專題06：三角形求角度模型之三角形內(nèi)外角平分線交角-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學解題方法系統(tǒng)訓練（全國通用）

1、專題06:第2章三角形求角度模型之三角形內(nèi)外角平分線交角學校:_姓名：_班級：_考號：_一、填空題1如圖，在中，如果與的平分線交于點，那么_ 度2如圖，在中，平分，平分，則_.3（2018育才單元考） 如圖，在abc中，和的角平分線交于點，得，和的角平分線交于點，得，和的角平分線交于點，得（1）若，則_，_，_（2）若，則_4如圖，在abc中，a=60°，bd、cd分別平分abc、acb，m、n、q分別在db、dc、bc的延長線上，be、ce分別平分mbc、bcn，bf、cf分別平分ebc、ecq，則f=_二、解答題5在abc中，若存在一個內(nèi)角角度是另外一個內(nèi)角角度的n倍（n為大于1

2、的正整數(shù)），則稱abc為n倍角三角形例如，在abc中，a80°，b75°，c25°，可知b3c，所以abc為3倍角三角形（1）在abc中，a80°，b60°，則abc為 倍角三角形；（2）若銳角三角形mnp是3倍角三角形，且最小內(nèi)角為，請直接寫出的取值范圍為 （3）如圖，直線mn與直線pq垂直相交于點o，點a在射線op上運動（點a不與點o重合），點b在射線om上運動（點b不與點o重合）延長ba至g，已知bao、oag的角平分線與boq的角平分線所在的直線分別相交于e、f，若aef為4倍角三角形，求abo的度數(shù)6在abc中，已知a（1）如圖1，a

3、bc、acb的平分線相交于點d求bdc的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示）；（2）如圖2，若abc的平分線與ace的平分線交于點f，求bfc的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，將fbc以直線bc為對稱軸翻折得到gbc，gbc的平分線與gcb的平分線交于點m（如圖3），求bmc的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）7如圖1，abc的外角平分線交于點f（1）若a40°，則f的度數(shù)為 ；（2）如圖2，過點f作直線mnbc，交ab，ac延長線于點m，n，若設(shè)mfb，nfc，則a與+的數(shù)量關(guān)系是 ；（3）在（2）的條件下，將直線mn繞點f轉(zhuǎn)動如圖3，當直線mn與線段bc沒有交點時，試探索a與，之間的

4、數(shù)量關(guān)系，并說明理由；當直線mn與線段bc有交點時，試問中a與，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請給出三者之間的數(shù)量關(guān)系8（1） 如圖1所示，bd，cd分別是abc的內(nèi)角abc，acb的平分線，試說明：d=90°+a（2）探究，請直接寫出下列兩種情況的結(jié)果，并任選一種情況說明理由：如圖2所示，bd，cd分別是abc兩個外角ebc和fcb的平分線，試探究a與d之間的等量關(guān)系；如圖3所示，bd，cd分別是abc一個內(nèi)角abc和一個外角ace的平分線，試探究a與d之間的等量關(guān)系9如圖，在abc中，abc與acb的平分線相交于點p（1）如果a80°，求bp

5、c的度數(shù)；（2）如圖，作abc外角mbc、ncb的平分線交于點q，試探索q、a之間的數(shù)量關(guān)系（3）如圖，延長線段bp、qc交于點e，bqe中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，請直接寫出a的度數(shù)10（問題背景）（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明a+b=c+d；（簡單應(yīng)用）（2）如圖2， ap、cp分別平分bad bcd，若abc=46°，adc=26°，求p的度數(shù)；（問題探究）（3）如圖3，直線ap平分bad的外角fad，cp平分bcd的外角bce，若abc=36°，adc=16°，請猜想p的度數(shù)，并說明理由（拓展延伸）（4） 在圖4中，若

6、設(shè)c=，b=，cap=cab，cdp=cdb，試問p與c、b之間的數(shù)量關(guān)系為： （用、表示p）； 在圖5中，ap平分bad，cp平分bcd的外角bce， 猜想p與b、d的關(guān)系，直接寫出結(jié)論 參考答案1125【解析】【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，進而可求的度數(shù)，最后再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出答案【詳解】 ， bd平分，cd平分 ，故答案為：125【點評】本題主要考查與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題，掌握角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵2【解析】【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解.【詳解】解：平分，平分，.【點評】本題考查了角平分線的

7、性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.340° 20° 10° 【解析】【分析】（1）利用角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)，易證a1=a，進而可求a1，同理易證a2=a1，a3=a2，進而可求a2和a3；（2）利用角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)，易證a1=a，進而可求a1，同理易證a2=a1，a3=a2，以此類推可知a2015即可求得【詳解】解：（1）a=acdabc，a1=a1cda1bc和的角平分線交于點，a1cd=acd，a1bc=abca1=a1cda1bc=acdabc=（acdabc）=a=40°同理可證：a2=a1=2

8、0°，a3=a2=10°故答案為：40°；20°；10°（2）a=acdabc，a1=a1cda1bc和的角平分線交于點，a1cd=acd，a1bc=abca1=a1cda1bc=acdabc=（acdabc）=a=°同理可證：a2=a1=°，a3=a2=°a2015=°故答案為：°【點評】本題考查了角平分線定義和三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推導出a1=a，并依此找出規(guī)律415°【解析】【分析】先由bd、cd分別平分abc、acb得到dbc=abc，dcb=acb，在abc中根據(jù)三角形

9、內(nèi)角和定理得dbc+dcb=（abc+acb）=（180°-a）=60°，則根據(jù)平角定理得到mbc+ncb=300°；再由be、ce分別平分mbc、bcn得5+6=mbc，1=ncb，兩式相加得到5+6+1=（ncb+ncb）=150°，在bce中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出e=30°；再由bf、cf分別平分ebc、ecq得到5=6，2=3+4，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到3+4=5+f，2+3+4=5+6+e，利用等量代換得到2=5+f，22=25+e，再進行等量代換可得到f=e【詳解】解：bd、cd分別平分abc、acb，a=60°，

10、dbc=abc，dcb=acb，dbc+dcb=（abc+acb）=（180°-a）=×（180°-60°）=60°，mbc+ncb=360°-60°=300°，be、ce分別平分mbc、bcn，5+6=mbc，1=ncb，5+6+1=（ncb+ncb）=150°，e=180°-（5+6+1）=180°-150°=30°，bf、cf分別平分ebc、ecq，5=6，2=3+4，3+4=5+f，2+3+4=5+6+e，即2=5+f，22=25+e，2f=e，f=e=&#

11、215;30°=15°故答案為：15°【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°也考查了三角形外角性質(zhì)5（1）2；（2）22.5°30°；（3）45°或36°【解析】【分析】（1）由a80°，b60°，可求c的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角之間的倍數(shù)關(guān)系，得出答案，（2）def是3倍角三角形，必定有一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個角之間的關(guān)系，分情況進行解答，（3）首先證明eaf90°，分兩種情形分別求出即可【詳解】解：（1）a80°，b60°，c180&

12、#176;ab40°，a2c，abc為2倍角三角形，故答案為：2；（2）最小內(nèi)角為，3倍角為3，由題意可得：390°，且180°490°，最小內(nèi)角的取值范圍是22.5°30°故答案為22.5°30°（3）ae平分bao，af平分aog，eabeao，oaffag，eafeao+oaf（bao+oag）90°，eaf是4倍角三角形，e×90°或×90°，ae平分bao，oe平分boq，eabo，abo2e，abo45°或36°【點評】本題考查了三角

13、形的內(nèi)角和定理，余角的意義，不等式組的解法和應(yīng)用等知識，讀懂新定義n倍角三角形的意義和分類討論是解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵6（1）bdc90°+；（2）bfc；（3）bmc90°+【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和可求abc+acb180°，由角平分線的性質(zhì)可求dbc+bcd（abc+acb）90°，由三角形的內(nèi)角和定理可求解；（2）由角平分線的性質(zhì)可得fbcabc，fceace，由三角形的外角性質(zhì)可求解；（3）由折疊的性質(zhì)可得gbfc，方法同（1）可求bmc90°+，即可求解.【詳解】解：（1）a，abc+acb180°，bd平分abc，c

14、d平分acb，dbcabc，bcdacb， dbc+bcd（abc+acb）90°，bdc180°（dbc+bcd）90°+；（2）abc的平分線與ace的平分線交于點f，fbcabc，fceace，acea+abc，fcebfc+fbc，bfca；（3）gbc的平分線與gcb的平分線交于點m，方法同（1）可得bmc90°+， 將fbc以直線bc為對稱軸翻折得到gbc，gbfc，bmc90°+.【點評】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，角平分線的性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì).7（1）70°（2） （3）見解

15、析 不成立；或【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到f的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到bfc的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到a與+的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論bfc90°a，以及平角的定義，即可得到a與，之間的數(shù)量關(guān)系；分兩種情況進行討論，根據(jù)（2）中的結(jié)論bfc90°a，以及平角的定義，即可得到a與，之間的數(shù)量關(guān)系【詳解】解：（1）如圖1，a40°，abc+acb140°，dbc+ecb360°140°220°，又abc的外角平分線交于點f，fbc+

16、fcb（dbc+ecb）×220°110°，bcf中，f180°110°70°，故答案為：70°；（2）如圖2，abc+acb180°a，dbc+ecb360°（180°a）180°+a，又abc的外角平分線交于點f，fbc+fcb（dbc+ecb）×（180°+a）90°+a ，bcf中，bfc180°（90°+a ）90°a，又mfb，nfc，mnbc，fbc，fcb，bcf中，fbc+fcb+bfc180°，+

17、90°a180°，即+a90°，故答案為：+a90°；（3）+a90°，理由如下：如圖3，由（2）可得，bfc90°a，mfb+nfc+bfc180°，+90°a180°，即+a90°，當直線mn與線段bc有交點時，中a與，之間的數(shù)量關(guān)系不成立分兩種情況：如圖4，當m在線段ab上，n在ac延長線上時，由（2）可得，bfc90°a，bfcmfb+nfc180°，90°a+180°，即a90°；如圖5，當m在ab的延長線上，n在線段ac上時，由（2）

18、可得，bfc90°a，bfcnfc+mfb180°，90°a+180°，即a90°；綜上所述，a與，之間的數(shù)量關(guān)系為a90°或a90°【點評】此題主要考查三角形的角度求解與證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況作圖8（1）證明見解析；（2）a=180°2d，理由見解析；a=2d，理由見解析【解析】【分析】（1）首先利用角平分線性質(zhì)得出dbc=abc，dcb=acb，再利用三角形內(nèi)角和定理得出a+abc+acb=180°以及dbc+dcb+d=180°，據(jù)此進一步加以變形求證即可；（2）首先理由角平分線

19、性質(zhì)得出ebc=2dbc，fcb=2dcb，然后再利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)進一步整理得出a2(dbc+dcb)=-180°，據(jù)此進一步加以分析證明即可；利用三角形外角性質(zhì)可知dce=dbc+d，然后再利用角平分線性質(zhì)得出2dbc=abc，2dce=ace，最后再結(jié)合a+abc=ace進一步證明即可.【詳解】（1）bd，cd分別是abc，acb的平分線，dbc=abc，dcb=acb，a+abc+acb=180°，abc+acb=180°a，又dbc+dcb+d=180°，d=180°(dbc+dcb)=180°(abc+acb)=180&

20、#176;(180°a)=180°90°+a=90°+a，即：d=90°+a；（2）a=180°2d，理由如下：bd，cd分別是ebc和fcb的平分線，ebc=2dbc，fcb=2dcb，a+abc+acb=180°，abc=180°(a+acb)=180°2dbc，acb=180°(a+abc)=180°2dcb，a+180°2dbc+180°2dcb=180°，a2(dbc+dcb)=180°，又dbc+dcb+d=180°，dbc

21、+dcb=180°d，a2(dbc+dcb)=a2(180°d)=180°，即：a360°+2d=180°，2d=180°a，即：a=180°2d；a=2d，理由如下：dce是abc的一個外角，dce=dbc+d，bd，cd分別是abc和ace的平分線，2dbc=abc，2dce=ace，a+abc=ace，a+2dbc=2dce，a+2dbc=2dbc+2d，a=2d.【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理與三角形外角性質(zhì)及角平分線性質(zhì)的綜合運用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.9（1）130°；（2）；（3）60&

22、#176;或120°或45°或135°【解析】【分析】（1）運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出abc+acb，進而求出bpc即可解決問題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出mbc與bcn，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得cbq+bcq，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在bqe中，由于q90°a，求出ea，ebq90°，所以如果bqe中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，那么分四種情況進行討論：ebq3e90°；ebq3q90°；q3e；e3q；分別列出方程，求解即可【詳解】（1）解：a80°abc

23、+acb100°，點p是abc和acb的平分線的交點，p180°（abc+acb）180°×100°130°，（2）外角mbc，ncb的角平分線交于點q，qbc+qcb（mbc+ncb）（360°abcacb）（180°+a）90°+aq180°（90°+a）90°a；（3）延長bc至f，cq為abc的外角ncb的角平分線，ce是abc的外角acf的平分線，acf2ecf，be平分abc，abc2ebc，ecfebc+e，2ecf2ebc+2e，即acfabc+2e，又acf

24、abc+a，a2e，即ea；ebqebc+cbqabc+mbc（abc+a+acb）90°如果bqe中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，那么分四種情況：ebq3e90°，則e30°，a2e60°；ebq3q90°，則q30°，e60°，a2e120°；q3e，則e22.5°，解得a45°；e3q，則e67.5°，解得a135°綜上所述，a的度數(shù)是60°或120°或45°或135°【點評】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識；靈活運用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進行分類討論是解題的關(guān)鍵10（1）見解析；（2）36°；（3）26°，理由見解析；（4）p=p=【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）直接利用（1）中的結(jié)論兩次，兩式相加，然后根據(jù)角平分線的