2020年高考數(shù)學(xué)(文)重難點(diǎn)專練01數(shù)列(解析版)

1、重難點(diǎn)01數(shù)列【高考考試趨勢】高考中考查數(shù)列難度不大， 知識點(diǎn)考查比較簡單， 也是高考中務(wù)必拿分題目， 對于大部分人 來說，數(shù)列這一知識點(diǎn)是不容失分的 .本重點(diǎn)專題是通過對高考中常見高考題型對應(yīng)知識點(diǎn) 的研究而總結(jié)出來的一些題目，通過本專題的學(xué)習(xí)補(bǔ)充鞏固，讓你對高考中數(shù)列題目更加熟練，做高考數(shù)列題目更加得心應(yīng)手.【高考常見題型分類總結(jié)】通項(xiàng)公式的求法an = pan-1 + q的形式，主要是利用(an+m)=p(an-1+m)的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化對于an = pa 1 + pn+1 ,主要采用 鼻-41 = m的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算 n-P P一一11對于an-an-百pa nan-1 一般米用轉(zhuǎn)化成

2、一-二p的形式進(jìn)仃轉(zhuǎn)化運(yùn)算 an an-1對于求和問題一1, , , 一 E 一111 ，一裂項(xiàng)求和形如 an =的形式一般米用裂項(xiàng)an = - ()的形(2n-1)(2n + 1)2 2n-1 2n+11式，注意前面的 (2019全國高考模擬(文)在等差數(shù)列此系數(shù)，是由2n-1與2n + 1系數(shù)只差確定. 2錯(cuò)位相減求和問題，本專題題目中有出現(xiàn).分組求和問題，分為兩種，一種是絕對值分組求和問題， 另外一種是兩種不同數(shù)列的分 組求和問題.【常見題型限時(shí)檢測】(建議用時(shí)：35分鐘)-、單選題1an 中，a a5 a7 a9 a13 100,a6 a2 12 ,則 a1（）A. 1B. 2C. 3

3、D. 4【答案】B【解析】【分析】先由題意求出a7 20 ,設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d ,求出公差，進(jìn)而可求出結(jié)果【詳解】因?yàn)?a a§ a7 a§ a13100,所以 5a7 100,即 a720,設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d ,又 a6 a? 12,所以 4d 12,故 d 3,所以 a1 a7 6d 20 18 2故選B.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的計(jì)算，熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.（2019廣東佛山實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考（理）已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和，若04s4,則a4B. 3D. 4【分析】1利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，

4、代入 S 4s4即可求出a1 ,再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式 2就能算出a4.【詳解】 an是公差為1的等差數(shù)列，S8 4s4,- 8al4a1117斛信a1,則a431,故選C.222【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題3. （2019河南高三月考（文）設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公差為-1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S1, S2, S4成等比數(shù)列，則a1=（）A. 2B. -2C. 1D.-22【答案】D【解析】【分析】2把已知S2 = SS4用數(shù)列的首項(xiàng)a1和公差d表不出來后就可解得 a1.,【詳解】22.1因?yàn)?Si,S2,S4成等比數(shù)列，所以S2=S1S4,即

5、（2a11）a1（4a16）,a1-.故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，解題方法是基本量法.本題屬于基礎(chǔ)題.4.（2018河南高考模擬（文）已知an為等差數(shù)列，aia3a§105aa4a699,以Sn表示an的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是（）A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】B【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d ,則由已知 為a3 a5 105,a2 a4 a699,得：a1392d/，解得：，3al 6d 105i d 23al 9d 99an 41 2n , 1由 an 41 2n 0,得：n 20-, 2當(dāng) 1 n

6、 20時(shí)，an 0,當(dāng) n 21 時(shí)，an 0,故當(dāng)n 20時(shí)，Sn達(dá)到最大值故選B.考點(diǎn)：等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，及等差數(shù)列前n項(xiàng)和取最值的條件及求法，如果從等數(shù)列的前 n項(xiàng)和公的角度，由二次函數(shù)求最值時(shí)，對于 n等于21還 是20時(shí)，取得最大值，學(xué)生是最容易出錯(cuò)的.255. （2019湖南高考模擬（文）等差數(shù)列an中，ai 2019, 22019 a2oi5 16,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)n的值為（）A. 504B. 505C. 506D. 507【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知求得數(shù)列an的公差d 4,再利用等差數(shù)列正負(fù)交界法求

7、數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)n的值.【詳解】,數(shù)列an為等差數(shù)列，a2019 a2015 16,，,數(shù)列an的公差d 4,2023'-'an a1n 1 d 2023 4n,令 an 0,得 n .Sn取最大值時(shí)n的值為505.故選：B【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的計(jì)算和等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力、填空題6. （2019廣東高考模擬（文）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足n 1a1 2a22 an n ,貝U S5 .【分析】n 1由題息可得數(shù)列的首項(xiàng)為 a1 1 ,在a1 2a2

8、2 an n中將n換為n 1 ,兩萬程相減可得數(shù)列 an的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得所求和.【詳解】 n 1 解：ai 2a2 L 2 an n ,可得n 1時(shí)，a1 1 , n 2 _n 2 時(shí)，a1 2a22 an 1 n 1 ,n 1又 a1 2a22 an n ,兩式相減可得2n 1an 1 ,即an上式對n 1也成立,一3 .1 可得數(shù)列 an是首項(xiàng)為1,公比為一的等比數(shù)列,21-501-23116731故答案為：31 .16【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了賦值法及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力及分析能力，屬于中檔題.11*an7. （2017安徽淮北一中高考模擬（文）若

9、數(shù)列an滿足 d （n N , d為，、，1、 J,常數(shù)），則稱數(shù)列an為調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列一為調(diào)和數(shù)列，且 bnn b2 L b9 90,則b4b6的最大值是.【答案】100【解析】因?yàn)閿?shù)列5是調(diào)和數(shù)列"，所以bn 1bnd ,即數(shù)列bn是等差數(shù)列，所以blb2Lb99(b4b6)90 ,b4b620,所以b4b62027bb6,b4b6 100,當(dāng)且僅當(dāng)b4 b6時(shí)等號成立，因此b4b6的最大值為100.調(diào)和數(shù)列”的定【名師點(diǎn)睛】：本題考查創(chuàng)新意識，關(guān)鍵是對新定義的理解與轉(zhuǎn)化，由，1、 一 ，、義及已知b-是調(diào)和數(shù)列，得數(shù)列bn是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的性質(zhì)可化簡已知數(shù)

10、列的和，結(jié)合基本不等式求得最值.本題難度不大，但考查的知識較多，要熟練掌握各方面的知識與方法，才能正確求解.8. (2019廣東高考模擬(文)已知數(shù)列an滿足nnn*2 ( 1)n a 2 ( 1)n 斗 1 1 ( 1)n 3n n N ,則 a25 4 .【答案】300【解析】【分析】由2 (1) nan+2+ (1) nan+1 = 1+ ( 1) nx 九 當(dāng) n = 2k (k：N*),可得：a2k+3a2k+1 =1+6k, n= 2k- 1 (k,-N ),可得：3a2k 1+a2k= 1 - 6k+3,于是 a2k+1 - a2k 1 = 4k- 1,利 用累加求和”方法與等差

11、數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式即可得出.【詳解】2 ( 1) nan+2+ ( 1) nan+i=1+ (1) nx,. n = 2k (k-N*),可得：a2k 3a2kl 1 6kn=2k 1 (k'''N ),可信： a2k 3a2k 11 6k 3.，a2k 1 a2k 1 4k 1, a25a25 a23a23 a21 La3 a1al/、,、,、12 12 1=(4X12-1) +(4X11-1) + + (4X1- 1)+ a14 12+ a1 =300+ a1.則 a25 a1300,故答案為300.【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、票加求和”方法、等差數(shù)列的

12、前 n項(xiàng)和公式,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題9. (2019山東高考模擬(文)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,且滿足Sn 2an n .(1)求證an 1為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1)見解析(2) 2n 2 n一5n 42【解析】試題分析：(1)由 Sn 2an n 可得 Sn 12al 11 , n 2 ,兩式相減后整理得23an2an 11 ,所以an1 2an 11 ,由ai1 2 ,從而可得數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)歹U.2）由（1）可得到an 2n 1 ,故Sn2 1 2n1 22 ,再用分組求和法可得數(shù)列

13、Sn的前n項(xiàng)和Tn .試題解析:(1)證明：當(dāng) n 1 時(shí)，S1 a1 2al 1,解得a1 1.因?yàn)?Sn 2an n -所以 Sn 12an 1 n 1 , n 2?.-#：an 2an 2 an 11 ,整理得an 2an 1 1 ,所以 an 1 2an 1 2 2 an 1 1 ,an 1即 2 n 2 ,an 11又 ai 1 2 ,所以數(shù)列an 1是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.,n c n n 1 c"(2)由(1)知 an 1 2 22 ,所以an2n 1所以Sn222nn2 1 2n 1 2所以TnSiS2S3Sn2223242n2n2n 25n一 4 .10

14、. (2019甘肅高三月考（文）已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai2,且ai 1包1包1成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn1,nanan 1* _ .N ,Sn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使Sn成立的最大的正整數(shù)19'1) an 3n1,(丁)n 11.試題分析:1)設(shè)數(shù)列an的公差為1,a21,a41成等比數(shù)列，得3d ,解得3.從而求得an3n(2)由(1)bnanan 113n 113n13n 13n 22 3n 23,解得n 12.19故最大的正整數(shù)n 11.試題解析：（.）設(shè)數(shù)列an的公差為d ,則an2由 a11-2 1,a41成等比數(shù)列，得 a2 12

15、a1a43d，得d 0 （舍去）或d3.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an 3nanan 13n 1 3n 213n 113n 2所以111111Sn32535813n 23n 2n2 3n 212.11.3所以使Sn 一成立的取大的正整數(shù) n1911. （2019四川高考模擬（文）已知等差數(shù)列an的公差大于0a2, a6 2a1,a14分別是等比數(shù)列bn的前三項(xiàng).1求數(shù)列 4的通項(xiàng)公式;2記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn ,若Sn 39 ,求n的取值范圍.【答案】（1） an 2n 1 （2） n 3(I)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d ,根據(jù)題設(shè)條件列出方程組，求得ai,d ,即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；(II)由

16、(I),求得等比數(shù)列bn的公比為3,首項(xiàng)為3,進(jìn)而利用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式，求得Sn ,即可求解Sn 39 ,得到答案.【詳解】解：(I)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d (d 0),由 a47 ,得 a1 3d 7 ,又.&, a6 2ai, ai4是等比數(shù)列 bn的前三項(xiàng)，2a6 2aia2a14 ,2即 5d a1a1 d a1 13d,化簡得 d 2a1，聯(lián)立©解得ai 1, d 2. an 1 2 n 1 2n 1.(ID -bia23, b2a62al9,b3州27是等比數(shù)列bn的前三項(xiàng),等比數(shù)列 bn的公比為3,首項(xiàng)為3.3 1 3n3 3n 1丁等比數(shù)列 bn

17、的前n項(xiàng)和$ .n 1 323 3n 1一由 Sn 39,得 3_2L 39，化簡得 3n 27,2解得 n 3, n N * .【名師點(diǎn)睛】在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，有兩個(gè)處理思路，一是利用基本量，根據(jù)通項(xiàng)公式和求和公式，列出方程組，雖有一定量的運(yùn)算，但思路簡潔，目標(biāo)明確；二是利用等差、等比數(shù) 列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，經(jīng)常采用巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.12. ( 2019四川雙流中學(xué)高考模擬(文)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)之和為Sn列0滿足bn1(2n 1

18、)log3 a2n132n 1(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列bn前n項(xiàng)之和Tn .2n 1【答案】(1) an 3n ；(2)2n【解析】【分析】(1)利用遞推關(guān)系，兩式作差即可得出;(2) bn2n 1 log 332n 132n利用 分組求和法”與裂項(xiàng)求和”方法即可得出.當(dāng)n= 1時(shí),a1 = S1 = 3,3n由 Sn 32”132 -an=Sn- Sn 1 = 3n（n 丁 2）又ai也符合,. an= 3n（n -.-N4）（2）bn 2n 1 log332n 132n 12n 112n 132n112 2n 1122 n 12n 1所以Tn12n12n3335 L32n

19、 111212n 19nn2n 132n 18【名師點(diǎn)睛】本題考查了分組求和法”、裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.13. ( 2019遼寧高考模擬(文)已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn ,且1 , an , Sn成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足anbn12nan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn .【答案】(1) an = 2n-1； (2)1n 22n 1(1)利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，然后求解通項(xiàng)公式.(2)化簡數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法求和即可.【詳解】(1)由已知1, an, Sn成等差

20、數(shù)列得2an 1 Sn二當(dāng) n 1 時(shí)，2al 1 § ,.同 1 ,cFomBg2當(dāng) n 2 時(shí)，aB 3m/s ;m)B2an 2an 1 an 即 an 2an因 a1 1 0 ,所以 an 0 ,anQ 2 ,an 1;數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,n 11 an 1 22,c1八1八(2)由 anbn12nan得 bn2n-72n ,an 2n n 1 an11.所以 Tnb1b2LbnLaa21n n 12 n-7n n 12n 1【名師點(diǎn)睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則

21、用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.a3 20, a2 a4 10.14.(2019安徽合肥一中高考模擬 (文)設(shè)等比數(shù)列 an滿足ai(1)令Tn a1a2a3L an,求Tn的最大值；(2)令bn log2an,求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn . 5 n【答案】(1) 1024； (2)Sn 96 n 3 2 .【解析】【分析】11(1)根據(jù)條件求出等比數(shù)列通項(xiàng)公式an,解不等式an1可得前4項(xiàng)都2n 5 ，2n 5大于1, a5 1,從而求得Tn的最大值；(2)利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列an

22、首項(xiàng)為a1，公比為q,ai16,所以為 aq2 20, aq aq3 10,解得： 1q 2，11所以an 2石，當(dāng)an 才1時(shí)，解得：n 5,所以 & a? a3 ada51 , 1 a6 a7 L ,所以Tn的最大值為T4 T5 16 8 4 2 1024.(2)由(1)知 bn log 2 an log21t 5 n ,則 an bn (5 n) (-)n 5,2n 5214131 n 5Sn 4 (-)3 (-)L (5 n)(-),222兩邊同時(shí)乘以1 /日得:212sn4 (2)31 23(2) L1 n 4(5 n) (5)'兩式相減得:114131 n 512Sn 4 (2)(2) L (2) (5 n) (2)4 16(2)31 (2)n1(5 n) (1)n 42564 161 (1)n1 (5 n) (白n 4221 n 448 (n 3)仁)2所以 Sn 96 n 3 25 n【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列前n項(xiàng)積達(dá)