北理工概率論田實(shí)用教案

1、定義定義(dngy) (dngy) 設(shè)設(shè)S為試驗(yàn)為試驗(yàn)(shyn)E的樣本空間，的樣本空間，A1,An為為E的一組事件。若的一組事件。若（1）A1,An互不相容互不相容(xin rn)，i=1,n （2）1niiAS則稱則稱 A1, An為樣本空間為樣本空間S的一個(gè)的一個(gè)劃分，劃分，也稱也稱A1, An 是是完備事件組完備事件組。第1頁(yè)/共32頁(yè)第一頁(yè)，共33頁(yè)。定理定理(dngl)(dngl)1()()(|)niiiPBPAPBA上式稱為上式稱為(chn wi)全概率公式全概率公式 設(shè)設(shè)S為試驗(yàn)為試驗(yàn)E的樣本空間，的樣本空間， B 為為E的事件，的事件，A1,An為為S的一個(gè)的一個(gè)(y )劃

2、分，且劃分，且P(Ai)0, i=1, n, 則則第2頁(yè)/共32頁(yè)第二頁(yè)，共33頁(yè)。證明證明(zhngm(zhngmng)ng)：11( )()() (|)nniiiiiP BP BAP A P B A1212() nnBBSB AAABABABA12nBABABA又， ，互不相容第3頁(yè)/共32頁(yè)第三頁(yè)，共33頁(yè)。全概率公式全概率公式(gngsh)可以做如下推廣可以做如下推廣: A1,An互不互不相容相容, 且且P(Ai)0, i=1, n, 1njjBA則有則有 1()()(|)niiiP BP A P B A第4頁(yè)/共32頁(yè)第四頁(yè)，共33頁(yè)。一個(gè)經(jīng)常使用一個(gè)經(jīng)常使用(shyng)的全概率公

3、式的全概率公式: 設(shè)設(shè)0P(A)0, i=1, n, P(B)0，則有，則有1() ( |)(|),() ( |) 1,2,jjjniiiP A P B AP ABP A P B Ajn第20頁(yè)/共32頁(yè)第二十頁(yè)，共33頁(yè)。1()() ( |)(|),( )() ( |) 1,2,jjjjniiiP A BP A P B AP ABP BP A P B Ajn證明證明(zhngmng)：由條件概率由條件概率(gil)的定義和全概率的定義和全概率(gil)公式，有公式，有第21頁(yè)/共32頁(yè)第二十一頁(yè)，共33頁(yè)。Byesian公式公式(gngsh)可以做如下推廣可以做如下推廣: A1,An互互不相

4、容不相容, 且且P(Ai)0, i=1, n, P(B)01njjBA則有則有 1()() (|)(|),( )() (|) 1,2,jjjjniiiP A BP A P B AP ABP BP A P B Ajn第22頁(yè)/共32頁(yè)第二十二頁(yè)，共33頁(yè)。一個(gè)經(jīng)常使用一個(gè)經(jīng)常使用(shyng)的全概率公式的全概率公式: 設(shè)設(shè)0P(A)0, 則有則有()(|)( )( ) (|) ( ) (|)() (|)P ABP A BP BP A P B AP A P B AP A P B A第23頁(yè)/共32頁(yè)第二十三頁(yè)，共33頁(yè)。 貝葉斯公式貝葉斯公式(gngsh)在實(shí)際中有很多在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以

5、幫助人們確定某結(jié)果（事件應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件 B）發(fā)生的最可能原因）發(fā)生的最可能原因. 第24頁(yè)/共32頁(yè)第二十四頁(yè)，共33頁(yè)。 在不了解案情細(xì)節(jié)(事件A)之前(zhqin)，偵破人員根據(jù)過(guò)去的前科，對(duì)他們作案的可能性有一個(gè)估計(jì)，設(shè)為原來(lái)認(rèn)為作案可能性較小的某甲，現(xiàn)在(xinzi)可能變成了重點(diǎn)嫌疑犯.例如，某地發(fā)生了一個(gè)(y )案件，懷疑對(duì)象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情細(xì)節(jié)后, 這個(gè)估計(jì)就有了變化.P(B1 | A)知道A發(fā)生后P(B2 | A)P(B3 | A)最大偏小第25頁(yè)/共32頁(yè)第二十五頁(yè)，共33頁(yè)。例例6. 對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果

6、表明，當(dāng)機(jī)器對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器(j q)調(diào)整得調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格品率為良好時(shí)，產(chǎn)品的合格品率為98%。當(dāng)機(jī)器。當(dāng)機(jī)器(j q)發(fā)生發(fā)生某種故障時(shí)，產(chǎn)品的合格品率為某種故障時(shí)，產(chǎn)品的合格品率為55%。根據(jù)以往經(jīng)。根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每天早上機(jī)器驗(yàn)，每天早上機(jī)器(j q)開(kāi)動(dòng)時(shí)，機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí)，機(jī)器(j q)調(diào)整良好調(diào)整良好的概率為的概率為95%。這一日早上生產(chǎn)了一件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)。這一日早上生產(chǎn)了一件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)是合格品，問(wèn)該日機(jī)器是合格品，問(wèn)該日機(jī)器(j q)調(diào)整良好的概率是多少？調(diào)整良好的概率是多少？解：記 A =生產(chǎn)(shngchn)了一件合格品B1=機(jī)器調(diào)整(tiozhng)良好, B

7、2=機(jī)器發(fā)生某種故障,)|()()|()()|()()()()|(22111111BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP第26頁(yè)/共32頁(yè)第二十六頁(yè)，共33頁(yè)。例例6. 對(duì)以往對(duì)以往(ywng)數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格品率為良好時(shí)，產(chǎn)品的合格品率為98%。當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障。當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí)，產(chǎn)品的合格品率為時(shí)，產(chǎn)品的合格品率為55%。根據(jù)以往。根據(jù)以往(ywng)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)驗(yàn)，每天早上機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為每天早上機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%。這。這一日早上生產(chǎn)了一件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)是合格品，問(wèn)該日機(jī)器一日早上生產(chǎn)

8、了一件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)是合格品，問(wèn)該日機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少？調(diào)整良好的概率是多少？)|()()|()()|()()()()|(22111111BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP97. 005. 055. 095. 098. 095. 098. 0第27頁(yè)/共32頁(yè)第二十七頁(yè)，共33頁(yè)。據(jù)調(diào)查某地區(qū)居民據(jù)調(diào)查某地區(qū)居民(jmn)患某種疾病的概率為患某種疾病的概率為0.0004，例例7.且有且有P(B1)=0.0004 , P(B2)=0.9996。現(xiàn)用一方法檢查該種疾?，F(xiàn)用一方法檢查該種疾病，若呈陰性，表明不患??；若呈陽(yáng)性，表明患病。由于病，若呈陰性，表明不患??；若呈陽(yáng)性，表明患病。由

9、于技術(shù)和操作不完善等原因技術(shù)和操作不完善等原因(yunyn)，有病者未必檢出陽(yáng)性，有病者未必檢出陽(yáng)性，無(wú)病者也有可能呈陽(yáng)性反應(yīng)。設(shè)事件無(wú)病者也有可能呈陽(yáng)性反應(yīng)。設(shè)事件A表示表示“一居民檢驗(yàn)出一居民檢驗(yàn)出陽(yáng)性陽(yáng)性”，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，已知有病者檢出陽(yáng)性的概率為，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，已知有病者檢出陽(yáng)性的概率為P(A|B1)=0.99，無(wú)病者錯(cuò)檢為陽(yáng)性的概率為，無(wú)病者錯(cuò)檢為陽(yáng)性的概率為P(A|B2)=0.05。現(xiàn)設(shè)某人已檢出陽(yáng)性，問(wèn)他患病的概率是多少？現(xiàn)設(shè)某人已檢出陽(yáng)性，問(wèn)他患病的概率是多少？(求求P(B1 |A)，12BB 記記“一居民一居民(jmn)患該種疾病患該種疾病”為事件為事件B1 , 并記并記 第28頁(yè)/

10、共32頁(yè)第二十八頁(yè)，共33頁(yè)。例例7 . P(B1)=0.0004 , P(B2)=0.9996。P (A|B1)=0.99，P(A|B2)=0.05。求求P(B1 |A)|()()|()()|()()()()|(22111111BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP00786. 09996. 005. 00004. 099. 00004. 099. 0第29頁(yè)/共32頁(yè)第二十九頁(yè)，共33頁(yè)。例 8 (吸煙與肺癌問(wèn)題) 1950年某地區(qū)曾對(duì)50-60歲的男性公民進(jìn)行調(diào)查. 肺癌病人中吸煙的比例(bl)是99.7, 無(wú)肺癌人中吸煙的比例(bl)是95.8. 如果整個(gè)人群的發(fā)病率是 p=1

11、0-4. 求吸煙人群中的肺癌發(fā)病率和不吸煙人群中的肺癌發(fā)病率.解: 設(shè) A=有肺癌, B=吸煙(x yn), 則 P(A)=10-4, P(B|A)=99.7%, 利用Bayesian公式得到:(|)95.8%P B A ( ) (|)( |)( ) (|)( ) (|)P A P B AP A BP A P B AP A P B A第30頁(yè)/共32頁(yè)第三十頁(yè)，共33頁(yè)。設(shè) A=有肺癌, B=吸煙(x yn), 則 P(A)=10-4, P(B|A)=99.7%, 利用Bayesian得到:(|)95.8%P B A 464410(1 0.997)7.1438 1010(1 0.997)(1 10 ) (1 0.958)( ) (|)( |)( ) (|)( ) (|)P A P B AP A BP A P B AP A P B A4( |)1.0407 10P A B結(jié)論是吸煙人群(rnqn)的肺癌發(fā)病率是不吸煙人群(rnqn)的肺癌發(fā)病率的14.57倍。6101348. 7)|(BAP第31頁(yè)/共32頁(yè)第三十一頁(yè)，共33頁(yè)。謝謝您的觀看(gunkn)！第32頁(yè)/共32頁(yè)第三十二頁(yè)，共33頁(yè)。NoImage內(nèi)容(