年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對2019年元旦期間的 90 位游客購買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表購買金額（元 ）0 ， 15)15， 30)30， 45)45， 60)60 ， 75)75 ， 90人數(shù)101520152010（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成 2 2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過 0.05 的情況下認(rèn)為 購買金額是否少于 60 元與性別有關(guān)不少于 60 元少于

28、 60 元合計(jì)男40女18合計(jì)2）為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案， 購買金額不少于 60元可抽獎(jiǎng) 3 次，每次中獎(jiǎng)概率為 p（每次抽獎(jiǎng)互不影響， 且 p的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于 60 元的頻率），中獎(jiǎng) 1 次減 5 元，中獎(jiǎng) 2 次減 10 元，中獎(jiǎng) 3 次減 15 元若游客甲計(jì)劃購買 80 元的土特產(chǎn)，請列出實(shí)際付款數(shù)X （元 ） 的分布列并求其數(shù)學(xué)期望n(ad bc )2附參考公式和數(shù)據(jù)：因此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05 的情況下認(rèn)為購買金額是否少于60 元與性別有關(guān)2） X 可能取值為65，70，75， 80，且 p10 20 190 3P(X)65 C3(31) 217

29、 ，212 P( X 70) C32(3)292 ， P(X 75)C31 13(2)24， P(X3980)0 2 3 8C3(23) 287 ，2K 2 ， n a b c d (a b)( c d)( a c)(b d)附表：k02.0722.7063.8416.6357.8792P(K 2k0)0.1500.1000.0500.0100.005不少于 60 元少于 60 元合計(jì)男124052女182038合計(jì)306090解答】 解：（1） 2 2 列聯(lián)表如下：5 3.841，1440247K2 90 (12 20 40 18)2K 30 60 52 38X 的分布列為X65707580

30、P1248279927EX 65 1 70 2 75 4 80 8 75 27 9 9 2720（12分）在數(shù)列 an ，bn中，a1b11，an 1 3an bn 3n 1，bn 1 3bn an 3n 1 等差數(shù)列 cn 的前兩項(xiàng)依次為 a2， b2 （1）求 cn 的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列 （ an bn）cn 的前 n 項(xiàng)和Sn【解答】 解：（ 1） a1 b1 1， an 13anbn3n 1， bn 1 3bn an 3n 1，可得 a2 3a1 b1 3 1 3 1 3 12，b23b1 a1 3 1 3 1 3 1 6 ，則 c12， c26，等差數(shù)列 cn 的公差為 6 （

31、2） 8，則 cn2 8(n1)8n 10 ；（2）an 1 3anbn3n 1 ，bn 1 3bn an 3n 1 ，兩式相加可得 an 1 bn 1 2(an bn) ，可得 an bn 為首項(xiàng)和公比均為 2 的等比數(shù)列，則 an bn 2n ，可得 (an bn)cn (8n 10) g2n ，則前 n項(xiàng)和 Sn ( 2)g2 6g4 14g8 (8n 10)g2n ，n12Sn ( 2)g4 6g8 14g16 (8n 10)g2n 1 ，兩式相加可得 Sn4 8(4 82n ) (8n 10)g2n 14 8g4(1 2 ) (8n 10)g2n 1 ，12化簡可得 Sn 36 (4

32、n 9)g2n 2 221(12 分)如圖，已知點(diǎn) F 為拋物線 C:y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn) F 的動(dòng)直線 l與拋物 線 C 交于 M ， N 兩點(diǎn)，且當(dāng)直線 l 的傾斜角為 45 時(shí)， | MN | 16 （1）求拋物線 C 的方程（2）試確定在 x軸上是否存在點(diǎn) P ，使得直線 PM ，PN 關(guān)于 x軸對稱？若存在， 求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解答】 解：（1）當(dāng) l的斜率為 1 時(shí)，Q F（p,0） ， 2l 的方程為 y x p 2y x 2p , 得 x22 得 x2y2 px,23px p40第19頁(共 20頁)設(shè)M(x1， y1)，N(x2， y2)，

33、則 x1 x2 3p，|MN | x1 x2 p 4p 16， p 4 ，拋物線 C 的方程為 y2 8x (2)法一：假設(shè)滿足條件的點(diǎn) P 存在，設(shè) P(a,0) ，由( 1)知 F (2,0) ， 當(dāng)直線 l 不與 x 軸垂直時(shí)，設(shè) l 的方程為 y k(x 2)(k 0)，64 0 ，y k ( x 2), 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由 2 得 k2x2 (4k2 8)x 4k2 0 ， (4k2 8)2 4gk2g4k2 64k2 y 8x,4k 2 8x1 x22 ， x1 x2 4 kQ 直線 PM ， PN 關(guān)于 x 軸對稱，PMk PN 0 ， k PMk(x1 2)

34、 ， kPNx1 ak( x2 2)x2 a8(a 2)kk(x12)(x2a)k(x22)( x1a)k2 x1x2(a 2)(x1x2)4aa 2時(shí)，此時(shí) P（ 2,0） 當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí)，由拋物線的對稱性， 易知 PM ，PN 關(guān)于 x軸對稱，此時(shí)只需 P與焦點(diǎn) F 不重合即可 綜上，存在唯一的點(diǎn) P（ 2,0） ，使直線 PM ，PN 關(guān)于 x軸對稱法二：假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P 存在，設(shè) P(a,0) ，由( 1)知 F(2,0) ，顯然，直線l 的斜率不為0，設(shè) l : x my2，得 y28my16 0 ，則y1y2 8m，y1 y216.kPMy1，kPN y2x1 akPNx2 akPMkPN0 (x2 a) y1( x1 a)y2 0，(my2 2 a)y1 (my1 2 a)y2 0.2my1 y2 (2 a)(y1 y2) 2m ( 16) (2 a) 8m 0 ， a 2， 存在唯一的點(diǎn) P( 2,0) ，使直線 PM ，PN 關(guān)于 x軸對稱22( 12 分)已知函數(shù) f (x) 2ln(x 1) sin x