向量法求空間角(有答案)

1、姓名年級性另IJ學校學科教師上課日期上課時間課題17向法求空間角角的分類向量求法范圍兩異面直線/1 與?2所成的角設/1與?2的方向冋量為“， b Kll COS &=(0,剳直線/與平面«所成的角&設/的方向向量為“，平面 «的法向量為Uf則Sill &=0'剳第6貞共5頁類型一異面直線所成的角例1、如圖，在三棱錐V-ABC中，頂點C在空間直角坐標系的原點處，頂點A, B9 U分別在X軸.y軸、Z 軸上，D是線段AB的中點，且AC=BC=2, ZvDC=.當0=扌時，求異而直線AC與W)所成角的余弦值【自主解答】 由于AC=BC=2, D是

2、AB的中點,所以Q OQO), A(2A0), B(OO)9 D(LLO)當 =j時，在 RtVCD 中，CD=2, V(0.0, 6), C=(-2A0), W)=(1,1. -6),COSAC, VD)一乎I CIIVDI.異面直線AC與UD所成角的余弦值為半.1. 幾何法求異面直線的夾角時，需要通過作平行線將異面直線的夾角轉化為平面角，再解三角形來求解，過程相當復雜；用向量法求異面直線的夾角，可以避免復雜的幾何作圖和論證過程只需對相應向量運算即可2.由于兩異面直線夾角9的范圍是(0,；,而兩向量夾角的范圍是0, t,故應有COS a=cos ,求解時 要特別注意.變式1、在長方體ABCD

3、-ABCD中，已知DA=DC=4, DDl = 3,求異面直線A】B與BC所成角的余弦值.【解】 以D為坐標原點，分別以ZM, DC9 DDI所在直線為入軸、y軸、Z軸，建立空間直角坐標系，如圖，則 A(4,03), 3(440). 5(4.43), Qo,4,0),得AB=(0,4, -3), 1C=(-4.0, 一3)設AlB與BlC的夾角為則 CoS &=羅晳=緊IAIBIlBlCl9故AIB與BlC的夾角的余弦值為不,9 即異面直線AlB與BlC所成角的余弦值為亦.類型二求線面角例 2、三棱錐 P-ABC 中，用丄5F ABC, AB丄AC, PA=AC=AB, N 為 AB

4、上一點,AB=4AN9 M, S 分別為PB, BC的中點(1)證明：CM丄SM(2)求SN與平面CMN所成角的大小【自主解答】設P=,以A為原點，射線AB, AC9 AP分別為X, y, Z軸正向建立空間直角坐標系(如圖)則 P(OQ1), C(OJ,O), 3(2,0,0),龍 AN=*AB, M、S 分別為 PB、BC 的中點,V(, 0,0),(l,0, )t 5(1,0),(I)CM=(1, -1, *), SN=(_J0),CMS"=(1, -1, *)(一£ -, O)=Ot 因此 CM丄SN.因為 COS SN3.所以S"與平面CMN所成角為訐 2

5、=4*1. 題中直線的方向向量SN與平面的法向量的夾角并不長所求線面角仇 它們的關系SinO=IcoS (SN9 a) L2. 若直線/與平面。的夾角為仇利用法向量計算&的步驟如下：變式、正方體AfiCD-A1B1ClD1中，E是CC的中點，求8£與平Ifil BXBDD所成角的余弦值【解】 如圖，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2,則B(220), B(222), E(0,2,l), BD=(-29-2,0), BBI = (OQ2), BE=(-2AD.AC=(-2,2,0)即平面 BIBDD】的一個法向董，設 ”=(一 1,1,0).COS“，BE=里，=零InII

6、BEl設BE與平面B】Bl)所成角為0, COSe=Sin“，BE=斗,即BE與平面BIBD所成角的余弦值為睜.類型三求二面角例3、若正方形ACDE所在的平而與平而ABC垂直，M是CE和AD的交點，AC丄BG 且AC=BG 求二 而角A-EB-C的大小.自主解答】四邊形ACDE是正方形，E4丄AC.又T平面ACDE丄平面ABC9 f丄平面ABC.以點A為坐標原點，以過A點平行于Be的直線為X軸，分別以直線AG AE為y軸、Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.設 EA=AC=BC=29 » A(0,0,0)f B(2,2,0), C(0,2,0), E(OA2).VM是正方形A

7、CDE的對角線的交點，M(0丄1).設平面E4B的法向量為n = (xf y9 z),則丄AEJL H丄AB,從而有H AE=0且nAB=O.51 VAE=(OA2), AB=(220),(9 y, z)(0. 0, 2)=0,XAS y, z)(2, 2, 0)=0,Z=O,y=0.取 y=-1,則 = 1,則 H = (I, LO).又TAM為平面 EBC 的一個法向量，JMM=(OJJ). cos <n, AM) =ZLiI= _1InllAAfl設二面角A-EB-C的平面角為& 則CoSe=£ 即&=60。 故二面角A-EB-C為60。量法求二面角的大小

8、，可以避免作出二面角的平面角匸難轉花菇算兩両面法向量的夾角目 題，具體求解步驟如下：(1) 建立空間直角坐標系；(2) 分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量；(3) 求兩個法向量的夾角；(4) 判斷所求二面角的平面角是銳角還長鈍角；(5) 確定二面角的大小.COS =22平面ABID與平面ABC所成二面角(銳角)的大小為壬變式、已知正三棱柱BC-1B1C1的各條棱長均為心D是側棱CCl的中點，求平而ABiD與平而ABC所成二 而角(銳角)的大小.【解】 以B為原點，過點B與BC垂直的直線為兀軸，BC所在的直線為y軸，BBl所在直線為Z軸，建 立如圖所示的空間直角坐標系，則 5(0,0,0

9、), C(Ot a,0), B1(O,O, d), C(0, a, a), A(-卑a,號，0), A(-a,號,a), D(Of at #).一* a)9 BlD=(OT a9 號)設平面 ABD 的法向董為 H = (A, y, z),則 nAB=O9 BlD=0,即得x=-3y, z=2y取 y=l,則 n=(-3, L2).T平面ABC的法向瑩是A=(O,O, a)9 '二面角&的余弦值為IAAlIhI對所求角與向量夾角的關系不理解致誤例4、正方體ABCD-AXBCD中，求二而角ABD-C的大小.【正解】 以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1,

10、則 D(0,0,0), A1(LOJ), C1(OJJ).由題意知DAi=(LOJ)是平面 ABDl 的一個法向童, > 1 > >DCI=(OJJ)是平面 BCD 的一個法向量. 所以 COS <DAh DCl) = T Dt =MIDCII-IDAiI>所以D4i, DCi> =60°.所以二面角A-BDI-C的大小為120。練習：【解析】121.若異而直線的方向向量與/2的方向向量的夾角為150%則/1與/2所成的角為()A. 30°B150oC30?；?50。D以上均不對【解析】人與/2所成的角與其方向向董的夾角相等或互補，且異面

11、直線所成角的范圍為(0,刖.應選A.2.已知向雖:in, n分別是直線/與平面a的方向向星、法向:,若COS m, H)=-卑,則I與a所成的角為()A. 30°B. 60oC 150oD 120。解析】設/與所成的角為0,則sin G=IcosS, “I=爭,.*.=60o,應選B.3已知平而的法向量"=(1,0, 1),平面B的法向P=(0, -Ll),則平面與”所成的二而角的大小為 </, V) =,而所成的二面角可銳可鈍，故也可以是務 4.如圖 3-2-22 直三棱柱 ABC-BC1 中，ZACB=90o, AC=BC= , CCl=2,求直線 AiB 與平而 BBCC所成角的正弦值.【解】 以CA9 CB9 CCI所在直線分別為X軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則B(Ol0). C