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文檔簡介
1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng) 中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合4 = xl 1 <x<3,B = xl2<x<4,則AU3 =A.12 < x < 3)C. jI 1 <x<42.= 1-2/A. 1B. 一1B. x2<x<3D. jI1<x<4C. /D. iA. 62%B. 56%C. 46%D. 42%3. 6名同學(xué)到中、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學(xué)只去一個場館,甲場館 安排1名,乙場館安排2名,丙場館安排3買
2、名,則不同的安排方法共有 A. 120 種B. 90 種C. 60 種D. 30 種4 .日曾是中國古代用來測量時間的儀器,利用與卷 面垂直的暮針投射到唇面的影子來測定時間。把地 球看成一個球(球心記為0),地球上一點(diǎn)A的維度 是指0A與地球赤道所在平面所成角,點(diǎn)A處的水平 面是指過點(diǎn)A且與0A垂直的平面,在點(diǎn)A處放置一個日唇,若晝面與赤道所在 平面平行,點(diǎn)A處的維度為北緯40;則唇針與點(diǎn)A處的水平面所成角為A. 20°B, 40°C. 50°D. 90°5 .某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué) 生喜歡足球,82%
3、的學(xué)生喜歡游泳,則該中學(xué)既喜歡足球乂喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該 校學(xué)生總數(shù)的比例是6 .基本再生數(shù)&與世代間隔了是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)?;驹偕鷶?shù)指 一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間。在新 冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:/") = /描述累計(jì)感染病例數(shù)/隨時間/ (單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率-與& , T近似滿足& = 1 + ”,有學(xué)者基 于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出&=3.28, 7 = 6.據(jù)此在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病 例數(shù)增加1倍需要的時間約為(In 2 2 0.69)A. 1. 2天B. 1. 8天C
4、. 2. 5天D. 3. 5天7 .已知產(chǎn)是邊長為2的正六邊形花廠內(nèi)的一點(diǎn),則Q 亞的取值范圍是A. (一2,6)B. (-6,2)C. (一2,4)D. (T,6)D.8 .若定義在R的奇函數(shù)/(x)在(-刃,0)單調(diào)遞減,且/=0,則滿足 VU-1) N朔X的取值范圍是C.- 二、選擇題:本小題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中, 有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3 分。9 .已知曲線C : mx +ny2 = 1,則()A.若>:>0,則。是橢圓,其焦點(diǎn)在y軸上B.若? = >0 ,則。是圓,其半徑為而C.若譏<
5、0,則。是雙曲線,其漸近線方程為y =D.若? = 0, >0,則。是兩條直線10 .右圖是函數(shù)y = sin3x + o)的部分圖 像,則 sin(3X + 9)=A. sin(x + )B. sin(-2x) C. cos(2x + )D. cos(-2.r)33661L 已知 a>0, b>0,且 a+b=l,則A. a2+b2>-B. 2a-b > 122C. log2 a + log2 b>-2D. a + fb < 212 .信息燧是信息論中的一個重要概念,設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的值為1, 2,. n,且 p(X=i)=Pi>0,(i=
6、12.n)£p,=l,定義*的信息燧(幻=一981082,,則1=11=1A.若 =1,則 ”(X)=0B.若 =2,則"(X)隨著化的增大而增大C.若Pi = -(i = 1,2,),則H(X)隨著Pi的增大而增大D.若n = 2m ,隨機(jī)變量丫所有可能的取值為i=l,2,相,且M Y=j)=j(j=l,2,.?),則")«(/)三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13 .斜率為3的直線過拋物線C.y2= 4x的焦點(diǎn),且與C交于A , 8兩點(diǎn),則IA81=14 .將數(shù)列2-1與3-1的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列對,則q的前項(xiàng)和為15 .某
7、中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的界面如圖所示,。為圓孔及輪廓圓弧A8所在圓的圓心,A是圓弧A8與直線8。的切點(diǎn),四邊形OEFG為矩形,BCL DG ,垂足為C, 3tan Z ODC = - , BHDG, EF = 12。, OE = 2。幾 A 至I直線。E和石尸的距離均為,圓孔半徑為, 則圖中陰影部分面積為 16已知直四棱柱ABC。-A,4GA的棱長均為2, ZBAD = 60Q ,以鼻為球心,a/5為半徑的球面與側(cè)面88圈的交線長為四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算 步驟。17. (10 分)在=,csinA = 3,c = 6b這三個條件
8、中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.問題:是否存在aABC ,它的內(nèi)角A,B.C的對邊分別為a,b,c,且sin A = >/3sin B,C = ,6注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計(jì)分.18. (12 分)已知公比大于1的等比數(shù)列“滿足/+% =20g =8.(1)求q的通項(xiàng)公式;(2)記.為口在區(qū)間(0,?(?£*)中的項(xiàng)的個數(shù),求數(shù)列也J的前100項(xiàng)和 100-19. (12 分)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研, 隨機(jī)抽查了 100天空氣中的PM2.5和S。?濃度(單
9、位:%3),得下表:S3PM2.50, 50(50, 150(150, 4750, 3532184(35, 75681275,1153710(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且S。)濃度不超過一150"的概率;(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2x2列聯(lián)表:PM2.50, 150(150,4750, 75(75,115(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中尸加2.5濃度與5。)濃度有關(guān)?附:K2 =n(ad -be1P(K2>k)0. 0500.0100. 001k3.8416. 63510. 828(a + b)(c + d)(
10、a + c)(b + d)20 (12 分) 如圖,四棱錐P-ABC。的底面為正方形,尸。_L底面ABC。.設(shè)平面尸A O與平面PB C的交線為/ .(1)證明:/_L平面PDC(2)已知尸。= AO = 1, Q為/上的點(diǎn),求P8與平面QCO所成角的正弦值的最 大值.21. (12 分)已知函數(shù) fx = aex-'-nx+na(1)當(dāng)" =求曲線y = /(x)在點(diǎn)(1J0)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;(2)若求的取值范圍。22. (12 分)已知橢圓C:二十=1(0 A > 0)的離心率為叵,且過點(diǎn)A(2,1) a- lr2(1)求C的方程(2)點(diǎn)M,
11、N在。上,且AM,AN,A£)_LA/N,。為垂足,證明:存在定點(diǎn)Q, 使得為定值。2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)參考答案一、選擇題(單選,共40分)l.C 2,D3.C4.B5.C6.B7.A8.D1.【解析】AU5 = U,3U(2,4) = 1,4),故選:C2.【解析】壬T9受?一故選D3【解析】首先從6名同學(xué)中選1名去甲場館,方法數(shù)有C:;然后從其余5名同學(xué)中選2名 去乙場館,方法數(shù)有;最后剩下的3名同學(xué)去丙場館.故不同的安排方法共有=6x10 = 60種.故選:C4 .【解析】畫出截面圖如下圖所示,其中8是赤道所在平面的截線;/是點(diǎn)A處的水平面 的截
12、線,依題意可知QA_L/ ; A3是客針?biāo)谥本€.,是冒面的截線,依題意依題意.皆面 和赤道平面平行,唇針與卷面垂直.根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知機(jī)C。、根據(jù)線面垂 直的定義可得 AB 1m .由于 N4OC = 40°,/h/C£),所以 ZOAG = ZAOC = 40°.由于 NQ4G+NGA七= N3AE+NGAE = 90。,所以 44七= NQ4G = 40。,也即唇針 與點(diǎn)4處的水平面所成角為N8AE = 40。.故選:B5 .【解析】記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件A, “該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件3,則“該 中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件A +
13、3, “該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件 A B,則P(4) = 06 P(B) = 0.82, P(A + 8) = 0.96, 所以 P( A 8) = P( A) + 0(8) P(A + 3) = 0.6 + 0.82 0.96 = 0.46所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46% .故選:C.6 .【解析】因 4=3,28, T = 6,=1 +),所以= 0.38 ,所以 6Z(r) = Z=e038/,設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為乙天,則e°38(F=2e。珈,所以喇=2,所以S3跖=山2,所以乙=%_汽竺
14、2&L8天,故選:B. 0.38 0.387 .【解析】協(xié)的模為2,根據(jù)正六邊形的特征 可以得到 而在加方向上的投影的取值范圍是(-1.3),結(jié)合向量數(shù)量積的定義式,可知Q.福等于AB的模與而在岫方向上的投影的乘積, 所以而荏的取值范圍是(一2,6),故選:A.8 .【解析】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)在(一,0)上單調(diào)遞減,且/(2) = 0,所以/“)在(0,+8)上也是單調(diào)遞減,且/(-2) = 0, /(0) = 0,所以當(dāng),-2)5。,2)時,>0,當(dāng)xw(-2,0)U(2,"o)時,/(x)<0,所以由MXx - lRO可得:x v 0(x > 0ot
15、JoV y C-2<x-l<05tv-l>20<x-l<2ai-l<-2解得一IWxWO 或所以滿足M*(x-l)N0的x的取值范圍是T05L3,故選:D.二、選擇題(多選,共20分)9.ACD10. BC11.ABD12.AC9 .【解析】對于A,若機(jī)>>0,則?+獷=1可化為了十不 m n因?yàn)闄C(jī)>>0,所以即曲線。表示焦點(diǎn)在丁軸上的橢圓,故A正確; m n對于B,若團(tuán)= > 0 ,則mx1 + ny2 = 1可化為/+)=,此時曲線。表示圓心在原點(diǎn),半徑為近 的圓,故B不正確; n對于c,若m<0,則帆F+)'
16、= 1可化為了十丁一此時曲線c表示雙曲線, m n由如二十 2 = 0可得y = 土 J-3工,故C正確;對于 D,若7 = 0,” >0, PIO nix2 + ny2 =1 可化為)/ =, n),=± YE,此時曲線。表示平行于x軸的兩條直線,故D正確;故選:ACD.10 .【解析】由函數(shù)圖像可知:二=三%三=£,則口 =主=2=2,所以不選A. 2 36 2 T n當(dāng) _ §江 + 不 _ 5乃時,y = 7/. 2x +(p = + 2k;r(<k eZ), 1=-=771222 .21y = sin 2x + tt + 2k笈=sin、3/
17、解得:8 = 2"十二江(攵eZ),即函數(shù)的解析式為:2x + + =cos 2x+巳;= sin -2x6 2)6)13而cos2x + 7 = <:05(之一2工),故選:BC.11 .【解析】對于A, a1 +lr =a2 +(-a = 2cr-2a + 當(dāng)且僅當(dāng)。= = 時,等號成立,故A正確;2對于 B, a-b = -l>-l,所以 2°f>2T= ,故 B 正確;2+ 對于 Ct log2 a + log2 b = log2 ab < log2 = log2 = -2 , 2 J 4當(dāng)且僅當(dāng)。=!時,等號成立,故c不正確; 2對于 D,
18、因?yàn)椋?+/y=1 + 2口<1 +。+ = 2,所以G + "<四.當(dāng)且僅當(dāng)=0= !時,等號成立,故D正確;故選:ABD212 .【解析】對于A選項(xiàng),若z1 = 1,則i = l,pi=l,所以(X) = -(lxlog21) = 0,所以A選項(xiàng)正確.對于 B 選項(xiàng),若” =2,則i = l,2, 2 = 1 - Pi,所以 H(X)= -/?! log2 +(1 - / ) log2 (1 - /?,),M 1 a ,八' (1 ,13 ,3、當(dāng) Pl =7 時,H(X)= "|<4' Og24 + 4, Og24,q33 ii 當(dāng))
19、=三時,H(X)= 一二.log2二十 hlog,二,兩者相等,所以B選項(xiàng)錯誤.414' 4 4' 4J對于 C 選項(xiàng),若化=1(i = l,2,),則"(X)= /'logxn = -log,- = log,H,則(x)隨著"增大而增大,所以c選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng),若 =2?,隨機(jī)變量y的所有可能的取值為1,2,./凡 且尸(y = /) = Pj + P2Wj(尸1,2,即).2m2mi"(X)= -匕>1, log? P, = £ Pi , log? r-I/-JPi1111i1f1=Pl - bg2 一 + 2 10
20、g2 + +-10g2 + p2m -10g2 .PlPlP2MPim現(xiàn)丫)=(P1 + 2m ), bg2 ' + ( + 2M ) . 10g2 + + (,",+ 吁 J . bg2 Pl + P2mPl + /%Pm + Pg=Pl - bg2+ Pl ° 10g2 + + 2E 10g2 + 2 J IO§2 Pl +Pl + 2gPl + P2gPl + P2m,所以 10g2>10g2Pi/ 、 1由于 Pi >。(,=1,2,2m),所以一 >Pi Pi + P2m+l-if 1 , 1所以 Pi . 10g2 >
21、PiOg2 ,PiP, + Plmi所以“(x)>(y),所以d選項(xiàng)錯誤.故選:ac三、填空題(共20分)13,1614.3/一2”.生y16,拉不TT+ 13.【解析】.拋物線的方程為y2= 4x,.拋物線 焦點(diǎn)F坐標(biāo)為f(1,0),又.直線A8過焦點(diǎn)E且斜率為JJ,.直線A8的方程為:y = J女x 1) 代入拋物線方程消去y并化簡得3x2-10x + 3 = 0,解得玉=(,=3 所以IA31= Jl + 公 x, |= 73-13-1|=.-3314.【解析】因?yàn)閿?shù)列2 1是以1為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列3一2是以1首項(xiàng),以3為公差的等差數(shù)列,所以這兩個數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成
22、的新數(shù)列%是以1為首項(xiàng),以6為公差的等差數(shù)列, 所以0的前項(xiàng)和為竺p6 = 322%故答案為:3,廣一2小15【解析】OB = OA = r,由題意 A/W=AN = 7, EF = 2,所以 NF = 5,因?yàn)锳尸=5,所以NAGP = 45,因?yàn)锽HI/DG,所以NAHO = 45二因?yàn)锳G與圓弧A8相切于A點(diǎn),所以。4_LAG,即04為等腰直角三角形;在直角OQ3中,OQ = 5一與;。=7半人 22因?yàn)閠an/OOC =2="所以21-二巨r(nóng)=25 上2人解得r=2& ;DQ 522等腰直角04的面積為H=Lx2&x2& = 4 ;2扇形A08的面積邑
23、=5、子x(2&=3叫所以陰影部分的面積為兩者的面積之和減去半個單位圓的面積,即防+工一.故答案為:4 + . 22216【解析】取用G的中點(diǎn)為£,的中點(diǎn)為尸,cq的中點(diǎn)為G,因?yàn)镹8AO = 60。,直四棱柱-的棱長均為2,所以5G為等邊三角形,所以2石_18£.又四棱柱/8。一48£2為直四棱柱,所以_L平面片片&2,所以BBi _LRE .因?yàn)榫W(wǎng)fl/G =,所以DE工側(cè)面B£CB.設(shè)P為側(cè)面B&CB與球面的交線上的點(diǎn),則D、E 1 EP,因?yàn)榍虻陌霃綖?quot;.DE = 6 所以I石尸1= J1尸F(xiàn)I。也|2 =0所以
24、側(cè)面B©CB與球面的交線上的點(diǎn)到E的距離為72 ,因?yàn)镮 E尸1=1 EGI=a/2,所以側(cè)面B£CB與球面的交線是扇形EFG的弧FG .因?yàn)閚8E/ = nceg = (,所以nfeg=,所以根據(jù)弧長公式可得/G = £xJJ=隹4.故答案為:AB四、解答題(共70分)17 .【解析】由 sinA = JJsinB 可得:=逐,不妨設(shè)。=,b則:c2 =a + b2 2abcosC = 3m2 + m2 -2x小mxmx = m2,即 c = m. 2選擇條件的解析:據(jù)此可得:ac = y/3m x m = /3m2 = m = ,此時 c = in = 1 -
25、選擇條件的解析:b2 +c2 m2 +m2 -3m21據(jù)此可得:cos A = - 2bc2m22I(rynW貝 |J : sinA = JI- 一一此時:csin A = mx = 3,貝 U : c = m = 2 VJ.V I 2;22選擇條件的解析:-r/a C m ,可得一 =一=1, c = bt b m與條件c = JO矛盾,則問題中的三角形不存在.18 .【解析】(1)由于數(shù)列q是公比大于1的等比數(shù)列,設(shè)首項(xiàng)為,公比為q,依題意有卜+。同=20,解得解得q =2,q = 2,或q=32,g = L舍),。同一 =82所以=2",所以數(shù)列q的通項(xiàng)公式為凡=2”.(2)由
26、于2 =2,2? =4,23 =8,24=16,2$ =32,26 =64,2, =128,所以偽對應(yīng)的區(qū)間為:(0,則印=。也也對應(yīng)的區(qū)間分別為:(。,2,(0,3,則%=& = 1, 即有2個1 ;耳也也也對應(yīng)的區(qū)間分別為:(0,4,(0,5,(0,6,(0,7,則h4 =b5=b6=b7=2 t即有展個2 ;,生對應(yīng)的區(qū)間分別為:(0,8,(0,9,(0,15,則匕8=2=1=3,即有2,個3 ;九也,也】對應(yīng)的區(qū)間 分別為:(0,16,(0,17,(0,31,則%" =4,即有24個4;%,九,也3對應(yīng)的區(qū)間分別為:(0,32,(0,33,(0,63,則原=砥=兀=5
27、, 即有展個5 ;甌也5,,麗0對應(yīng)的區(qū)間分別為:(0,64,(0,65,.,(0,100,則44=45=00=6,即有37個6.所以 50n =1x2 + 2 x 22 + 3 x 23 + 4 x 24+5 x 25 + 6 x 37 = 480. 119【解析】(1)由表格可知,該市100天中,空氣中的PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150的天數(shù)有32 + 6+18+8 = 64天,所以該市一天中,空氣中的PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150的概率為64=0.64100(2)由所給數(shù)據(jù),可得2x2列聯(lián)表為:PM 2.5SO.0,150(150,475合計(jì)0,75
28、641680(75,115101020合計(jì)7426100(3)根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得K? = -_±2= 二>"Xi。-5" = 3600、, .844 > 6,635 (a + h)(c + d)(a + c)(b + J)80x20x74x 26481因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知,有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān).20【解析】(1)證明:在正方形A8CO中,ADHBC,因?yàn)锳Oz平面P8C, BCu平面PBC,所以4。平面P8C,又因?yàn)锳Du平面PAO,平面尸4OCI平面P8C = /,所以AQ/,因?yàn)樵谒睦忮FPA3C。
29、中,底面A8CQ是正方形,所以且尸。,平面ABC。,所以40,夕£),./,/。,因?yàn)???凇?。,所以/,平面夕。;(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一沖Z,z因?yàn)槭珼 = AD = 1,則有因(0,0,0), C(0, L 0), A(L 0,0), P(0,0,1), 5(1,1,0), 設(shè) Q(m,0,1),則有 DC = (0,1,0), DQ =。兒 0,1),麗=(1,1, 一 1),設(shè)平面QCD的法向量為n =(尤乂 z),DC - n = 0DQn=0y = 0nix + z = 0令x = L則z = T叫 所以平面。8 的一個法向量為7 = (L0,t),則cos &
30、lt; n,PBn - PB _ 1+0 + 加h|pb| /+ i葭質(zhì)考當(dāng)時=與當(dāng)且僅當(dāng)用時取等號,所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為亞.321.【解析】;/“)= ex_|n_r+i,'J'(x)= e"-L二 = /'(1) =。-1.XJ/()= e+, 切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e), ,函數(shù) f(x)在點(diǎn)(1/1)處的切線方程為 y-eT = ("l)(x-l)Wy = (e-l)x+2,一2122,切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,2),(二,0),,所求三角形面積為一x2xl1= 6126-1解法一 :"(x)&quo
31、t;TnZn.小)=叱1一且八設(shè)抵用=(。),則g'*)=叱1 + J > 0, g(x)在(0, *O)上單調(diào)遞增,即r(X)在(0, +S)上單調(diào)遞增,當(dāng),=1時,尸(1) = 0,(1) = 1,=6之1成立.當(dāng) ”>1 時,./”(;)/= a(e尸一 1)(“一 1)<0,存在唯一%>0,使得r(Xo)= *ML = o,且當(dāng)EQ,%)時r(x)vO,當(dāng) xox e (x0,-h=o) 0vj- fx) > 0, /. aex' x = /. In « + x0 -1 = - In x0, 玉)因此,(x)min = /(X。)= a/E -Inx0 + na=+ In 6/ + x0 -1 + In 6/ > 2 In « -1 + 2 1-x() =21na + l>l,/Vxo :/(x)>l, .:/(x)Nl 恒成立;當(dāng) 0<。<1 時,/(l) = a + lnvavl,./(l)vl,/(x)21 不
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