DC-DC變換器的非線性分析方法及應(yīng)用

1、北京交通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 47 頁(yè)第1章 緒論1.1 DC-DC變換器簡(jiǎn)介DC-DC變換器又被稱為斬波器，具有成本低、可靠性高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)儀表、電子設(shè)備、通訊、航空航天及電車(chē)的無(wú)級(jí)變速等領(lǐng)域，能夠獲得快速響應(yīng)、加速平穩(wěn)的性能，還能夠有效抑制電網(wǎng)側(cè)諧波電流嗓聲及節(jié)約電能。由于DC-DC開(kāi)關(guān)變換器具有最簡(jiǎn)單和最基本的電路結(jié)構(gòu)，為了提高其工作效率而采取的控制措施也可以被其他變換電路所采納，因此對(duì)DC-DC變換器相關(guān)問(wèn)題的研究也一直是電力電子學(xué)術(shù)界關(guān)注的重要領(lǐng)域1。傳統(tǒng)的線性控制理論如今已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)成熟，并且已經(jīng)成功地運(yùn)用在電力電子變換器的控制當(dāng)中，但由于開(kāi)關(guān)變換器本身

2、具有的強(qiáng)非線性的特點(diǎn)，線性控制策略不能確保該類(lèi)非線性系統(tǒng)中所有工作點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。由于電力電子設(shè)備在電子儀器、現(xiàn)代通信、工業(yè)自動(dòng)化、計(jì)算機(jī)和航空航天等領(lǐng)域中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，對(duì)傳遞電能的高精確性、高效性及裝置低成本性等要求也越來(lái)越高，線性控制策略已不能滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)。到了20世紀(jì)中期，計(jì)算機(jī)控制技術(shù)發(fā)展得十分迅速，一些非線性控制方法陸續(xù)被應(yīng)用于電力電子變換器的控制中2，這使得功率變換器在高效性、輕便性等方面取得了很大的進(jìn)步。非線性控制理論的深入研究與應(yīng)用已經(jīng)成為今后電力電子變換器控制研究領(lǐng)域的一個(gè)重要方面，更成為了電力電子學(xué)研究的熱點(diǎn)3。在傳統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中主要采用系統(tǒng)的小信號(hào)模型對(duì)開(kāi)關(guān)電源的控

3、制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，但是在實(shí)際開(kāi)關(guān)電路的設(shè)計(jì)與調(diào)試過(guò)程中，出現(xiàn)了一些比較奇怪的現(xiàn)象。這些不穩(wěn)定現(xiàn)象對(duì)于工程人員來(lái)說(shuō)是不希望也是不應(yīng)該出現(xiàn)的，而這些現(xiàn)象在傳統(tǒng)線性控制理論領(lǐng)域無(wú)法給予正確的解釋?zhuān)偸峭ㄟ^(guò)經(jīng)驗(yàn)不斷地調(diào)節(jié)電路參數(shù)來(lái)避免，因此對(duì)電力電子電路中的非線性現(xiàn)象的深入研究具有非常重要的理論和工程價(jià)值。1.2 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的區(qū)別及幾種非線性分析方法線性系統(tǒng)的概念為：狀態(tài)變量和輸出變量對(duì)于所有可能的初始狀態(tài)和輸入變量都能夠滿足疊加原理的系統(tǒng)。一個(gè)由線性元部件所構(gòu)成的系統(tǒng)必然是線性系統(tǒng)。但是，相反的命題在一些情況下可能是不成立的。我們可以用一組線性微分方程或差分方程來(lái)描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量(或輸出

4、變量)與輸入變量間的關(guān)系，這種方程被稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 非線性系統(tǒng)的概念為：對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，如果其輸出與其輸入不成正比，則它是非線性的。從數(shù)學(xué)上看，疊加原理不再成立是非線性系統(tǒng)的特征。疊加原理的概念為描述系統(tǒng)的方程的兩個(gè)解之和仍為其解。線性與非線性系統(tǒng)的區(qū)別在于，線性系統(tǒng)對(duì)初值不敏感，而非線性系統(tǒng)對(duì)初值較敏感。線性系統(tǒng)的狀態(tài)可以由線性方程得到，比較容易；而非線性系統(tǒng)就比較難。嚴(yán)格地說(shuō)，實(shí)際生活中的物理系統(tǒng)都不可能是線性系統(tǒng)。在構(gòu)成自動(dòng)控制系統(tǒng)的諸多環(huán)節(jié)中，根據(jù)它們的靜態(tài)特性的不同，可以分為線性環(huán)節(jié)與非線性環(huán)節(jié)兩大類(lèi)。當(dāng)輸入-輸出的靜態(tài)特性呈現(xiàn)為線性關(guān)系時(shí)，稱其為線性環(huán)節(jié)；當(dāng)輸入-輸出的靜態(tài)特性

5、呈現(xiàn)為非線性關(guān)系時(shí)，稱其為非線性環(huán)節(jié)。在所以構(gòu)成自動(dòng)控制系統(tǒng)的環(huán)節(jié)中，當(dāng)有一個(gè)或一個(gè)以上的環(huán)節(jié)具有非線性特性時(shí)，這樣的系統(tǒng)就是非線性控制系統(tǒng)。在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，由于構(gòu)成控制系統(tǒng)的一些環(huán)節(jié)總會(huì)或多或少地存在非線性特性，所以嚴(yán)格地說(shuō)，實(shí)際中的任何控制系統(tǒng)都是非線性的控制系統(tǒng)，但是，通過(guò)合理簡(jiǎn)化和近似處理，大量的物理系統(tǒng)都可以在一定的范圍內(nèi)和足夠準(zhǔn)確的意義下被視為線性系統(tǒng)進(jìn)行分析。為了研究方便，經(jīng)常將非線性系統(tǒng)近似地看成或處理為線性系統(tǒng)，然后用線性控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究。系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的目的是通過(guò)求取系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式，以解決穩(wěn)定性問(wèn)題為核心，對(duì)系統(tǒng)實(shí)施有效的控制。由于非線性系統(tǒng)形式多樣，受數(shù)學(xué)

6、工具的限制，一般情況下很難求得非線性微分方程的解析解，只能采用工程上適用的近似方法。而常用的方法有以下三種：（1）相平面法4相平面法是應(yīng)用時(shí)域分析法擴(kuò)展出的一種圖解分析法。該方法通過(guò)在相平面上繪制相軌跡曲線，得出非線性微分方程在不同的初始條件下解的運(yùn)動(dòng)形式。相平面法僅適用于一階和二階系統(tǒng)。（2）李雅普諾夫穩(wěn)定性分析法5李雅普諾夫第二法又稱直接法，它的基本思路是借助一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)來(lái)直接對(duì)系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性作出判斷。（3）描述函數(shù)法6-7描述函數(shù)法的基本思想是：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在給定正弦信號(hào)的作用下，其輸出可用一次諧波的分量來(lái)近似，由此求出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率

7、特性，即描述函數(shù)。這時(shí)該非線性系統(tǒng)就近似的等效為一個(gè)線性系統(tǒng)，并且可以應(yīng)用線性系統(tǒng)分析理論中的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析9。描述函數(shù)法主要應(yīng)用在分析無(wú)外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自激振蕩等問(wèn)題，并且其應(yīng)用不受系統(tǒng)階次的限制，一般可以給出令人滿意的結(jié)果，獲得了廣泛應(yīng)用8，因此本課題中也選擇描述函數(shù)法作為主要研究方法。1.2 Buck電路非線性特性及拓?fù)銬C-DC開(kāi)關(guān)變換器的建模分析是研究開(kāi)關(guān)電源的基礎(chǔ)，對(duì)開(kāi)關(guān)電源的分析與設(shè)計(jì)具有重要意義10。由于DC-DC變換器開(kāi)關(guān)所導(dǎo)致的強(qiáng)非線性特性，所以傳統(tǒng)的線性分析方法存在一定的誤差。傳統(tǒng)的理想模型和實(shí)際電路之間的偏差是開(kāi)關(guān)變換器建模不可忽視的問(wèn)題1

8、1。圍繞這個(gè)問(wèn)題，本文將針對(duì)Buck變換器，利用一種非線性分析方法進(jìn)行建模分析12。Buck電路結(jié)構(gòu)如下圖所示：圖1-1 Buck電路結(jié)構(gòu)圖1.3 研究?jī)?nèi)容本文主要針對(duì)上述圖1-1所示的Buck變換器進(jìn)行設(shè)計(jì)，其設(shè)計(jì)條件為：表1-1 Buck變換器設(shè)計(jì)條件輸入電壓（V）輸出電壓（V）開(kāi)關(guān)頻率（kHz）1510100功率（W）輸出電流紋波輸出電壓紋波4015%1%本論文主要對(duì)以上拓?fù)浒凑杖缟弦筮M(jìn)行主電路參數(shù)設(shè)計(jì)，并按照如上計(jì)算的參數(shù)對(duì)拓?fù)溥M(jìn)行狀態(tài)空間平均法建模，然后進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析和非線性穩(wěn)定性分析，通過(guò)比較穩(wěn)定性判據(jù)、分析過(guò)程的相同與不同之處，進(jìn)行對(duì)比，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。第2章 Buck變換

9、器線性建模及參數(shù)設(shè)計(jì)根據(jù)如上1.3節(jié)所提出的輸出電流和輸出電壓紋波要求以及功率等級(jí)條件，對(duì)基礎(chǔ)Buck拓?fù)溥M(jìn)行主電路參數(shù)設(shè)計(jì)，并根據(jù)所設(shè)計(jì)的參數(shù)對(duì)主電路進(jìn)行仿真，對(duì)理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。然后設(shè)計(jì)閉環(huán)控制系統(tǒng)并確定參數(shù)。2.1 參數(shù)設(shè)計(jì)2.1.1 主電路穩(wěn)態(tài)分析Buck變換器通過(guò)改變開(kāi)關(guān)的占空比來(lái)控制輸出電壓，在工作時(shí)分為兩個(gè)階段，其工作原理如下所示：在Ton階段，其等效電路如下圖所示：圖2-1 Buck電路在Ton階段的等效電路由其工作過(guò)程可以得出電感電壓和電容電流的方程： （2-1）在Toff階段，其等效電路如下圖所示：圖2-2 Buck電路在Toff階段的等效電路由其工作過(guò)程可以得出電感電

10、壓和電容電流的方程： （2-2）由電容電流的充放電平衡和電感的伏秒平衡可以對(duì)Buck電路的穩(wěn)態(tài)求解： （2-3）2.1.2 主電路電感的設(shè)計(jì)電感電流紋波計(jì)算公式為： （2-4）在Buck電路中，輸出電流即為電感電流，由設(shè)計(jì)條件中所設(shè)定輸出電流紋波應(yīng)小于15%，可以得到 （2-5）選取，可以解得：因此由理論推導(dǎo)得當(dāng)電感取值大于等于的時(shí)候可以滿足紋波要求。2.1.3 主電路電容的設(shè)計(jì)電容兩端電壓紋波計(jì)算公式為： （2-6）在Buck電路中，輸出電壓即為電容兩端電壓，由設(shè)計(jì)條件中所設(shè)定的輸出電壓紋波為1%，可以得到： （2-7）選取，可以解得：2.1.4 主電路仿真按照上述計(jì)算參數(shù)，對(duì)Buck電路進(jìn)

11、行仿真，可以得到以下波形，仿真波形中，輸出電流紋波峰峰值，紋波百分比為15.01%，與理論計(jì)算的輸出電流紋波15%基本相同；輸出電壓紋波峰峰值，紋波百分比為1.02%，與理論計(jì)算的輸出電壓紋波1%基本相同，所選參數(shù)滿足設(shè)計(jì)要求。表 2-1 主電路仿真參數(shù)輸入電壓（V）電感（uH）電容（uF）15567.4電阻阻值（）電感電流（A）輸出電壓（V）2.5410（a）主電路仿真圖（b）電流紋波及電壓紋波波形（c）驅(qū)動(dòng)信號(hào)圖2-3 主電路仿真圖2.2 主電路的建模開(kāi)關(guān)變換器的建模與控制是研究開(kāi)關(guān)變換器的基礎(chǔ)13，一個(gè)直流-直流變換器的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中包含了DC-DC變換器和起控制作用的負(fù)反饋回路，因?yàn)橐?/p>

12、對(duì)變換器的反饋回路進(jìn)行設(shè)計(jì)從而使變換器的輸出電壓保持恒定，需要求得所使用變換器的動(dòng)態(tài)模型，還有輸入電壓、占空比、負(fù)載電流的變化對(duì)輸出電壓所造成的影響，以及小信號(hào)傳遞函數(shù)等，所以想要分析其低頻交流小信號(hào)分量在變換器中的傳遞過(guò)程，就需要對(duì)DC-DC變換器進(jìn)行小信號(hào)建模。2.2.1 狀態(tài)空間平均法運(yùn)用思路運(yùn)用狀態(tài)空間平均法對(duì)變換器進(jìn)行CCM模式下的小信號(hào)建模14，可以采用如下思路：（1）分段列寫(xiě)狀態(tài)方程。當(dāng)變換器滿足低頻假設(shè)和小紋波假設(shè)時(shí)，將輸入變量與狀態(tài)變量直接表示為在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)的平均變量，再根據(jù)變換器在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)的不同運(yùn)行狀態(tài)為其他變量建立一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)統(tǒng)一的平均變量表達(dá)式。（2）分解平

13、均變量，求得靜態(tài)工作點(diǎn)及非線性的交流小信號(hào)方程。（3）對(duì)非線性的小信號(hào)狀態(tài)方程進(jìn)行線性化處理。當(dāng)變換器滿足小信號(hào)假設(shè)時(shí)，忽略非線性狀態(tài)方程中的小信號(hào)乘積項(xiàng)，建立交流小信號(hào)狀態(tài)方程與輸出方程。采用該建模思路可以對(duì)Buck電路進(jìn)行建模，得到變換器的控制輸出電壓傳遞函數(shù)，從而判斷其穩(wěn)定性15。2.2.2 主電路建模過(guò)程根據(jù)圖2-1、圖2-2，Buck變換器連續(xù)工作時(shí)分為兩種工作狀態(tài)，分別為其建立狀態(tài)方程及輸出方程：工作狀態(tài)一 （2-8）工作狀態(tài)二 （2-9）對(duì)狀態(tài)變量在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)求平均，并且為平均狀態(tài)變量建立狀態(tài)方程 （2-10）求式（2-10）對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，并且將狀態(tài)方程帶入得（2-11）當(dāng)變

14、換器滿足低頻假設(shè)（交流小信號(hào)的頻率遠(yuǎn)小于開(kāi)關(guān)頻率）和小紋波假設(shè)（變換器的轉(zhuǎn)折頻率遠(yuǎn)小于開(kāi)關(guān)頻率）時(shí)，可以近似簡(jiǎn)化為（2-12）同理得到（2-13）然后建立如下擾動(dòng)量： （2-15）并且對(duì)含有交流分量的控制量進(jìn)行分解： （2-16）帶入上式可以得到交流小信號(hào)狀態(tài)方程和輸出方程（忽略乘積項(xiàng)）： （2-17）其中： （2-18）對(duì)于理想Buck變換器，我們?nèi)‰姼须娏骱碗娙蓦妷鹤鳛闋顟B(tài)變量，取輸入電壓作為輸入變量，取電壓源的輸出電流和變換器的輸出電壓作為輸出變量。由于變換器的工作狀態(tài)分為兩種：當(dāng)變換器處于工作狀態(tài)一，也就是Ton階段，電感電壓和電容電流為 （2-19）而輸入電流即為電感電流，輸出電壓即

15、為電容電壓，所以 （2.-20）將上兩式（2-19）和（2-20）寫(xiě)成狀態(tài)方程和輸出方程的形式為： （2-21）所以可以對(duì)應(yīng)得到系數(shù)：、當(dāng)變換器處于工作狀態(tài)二，也就是Toff階段，電感電壓和電容電流為： （2-22） 由于開(kāi)關(guān)截止，則輸入電流為0，則可以整理狀態(tài)方程和輸出方程， （2-23）對(duì)應(yīng)可以得到：、進(jìn)而由式（2-18）得到：、將所得參數(shù)帶入交流小信號(hào)狀態(tài)方程和輸出方程，并且作拉氏變換，帶入理想Buck變換器的參數(shù)，得到傳函向量為：（2-24）整理后的到理想Buck變換器的控制-輸出傳遞函數(shù)： （2-25）輸入-輸出傳遞函數(shù)為： （2-26）2.3 閉環(huán)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)2.3.1 閉環(huán)系統(tǒng)

16、組成設(shè)計(jì)電路的電壓控制環(huán)路系統(tǒng)如下圖2-4所示：圖2-4 閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖如圖，該主電路在控制電路的作用下，將直流電壓源輸入的能量轉(zhuǎn)換成負(fù)載所需要的直流輸出電壓，而控制電路則由控制器、PWM比較器、驅(qū)動(dòng)電路構(gòu)成。輸出電壓經(jīng)過(guò)電壓采樣網(wǎng)絡(luò)得到，將其與參考電壓比較之后產(chǎn)生的誤差信號(hào)作為控制器的輸入，而控制器的輸出作為調(diào)制波，與三角波進(jìn)行比較后產(chǎn)生控制脈沖。具體原理如下圖2-7所示，其中為調(diào)制波的幅值，為三角波的幅值。當(dāng)調(diào)制波的幅值大于三角波時(shí)，設(shè)定控制脈沖為高電平，此時(shí)開(kāi)關(guān)管導(dǎo)通開(kāi)始工作；反之，當(dāng)調(diào)制波的幅值小于三角波時(shí)，設(shè)定控制脈沖為低電平，此時(shí)開(kāi)關(guān)管關(guān)斷，以此控制輸出電壓。圖2-5 脈寬

17、調(diào)制的基本原理2.3.2 電壓控制環(huán)路系統(tǒng)設(shè)計(jì)在設(shè)計(jì)電壓控制環(huán)路時(shí)，控制框圖如下圖2-8所示，其中為參考電壓，為誤差量，為電壓控制器的傳遞函數(shù)，為電壓控制器的輸出量，為PWM的傳遞函數(shù)，其值為，其中為PWM中鋸齒波的幅值，為占空比，為控制輸出的傳遞函數(shù)，為輸出電壓，為電壓采樣網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。圖2-6 電壓控制環(huán)路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖為了滿足動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)精度，控制方式選擇PI控制器，而PI控制器的的傳遞函數(shù)為： （2-27）則整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)為： （2-28）2.3 閉環(huán)系統(tǒng)仿真經(jīng)過(guò)不斷仿真調(diào)試，最終確定PI參數(shù)，當(dāng)，系統(tǒng)可以穩(wěn)定，進(jìn)而得到如下圖2-7所示仿真波形，輸出電流紋波的峰

18、峰值為，電流紋波百分比為15.01%，與理論計(jì)算紋波15%的值基本相同；輸出電壓紋波的峰峰值為，紋波百分比為1.01%，與理論計(jì)算紋波1%基本相同，由此可以看出閉環(huán)仿真所得的紋波與開(kāi)環(huán)仿真相同。閉環(huán)仿真參數(shù)如表2-2。表 2-2 閉環(huán)仿真參數(shù)輸入電壓（V）電感（uH）電容（uF）15567.4電阻阻值（）電感電流（A）輸出電壓（V）2.5410三角波幅（V）采樣比例41（a）仿真電路圖（b）電流紋波及電壓紋波波形（c）驅(qū)動(dòng)信號(hào)圖2-7 閉環(huán)系統(tǒng)仿真2.4 本章小結(jié)本章利用狀態(tài)空間平均法對(duì)Buck主電路進(jìn)行了建模，根據(jù)輸出電流紋波15%、輸出電壓紋波1%的要求，確定了主電路電感、主電路電容。然后

19、經(jīng)過(guò)閉環(huán)仿真調(diào)試，確定了可以使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)，并進(jìn)行了閉環(huán)系統(tǒng)仿真。第3章 描述函數(shù)法及其應(yīng)用3.1 背景介紹描述函數(shù)法又被稱為諧波線性化法16，它是由英國(guó)P. J. Daniel 教授在1940年首次提出的，是一種分析非線性系統(tǒng)的近似方法, 是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中的推廣。描述函數(shù)法的研究對(duì)象可以是任何階次17，尤其是二階以上的非線性系統(tǒng),其主要思想是利用諧波分析的方法,將由于系統(tǒng)中非線性因素所造成的高次諧波部分忽略,僅使用一次諧波分量，即基波分量來(lái)近似地描述其非線性特性。在將非線性特性進(jìn)行諧波化之后, 就可以根據(jù)幅相頻率特性的定義, 建立非線性特性的等效幅相特性, 即描述函數(shù)。 3.2

20、一般描述函數(shù)的推導(dǎo)常見(jiàn)的描述函數(shù)有兩種，我們這里提到的兩種非線性系統(tǒng)是分段線性型非線性系統(tǒng)和多項(xiàng)式型非線性系統(tǒng)，分段線性型非線性系統(tǒng)的輸入輸出特性是由直線部分組成，多項(xiàng)式型非線性系統(tǒng)的輸入輸出特性是被描述成一個(gè)多項(xiàng)式。本節(jié)中所有的非線性系統(tǒng)的輸入輸出特性都當(dāng)作是相對(duì)于輸出的奇函數(shù)。下面將分別推導(dǎo)兩個(gè)一般非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)。3.2.1 分段線性型描述函數(shù)如圖3-1，在實(shí)踐中，描述函數(shù)的推導(dǎo)可能不存在一個(gè)單一的非線性的特點(diǎn)。然而，可以想象這代表了多個(gè)級(jí)聯(lián)的非線性系統(tǒng)的組合特性。選擇這種非線性的主要原因是，許多其他的分段線性型非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析是適當(dāng)?shù)牡男薷牧诉@種一般的類(lèi)型。在下面的討論中，

21、圖3-1所示的一般類(lèi)型的非線性系統(tǒng)將被稱為A型非線性系統(tǒng)。x和y分別為非線性元件的輸入和輸出。那么，y可以表示為一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)，也就是，而就是圖所示的輸入-輸出特性。當(dāng)輸入為正弦時(shí)，一個(gè)非線性元件的描述函數(shù)或等效表達(dá)式被定義為一個(gè)關(guān)于基礎(chǔ)輸入振幅與輸出振幅的復(fù)雜比例。描述函數(shù)用符號(hào)表示為： （3-1）其中 （3-2）圖3-1 輸入為正弦波時(shí)一般分段線性非線性系統(tǒng)（A型）的響應(yīng)式（3-1）也可以寫(xiě)成下面這種簡(jiǎn)單的形式 （3-3）在這個(gè)定義中，假定非線性環(huán)節(jié)的輸入x是,。在這里，是正弦波的頻率，是時(shí)間。那么就可以寫(xiě)成以下形式： （3-4）其中： （3-5）而 （3-6）所以我們可以得到A類(lèi)型非線

22、性系統(tǒng)的描述函數(shù)。但是有時(shí)用極坐標(biāo)形式來(lái)表達(dá)描述函數(shù)更為方便，還可以寫(xiě)成以下形式： （3-7）其中 （3-8）很多分段線性型非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)可以被當(dāng)成是A型非線性系統(tǒng)的修改版推導(dǎo)出來(lái)。3.2.2 多項(xiàng)式型描述函數(shù)除了分段線性型非線性系統(tǒng)以外，還有一種常見(jiàn)的非線性系統(tǒng)為一般多項(xiàng)式型非線性系統(tǒng)，其輸入輸出特性可以由一系列多項(xiàng)式的和來(lái)描述，即式（3-9），在寫(xiě)成多項(xiàng)式形式的時(shí)候，我們可以把n加入。 （3-9）在其右側(cè)使用絕對(duì)值形式的原因，是要使成為一個(gè)關(guān)于的奇函數(shù)。而多項(xiàng)式型非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)可以由式（3-10）給出： （3-10）其中可以用下面更緊湊的形式表達(dá)： （3-11）例如，多項(xiàng)式型非

23、線性系統(tǒng)的一種特殊形式為其可以表示為輸入的整數(shù)次冪，這種非線性系統(tǒng)的輸入輸出特性被定義為： （n為奇數(shù)） （n為偶數(shù)）（3-12）其非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)可以用下式來(lái)表示： （3-13）3.3 描述函數(shù)在Buck變換器中的應(yīng)用上節(jié)中對(duì)兩種常見(jiàn)的非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)進(jìn)行了求導(dǎo)，但是在實(shí)際應(yīng)用中所遇到的非線性系統(tǒng)常常無(wú)法轉(zhuǎn)換成這兩種形式，對(duì)于這種情況，我們就需要分析描述函數(shù)的定義，從而求得非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)。3.3.1 Buck變換器中非線性環(huán)節(jié)分析所有的電力電子系統(tǒng)本質(zhì)上都是非線性系統(tǒng)，對(duì)于Buck變換器，作為一種分段開(kāi)關(guān)線性系統(tǒng)，必然蘊(yùn)含了豐富的非線性動(dòng)態(tài)現(xiàn)象。而其開(kāi)關(guān)過(guò)程是由脈寬調(diào)制器所控制

24、的。由于Buck變換器的非線性特性并非簡(jiǎn)單的奇函數(shù)，那么我們只能根據(jù)描述函數(shù)的定義分析。根據(jù)描述函數(shù)的定義：設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入-輸出特性為： （3-14）將非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)設(shè)定為正弦信號(hào) （3-15）然后對(duì)非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出進(jìn)行諧波分析，由于為非正弦的周期信號(hào)，那么可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)： （3-16）忽略由于系統(tǒng)中非線性因素所造成的高次諧波部分，僅保留其一次諧波分量，即 （3-17） 而描述函數(shù)即為其一次諧波分量與輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比，即 （3-18）的復(fù)數(shù)形式，其等同于式（3-1），其中，。同理，在分析Buck閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)，則需要將系統(tǒng)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)設(shè)定為正弦信號(hào)，然后根據(jù)其穩(wěn)態(tài)輸出來(lái)

25、求得其描述函數(shù)。由于其非線性現(xiàn)象的產(chǎn)生原因，主要是由脈寬調(diào)制所引起的開(kāi)關(guān)過(guò)程，所以我們只需要將圖2-6中的設(shè)定為正弦信號(hào)，也就是將脈寬調(diào)制器的調(diào)制波設(shè)定為一個(gè)正弦信號(hào)，并分析其輸出信號(hào)即可。3.3.2 非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的推導(dǎo)根據(jù)文獻(xiàn)22，當(dāng)載波為三角波，輸入調(diào)制波為的時(shí)候，所產(chǎn)生的開(kāi)關(guān)波形的傅里葉級(jí)數(shù)為： （3-19）其中 （3-19） （3-21）并且當(dāng)m=0時(shí)，。 那么式（3-20）可以重新寫(xiě)為 （3-22）而非線性部分的輸出可以寫(xiě)成（3-23）那么非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)就是其與輸入信號(hào)的比值（3-34）的基波分量18。在式（3-34）中，。而為三角波頻率，為正弦波頻率。由于該推導(dǎo)方法僅適

26、用于載波頻率遠(yuǎn)大于調(diào)制波（）的情況，因此在本文中設(shè)定，。那么就可以得出和的關(guān)系。即： （3-35）將式（3-35）帶入式（3-34），得到（3-36）為了得到基波分量，我們需要忽略第一項(xiàng)，并且使第三項(xiàng)中的，也就是；第四項(xiàng)中，也就是；第五項(xiàng)中的，也就是。而由于m，n的取值范圍所限定，所有的m，n取值均不能滿足第三、第四項(xiàng)的條件，所以忽略第三項(xiàng)，第四項(xiàng)，那么將式（3-36）簡(jiǎn)化為以下形式： （3-37）其中m和n的關(guān)系為，可以得到，則非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)可以表述為（3-38）式中，為三角波峰-峰值的；為調(diào)制波的幅值即式（3-1）中的；為第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)，其中為階數(shù)，為自變量，其求值過(guò)程可以利用ma

27、tlab來(lái)實(shí)現(xiàn)。然后將m的值帶入并求和，便可以得到其描述函數(shù)，這一過(guò)程可以通過(guò)matlab來(lái)實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際計(jì)算中，由于隨著m取值的增大，式（3-38）中求和部分的值的變化越來(lái)越小，則認(rèn)為當(dāng)m取一個(gè)足夠大的值時(shí)，的值趨近于極限值，可以近似為恒定值。 經(jīng)過(guò)計(jì)算，設(shè)定m的取值為1500，根據(jù)前文所定參數(shù)，則： （3-39）3.4 本章小結(jié)本章介紹了了兩種一般描述函數(shù)的推導(dǎo)及本文所設(shè)計(jì)Buck閉環(huán)系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程，為下文的穩(wěn)定性分析奠定了基礎(chǔ)。第4章 描述函數(shù)法與線性建模方法的穩(wěn)定性對(duì)比分析一個(gè)可靠實(shí)用的開(kāi)關(guān)變換器，應(yīng)該滿足其穩(wěn)定性要求，傳統(tǒng)的線性分析方法已經(jīng)發(fā)展得十分完善，那么在使用

28、描述函數(shù)進(jìn)行非線性的穩(wěn)定性分析方法時(shí)，我們需要通過(guò)對(duì)比，得到其相同及不同之處，并加以分析。4.1 Buck變換器線性模型的穩(wěn)定性分析傳統(tǒng)的線性分析方法思路為，求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，通過(guò)繪制奈奎斯特圖等根據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定或者不穩(wěn)定。4.1.1 線性分析方法穩(wěn)定性判斷思路奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可以根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)，確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖4-1 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖中所示的閉環(huán)系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為： （4-1）特征方程為： （4-2）4.1.2 線性分析方法穩(wěn)定性判據(jù)利用奈奎斯特判據(jù)需要繪制其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，即圖4-1中的奈奎斯特圖，并且觀察奈奎斯特曲線與點(diǎn)的位置關(guān)系，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。當(dāng)在s平面內(nèi)應(yīng)用

29、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，可能發(fā)生三種情況（設(shè)定）：1軌跡不包圍點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。如圖4-2。圖4-2 系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的奈奎斯特曲線及點(diǎn)分布圖2軌跡包圍點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。如圖4-3。圖4-3 系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)的奈奎斯特曲線及點(diǎn)分布圖3軌跡與點(diǎn)相交，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。如圖4-4。圖4-4 系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)的奈奎斯特曲線及點(diǎn)分布圖4.2 運(yùn)用描述函數(shù)法的穩(wěn)定性分析4.2.1 利用描述函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的思路對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)簡(jiǎn)化后，具有如圖4-5所示的結(jié)構(gòu)形式，其中為閉環(huán)系統(tǒng)的輸入，為非線性部分的描述函數(shù)，為線性部分的傳遞函數(shù)，為閉環(huán)系統(tǒng)的輸出。利用與線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷相似

30、的方法，可以判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖4-5 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖4.2.2 描述函數(shù)法的穩(wěn)定性判據(jù)相似的，我們可以應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率域穩(wěn)定判據(jù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性19- 21。閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為： （4-3）即 （4-4）在復(fù)平面中，的軌跡相當(dāng)于線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時(shí)復(fù)平面上點(diǎn)。因此，在復(fù)平面上同時(shí)繪出的奈奎斯特曲線與的曲線，根據(jù)其相對(duì)位置判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中的曲線被稱為非線性特性的負(fù)倒描述曲線。其穩(wěn)定性判據(jù)如下：1. 若線性部分的軌跡不包圍的軌跡，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如圖4-6。圖4-6 系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的復(fù)平面作圖2. 若線性部分的軌跡包圍的軌跡，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如圖4

31、-7。圖4-7 系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)的復(fù)平面作圖3. 若線性部分的軌跡與的軌跡相交，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。如圖4-8。圖4-8 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的復(fù)平面作圖4.3 針對(duì)Buck變換器的兩種分析方法結(jié)果對(duì)比通過(guò)不斷更該參數(shù)并進(jìn)行仿真，最終確定了三組參數(shù)，對(duì)利用這三組參數(shù)設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)分別進(jìn)行傳統(tǒng)的線性穩(wěn)定性分析和利用描述函數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定性分析的時(shí)候，可以得到如表4-1的結(jié)果。表 4-1 不同參數(shù)下得到的不同結(jié)果傳統(tǒng)線性分析描述函數(shù)法第一組參數(shù)穩(wěn)定穩(wěn)定第二組參數(shù)穩(wěn)定不穩(wěn)定第三組參數(shù)穩(wěn)定臨界穩(wěn)定4.3.1 第一組參數(shù)及所得結(jié)果在Buck閉環(huán)電路中，為PI控制器的傳遞函數(shù)、PWM比較器的傳遞函數(shù)、主電路的傳遞函

32、數(shù)三項(xiàng)的乘積，即式（2-28）。利用第一組參數(shù)，繪制其奈奎斯特圖為：圖4-9 閉環(huán)系統(tǒng)的奈奎斯特圖由于的軌跡不包圍點(diǎn)，如圖4-9，由此判斷該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對(duì)于結(jié)構(gòu)框圖4-5，前文已經(jīng)推導(dǎo)出了基本Buck電路的描述函數(shù)，即式（3-39），其中m最大值取500，；而的值為圖2-6中主電路傳遞函數(shù)、PI控制器傳遞函數(shù)兩項(xiàng)的乘積，即： （4-5）根據(jù)第一組參數(shù)，且 m最大值取500，在復(fù)平面上繪制和的軌跡，其軌跡如圖4-10（a），放大后如圖（b）。 （a） 與軌跡 （b）放大后的軌跡圖4-10 第一組設(shè)參數(shù)在復(fù)平面繪圖從圖中可以看出，由于其描述函數(shù)不包含虛部，所以其軌跡在實(shí)軸上，而線性部分的奈奎斯特

33、曲線并沒(méi)有包圍非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)的軌跡，兩者也并無(wú)交點(diǎn)，由此可以利用穩(wěn)定性判據(jù)判斷系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因此，在此參數(shù)條件下，傳統(tǒng)線性分析方法與描述函數(shù)法得出了相同的結(jié)論。其仿真波形如圖2-7。4.3.2 第二組參數(shù)及所得結(jié)果表中第二組參數(shù)為， ，m最大值取500，。進(jìn)而得到其閉環(huán)系統(tǒng)的奈奎斯特圖，如圖4-11。 （a） 奈奎斯特圖 （b）放大圖圖4-11 使用第二組參數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)的奈奎斯特圖由于，從圖中可以看出，而奈奎斯特曲線并沒(méi)有包圍點(diǎn)，由此判斷此閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。然后利用描述函數(shù)法分析此閉環(huán)系統(tǒng)，同時(shí)繪制其非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)曲線和線性部分的奈奎斯特曲線，如圖4-12。 (a)第一組參

34、數(shù)所繪制的曲線 (b)第一組參數(shù)繪制曲線的放大圖圖4-12 第一組參數(shù)所繪制的曲線及其放大圖從圖中可以看出，非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)即的曲線位于實(shí)軸上，大約在-0.45-0.65之間，并且被線性部分的奈奎斯特曲線所包圍，根據(jù)描述函數(shù)法穩(wěn)定性判據(jù)，此閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。圖4-13 第二組參數(shù)的仿真波形利用第一組參數(shù)進(jìn)行PSIM仿真，所得到的電壓及電流波形如圖4-13所示。從圖中可以看出，此時(shí)系統(tǒng)超調(diào)很大，并且紋波遠(yuǎn)大于設(shè)計(jì)值，所以系統(tǒng)并不穩(wěn)定，所得結(jié)果與傳統(tǒng)線性分析結(jié)果相反，與描述函數(shù)法分析相同。由此可以看出，傳統(tǒng)的線性分析方法具有一定得局限性，在實(shí)際應(yīng)用中可能會(huì)無(wú)法分析出正確的結(jié)果，而非線性分

35、析方法如描述函數(shù)法可以更加準(zhǔn)確的得到正確的結(jié)論。4.3.3 第三組參數(shù)及所得結(jié)果表中第三組參數(shù)為，m最大值取500，。進(jìn)而得到第三組參數(shù)的奈奎斯特圖，如圖4-14。圖4-14 使用第三組參數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)的奈奎斯特圖從圖中可以看出，由于，而奈奎斯特曲線并沒(méi)有包圍點(diǎn)，由此判斷此閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。然后利用描述函數(shù)法分析此閉環(huán)系統(tǒng)，同時(shí)繪制其非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)曲線和線性部分的奈奎斯特曲線，如圖4-15。 (a) 第三組參數(shù)所繪制的曲線 (b) 第三組參數(shù)繪制曲線的放大圖圖4-15 第三組參數(shù)所繪制的曲線及其放大圖圖4-16 第三組參數(shù)仿真波形從圖中可以看出，非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)即的曲線位于實(shí)軸

36、上，大約在-0.45-0.65之間，并且與線性部分的奈奎斯特曲線在點(diǎn)附近相交，根據(jù)描述函數(shù)法穩(wěn)定性判據(jù)，此閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，仿真波形如圖4-16。此時(shí)系統(tǒng)超調(diào)很大，對(duì)器件耐壓、耐流特性要求較高。4.4 本章小結(jié)通過(guò)對(duì)比傳統(tǒng)線性分析方法與使用描述函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的非線性分析方法，可以看到，在復(fù)平面中，軌跡的存在代替了傳統(tǒng)線性穩(wěn)定性分析時(shí)復(fù)平面上的點(diǎn)，在使用描述函數(shù)法穩(wěn)定性判據(jù)的時(shí)候，與奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)類(lèi)似，分為包圍、不包圍和相交三種情況。并且通過(guò)仿真，得出了相同的結(jié)論，即本文所設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)無(wú)論通過(guò)傳統(tǒng)線性分析方法還是描述函數(shù)法來(lái)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷，都是穩(wěn)定的。而通過(guò)后兩組參數(shù)的對(duì)比，我

37、們可以看出，在使用描述函數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)時(shí)，不僅有與傳統(tǒng)線性分析方法得出相同結(jié)論的情況，還有得出不同結(jié)論的情況存在，并且可以解釋一些傳統(tǒng)線性分析方法無(wú)法解釋的現(xiàn)象。第5章 工作總結(jié)及展望非線性穩(wěn)定性分析理論正在快速發(fā)展，但是由于在實(shí)際中應(yīng)用較少，所以還需要更深入的研究。本課題中以Buck變換器為例，從繪圖方法、穩(wěn)定性判據(jù)和實(shí)際仿真波形著手，對(duì)比了傳統(tǒng)線性分析方法和以描述函數(shù)法為例的非線性分析方法。本課題到目前為止，已完成以下工作：（1）為Buck變換器主電路建模，并按照輸出電壓紋波和輸出電流紋波條件進(jìn)行主電路參數(shù)計(jì)算，進(jìn)而通過(guò)仿真驗(yàn)證，以及閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)設(shè)計(jì)。（2）學(xué)習(xí)描述函數(shù)法的基本理論，通

38、過(guò)分析常見(jiàn)的描述函數(shù)，計(jì)算得到Buck閉環(huán)系統(tǒng)中非線性部分的描述函數(shù)。（3）對(duì)同一非線性系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下進(jìn)行傳統(tǒng)線性分析和描述函數(shù)法分析，分別對(duì)比得到的結(jié)果，并仿真驗(yàn)證。通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的線性穩(wěn)定性判據(jù)和描述函數(shù)法穩(wěn)定性判據(jù)有很多相似之處，均可以通過(guò)繪制奈奎斯特曲線來(lái)判斷，不同的是傳統(tǒng)的分析方法講非線性部分近似線性化，然后通過(guò)傳遞函數(shù)繪制整個(gè)系統(tǒng)的奈奎斯特曲線，通過(guò)其與點(diǎn)的位置關(guān)系來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，而描述函數(shù)法則將系統(tǒng)分為線性和非線性兩部分，同時(shí)繪制其線性部分的奈奎斯特曲線和非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)，即，通過(guò)其位置關(guān)系來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。在第四章的對(duì)比中還發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的線性分析方法無(wú)法解釋仿

39、真中一些接近臨界穩(wěn)定時(shí)出現(xiàn)的現(xiàn)象，原因?yàn)槠湓诮凭€性化過(guò)程中忽略了一些應(yīng)該考慮的因素，而描述函數(shù)法可以很好地判斷其穩(wěn)定性。由于時(shí)間有限，該課題沒(méi)有進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，所以不能輕言結(jié)論的準(zhǔn)確性，因此在今后的學(xué)習(xí)工作中，希望自己還有機(jī)會(huì)和時(shí)間對(duì)本課題進(jìn)行更加深入的研究，即PCB的繪制及調(diào)試，在本文已確定的參數(shù)下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。致謝大學(xué)生活接近尾聲，在此我想對(duì)我的母校，父母，老師和親愛(ài)的同學(xué)們表達(dá)最真摯的謝意，感謝父母對(duì)我的默默支持，感謝老師的辛勤培育，感謝同學(xué)的相互扶持，因?yàn)橛心銈?，我的大學(xué)生活才會(huì)這么豐富多彩，獲益良多。本論文的完成離不開(kāi)李虹老師和王詩(shī)姮師姐的悉心指導(dǎo)，在此向他們表達(dá)衷心的感謝，從開(kāi)始做

40、畢設(shè)到結(jié)束，我學(xué)到了很多知識(shí)，由于自己基礎(chǔ)較差，每次遇到自己不懂的問(wèn)題，他們都會(huì)耐心給我解答，不僅教會(huì)我如何解決問(wèn)題，還教導(dǎo)我如何思考解決問(wèn)題的方法，特別是在描述函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程中，王詩(shī)姮師姐能夠繁忙的學(xué)習(xí)中抽出時(shí)間給我以指導(dǎo)，他們不辭辛勞的行為更加激勵(lì)我認(rèn)真學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)知識(shí)，做好畢設(shè)，向著更加廣闊的領(lǐng)域前進(jìn)，再次向他們表示感謝！希望王詩(shī)姮師姐能夠在今后的學(xué)習(xí)和工作中能夠更上一層樓，李老師事業(yè)一帆風(fēng)順，蒸蒸日上！參考文獻(xiàn)1 閆媛媛. 非線性控制策略DC-DC電力電子變換器中的應(yīng)用D. 山東: 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文, 2007.2 尹奕光, 于盛林, 虞江心. 電力電子電路中非線性現(xiàn)象研究的發(fā)展綜述J

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