初三數(shù)學(xué)培優(yōu)之二次函數(shù)

1、初三數(shù)學(xué)培優(yōu)之二次函數(shù)閱讀與思考二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，既有著應(yīng)用非常廣泛的豐富性質(zhì)，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，主要知識(shí)與方法有：1. 二次函數(shù)解析式y(tǒng) ax2 bx C的系數(shù)符號，確定圖象的大致位置bb 4ac b22. 二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，拋物線的形狀僅僅與a有關(guān)， 與（ ， ）決定拋2a 2a 4a物線對稱軸與頂點(diǎn)的位置3. 二次函數(shù)的解析式通常有下列三種形式： 一般式：y ax2 bx C ； 頂點(diǎn)式y(tǒng) a（x m） n:； 交點(diǎn)式：y a（x X）（x X2）,其中Xi， X2為方程ax2 bx C 0的兩個(gè)實(shí)根用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)不同條件采用不同的設(shè)法，可使

2、解題過程簡捷例題與求解【例1】 二次函數(shù)y ax2 bx C的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論：abc 0 ,b a C :4a 2b C 0 : 2c 3b : a bm am b m 1 .其中正確的結(jié)論有（A. 1個(gè)B. 2個(gè)解題思路：由拋物線的位置確定 a，能綜合推理.C. 3個(gè)D. 4個(gè)（天津市中考試題） b，C的符號，解題關(guān)鍵是對相關(guān)代數(shù)式的意義從函數(shù)角度理解并【例2 若二次函數(shù)y ax2 bx)1, 0),則Sab C的值的變化范圍是（A. 0 V S< 1B. 0< Sv 2C. 1< Sv 2D. 1< SV 1（陜西省競賽試題）解題思路：設(shè)法將S表示為只含

3、一個(gè)字母的代數(shù)式，求出相應(yīng)字母的取值范圍，進(jìn)而確定S的值的變化范圍.【例3】 某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行 10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示的 坐標(biāo)系下經(jīng)過原點(diǎn) O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）2在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)， 正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面10 米，入水處距池邊的距離3為4米，同時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度 5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就 會(huì)失誤（1）求這條拋物線的解析式；（2） 在某次試跳中，測得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿3勢時(shí)，距池邊的水平距離為 3-米.此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？并通

4、過計(jì)算說明理由（河北省中考試題）53解題思路：對于（2），判斷此次跳水會(huì)不會(huì)失誤，關(guān)鍵時(shí)求出距池邊的水平距離為3-米時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員5與跳臺(tái)的垂直距離.跳臺(tái)支柱mO1mA邊二：【例4】 如圖，在直角坐標(biāo) Xoy中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（ 4，3 ）,且在X軸上截得的線段AB的長為6.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在y軸上求作一點(diǎn)P （不寫作法），使PA+ PC最小，并求P點(diǎn)坐標(biāo)；（3） 在X軸的上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)Q,使得以Q , A, B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與厶 ABC相似?如果存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由（泰州市中考試題）解題思路：對于（1 ）、（2）,運(yùn)用對稱方

5、法求出 A, B, P點(diǎn)坐標(biāo)；對于（3）,由于未指明對應(yīng)關(guān)系，需 分類討論【例5】如圖，已知邊長為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE ,其中AF = 2, BF = 1.試在AB上求一點(diǎn)P,使矩形PNDM有最大面積.(遼寧省中考試題)解題思路：設(shè)DN = PM = X ,矩形PNDM的面積為y ,建立y與X的函數(shù)關(guān)系式.解題的關(guān)鍵是：最 值點(diǎn)不一定是拋物線的頂點(diǎn)，應(yīng)注意自變量的取值范圍A【例6】將拋物線Cl : y1, 3x2 .、3沿X軸翻折，得拋物線c2 ,如圖所示.(1 )請直接寫出拋物線 C2的表達(dá)式.(2)現(xiàn)將拋物線Ci向左平移m個(gè)單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為M ,

6、與X軸的交點(diǎn)從左到右依次為A, B；將拋物線C2向右也平移移 m個(gè)單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為N,與X軸的交點(diǎn)從左到右依次為 D, E. 當(dāng)B, D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求 m的值； 在平移過程中，是否存在以點(diǎn) A, N, E, M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由.(江西省中考試題)解題思路：把相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)用 m的代數(shù)式表示，由圖形性質(zhì)建立m的方程.因m值不確定，故解題的關(guān)鍵是分類討論.能力訓(xùn)練A級21. 已知拋物線y X (a 2)x 9的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則a的值為.2. 已知拋物線y x2 bx C與y軸交于點(diǎn)A,與X軸正半軸交于 B,

7、 C兩點(diǎn)，且BC= 2, SABC = 3,(四川省中考試題)則b =23.已知二次函數(shù) y ax bxC的圖象如圖所示（1）這個(gè)二次函數(shù)的解析式是(2)當(dāng) X =時(shí)，y（3）根據(jù)圖象回答，當(dāng) X時(shí),y 0.4.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)（二次函數(shù)的解析式為5.二次函數(shù)y ax2 bx C與一次函數(shù)（常州市中考試題）,且圖象與X軸的另一交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,則該4（安徽省中考試題）axC在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是（yyyy6.由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見到如文子:已知二次函數(shù)X2bx C的圖象過點(diǎn)（1 ,o）求證：這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線X（ ）A.過點(diǎn)（3, 0）C.在X軸上截得的

8、線段長度是 22對稱,根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)圖象不具有的性質(zhì)是B.頂點(diǎn)是（2,- 2）D.與y軸的交點(diǎn)是（0, 3）（鹽城市中考試題）7.如圖，拋物線y ax2 bx C與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是 A, B,丘，且厶ABE是等腰直角三角形，AE（大連市中考試題）A. b 0B. S ABE CC. ac 1D. a c 0=BE,則下列關(guān)系式不能總成立的是（第7題圖第8題圖8. 如圖，某中學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，大門的地面寬度為8米，兩側(cè)距地面 4米處高各有一個(gè)掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，則校門的高為（精確到 0.1米，水泥建筑物厚度忽略不計(jì)）（）A. 9. 2 米B

9、. 9. 1 米C. 9 米D. 5. 1 米（吉林省中考試題）9. 如圖，是某防空部隊(duì)進(jìn)行射擊訓(xùn)練時(shí)在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖中固定目標(biāo)C的仰角分別為和, OA = 1千米，tan = , ta n=上，位于 28點(diǎn)處的直升機(jī)向目標(biāo) C發(fā)射防空導(dǎo)彈，該導(dǎo)彈運(yùn)行到達(dá)距地面最大高度 千米(即圖中E點(diǎn)).(1) 若導(dǎo)彈運(yùn)行為一拋物線，求拋物線的解析式；(2) 說明按(1)中軌道運(yùn)行的導(dǎo)彈能否擊中目標(biāo)的理由A兩個(gè)觀測點(diǎn)測得空50點(diǎn)正上方5千米D3相應(yīng)的水平距離為4.在地面O,一 383千米時(shí),(河北省中考試題)10.如圖，已知 ABC為正三角形，D , E分別是邊 AC、BC上的點(diǎn)(不在頂點(diǎn)), B

10、DE = 60° .(1) 求證： DECBDA ;(2) 若正三角形ABC的邊長為6 ,并設(shè)DC= X , BE= y ,試求出y與X的函數(shù)關(guān)系式，并求 BE最短 時(shí)， BDE的面積.C11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0B OA且OB= 2OA,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一1, 2).(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2) 求過點(diǎn)A, 0 , B的拋物線的解析式；(3)連結(jié)AB,在(2)中的拋物線上求出點(diǎn)P,使S ABP S ABO .(陜西省中考試題) 12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y x2 mx n經(jīng)過點(diǎn)A （3, 0）, B （0, - 3）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是 直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P作X軸

11、的垂線交拋物線于點(diǎn) M.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t；（ 1）分別求直線 AB和 這條拋物線的解析式；（2） 若點(diǎn)P在第四象限，連結(jié) BM，AM,當(dāng)線段PM最長時(shí)，求 ABM的面積；（3） 是否存在這樣的點(diǎn) P，使得以點(diǎn)P，M，B，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫 出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（南寧市中考試題）1.已知二次函數(shù)y x2 6x C的圖象頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為5,貝U C =2.如圖，四邊形 ABCD是矩形，A, B兩點(diǎn)在X的正半軸上，C, D兩點(diǎn)在拋物線y2X 6x上.設(shè)OA的長為m（ OV m V 3）矩形ABCD的周長為I ,則I與m的函數(shù)解析式為（昆明市中考試題

12、）C第2題圖3.如圖，在 O的內(nèi)接 ABC中,當(dāng)AB的長等于時(shí)， O4.如圖，已知二次函數(shù) y12axbx c（a 0）與一次函數(shù)y2 kx m（k 0）的圖象相交于點(diǎn) A （-第4題圖第3題圖AB + AC = 12, AD丄BC,垂足為 D （點(diǎn)D在邊BC上），且AD = 3, 的面積最大，最大面積為 .2, 4）, B （8, 2）,則能使 力科2成立的X的取值范圍時(shí) .（杭州市中考試題）5.已知函數(shù)y ax2 bx C的圖象如下圖所示，貝U函數(shù)y ax C的圖象只可能是（）（重慶市中考試題）則下列6個(gè)代數(shù)式:2 bx C的圖象如圖所示,6.已知二次函數(shù)yaxab , ac, a b C

13、, a b C,2a b, 2aA.2個(gè)b中，其值為正的式子個(gè)數(shù)為（）B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 4個(gè)以上（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）7.已知拋物線2axbx CA. 1B. 0&已知二次函數(shù)y ax2bx函數(shù)y的值分別時(shí)y1,y2,y3,a. y1y2y3B.9.已知拋物線y2mx(3m形，求拋物線的解析式.10.如圖，已知點(diǎn)M, N（a0）的對稱軸是XC. 1C （ a 0）的對稱軸是那么yi, y2, y3的大小關(guān)系是（y1y2y3且經(jīng)過點(diǎn)2 ,且當(dāng)c. y2y1yP( 3, 0)則 aD. 2Xi- 2, X2d.y2b C的值為（）,X30時(shí)，二次y1y34）X 4與X軸交于兩點(diǎn)A, B,與y軸交于C點(diǎn)，若厶ABC是等腰三角3的坐標(biāo)分別為（0, 1）, （0, 1）,點(diǎn)P是拋物線y（“新世紀(jì)杯”初中數(shù)學(xué)競賽試題）1 2 一 X上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).4（1）判斷以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線 y1的位置關(guān)系;1 2（2）設(shè)直線PM與拋物線y X的另一個(gè)交點(diǎn)為 Q,連結(jié)NP, NQ,求證： PNM = QNM.4（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）yax2 bx C過點(diǎn) A,（天津市競賽試題）11.已知函數(shù)y x2 x 12的圖象與X軸相交于相異兩點(diǎn) A, B,另一拋物線yB，頂點(diǎn)為P，且厶APB是等腰直角三角形， 求a，b，C的值.212.如圖1，點(diǎn)P是直線l : y