3一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系教案

1、初高中銜接教材 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用本節(jié)將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為： (1) 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根： ；(2) 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：；(3) 當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況因此，把叫做一元二次方程的根的判別式：.【例1】不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的

2、個(gè)數(shù)：(1) (2) (3) 解：(1) ， 原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2) 原方程可化為： ， 原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3) 原方程可化為： ， 原方程沒有實(shí)數(shù)根說明：在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式【例2】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： (1) 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 (3) 方程有實(shí)數(shù)根；(4) 方程無實(shí)數(shù)根解：. (1) ；(2) ； (3) ；(4) 【例3】已知實(shí)數(shù)、滿足，試求、的值解：把方程看作是關(guān)于的方程，整理得：.由于是實(shí)數(shù)，所以此方程有實(shí)數(shù)根，因此：，代入原方程得：綜上知：.二、一元二次方程

3、的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個(gè)根為：.所以：，.定理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么： .說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為韋達(dá)定理上述定理成立的前提是【例4】若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 解：由題意，由根與系數(shù)的關(guān)系得：.(1) .(2) .(3) .(4) .說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體代換思想【例5】已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為12，求這兩個(gè)數(shù)解：法一 設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是，則或.因此，這兩個(gè)數(shù)是2和6法二 由韋達(dá)定理知，這兩個(gè)數(shù)是方程24120的兩個(gè)根解方程得：12，26所以，這兩個(gè)數(shù)是2和6【例6】已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值(1) 方程兩實(shí)根的積為5；(2) 方程的兩實(shí)根滿足解： .(1) .所以，當(dāng)時(shí)，方程兩實(shí)根的積為5(2) 由得知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不合題意，舍去綜上可知，時(shí)方程的兩實(shí)根滿足說明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足【例7】已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 (1) 是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請您說明理由 (2) 求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值解： 一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. .(1) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使