易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)作者：孫振王鼎文李淋窈摘要研究易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)約的資源是很可觀的。問題一，我們通過實(shí)際測(cè)量得出(355ml)易拉罐各部分的數(shù)據(jù)。問題二，在假設(shè)易拉罐蓋口厚度與其他部分厚度之比為3: 1的條件下，建立易拉罐用料模型s(r)=2nrd(%+2r),由微積分方法求最優(yōu)解，結(jié)論：易拉 二 r罐高與直徑之比2: 1,用料最??； 在假定易拉罐高與直徑2: 1的條件下，將 易拉罐材料設(shè)想為外體積減內(nèi)體積，得用料模型：min s(r, h)r , 、2,-g(r,h) =nr hv = 0s.tr a 0h0 I用微積分方法得最優(yōu)解：易拉罐蓋子厚度與其他部分厚度為3:

2、 1。問題三，在易拉罐基本尺寸，高與直徑之比 2: 1的條件下，將上面為正圓 臺(tái)的易拉罐用料優(yōu)化設(shè)計(jì)，轉(zhuǎn)化為正圓柱部分一定而研究此正圓臺(tái)的用料優(yōu)化設(shè) 計(jì)。模型圓臺(tái)面積 s(r)=兀 r2+兀(R+r) J +(R r)22(r2 rR R2)2用數(shù)學(xué)軟件求得最優(yōu)解r=1.467, h=1.93時(shí)，s=45.07最小。結(jié)論：易拉罐總高：底直徑=2: 1,上下底之比=1: 2,與實(shí)際比較分析了 各種原因。問題四，從重視外觀美學(xué)要求(黃金分割)，認(rèn)為高與直徑之比1: 0.4更別 致、美觀。對(duì)這種比例的正圓柱體易拉罐作了實(shí)際優(yōu)化分析。另從美學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度提出正四面柱體易拉罐的創(chuàng)新設(shè)想，分析了這樣 易

3、拉罐的優(yōu)缺點(diǎn)和尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)。最后寫出了我們對(duì)數(shù)學(xué)建模的體會(huì)文章。關(guān)鍵詞：易拉罐最優(yōu)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模一、問題的提出我們只要稍加留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可 口可樂、宵島啤灑等)的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥? 這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對(duì)丁單個(gè)的易拉罐來說， 這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。對(duì)丁易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì) 我們提出了以下問題：1. 取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐， 測(cè)量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如

4、易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等, 并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測(cè)量得到的， 那么你們必須注明 出處。2. 設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。3. 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體，什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地 說明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸。模型假設(shè)4. 利用你們對(duì)所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自 己的關(guān)丁易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。1、假設(shè)易拉罐的各個(gè)組成部分是同一種材料；不考慮具體的用料（假設(shè)為鋁材）， 也不考慮易

5、拉罐的工藝過程。2、易拉罐的形狀和尺寸假設(shè)為“正圓柱體”或“正圓臺(tái)與正圓柱體的結(jié)合”等等。3、實(shí)際測(cè)量允許有一定的誤差。4、問題二中的假設(shè)： 在本問題的研究中，假設(shè)易垃罐是一個(gè)正圓柱體； 假設(shè)易拉罐側(cè)面和底面的厚度相同，頂部的厚度是側(cè)面厚度的3倍；三. 模型的假設(shè)與求解問題一:我們測(cè)得355ml易拉罐（雪碧）尺寸如下（單位 mm）:（以后尺寸均以其為基本上圓臺(tái)上底宜徑59蓋厚0.30下底宜徑67上圓臺(tái)側(cè)面厚0.20高度13正圓柱直徑67壁厚0.10高度110單位）問題二：本題建立在易拉罐是一個(gè)正圓柱體的基礎(chǔ)之上，如圖（ 2） 假設(shè)易拉罐側(cè)面厚度與底面厚度相同，與頂蓋厚度不同。1. 符號(hào)說明：r

6、：易拉罐的半徑；h:易拉罐的局；v:易拉罐內(nèi)體積（容積）；sv：易拉罐所用材料的體積；b:易拉罐除頂蓋外的厚度；履:頂蓋厚度參數(shù)，即頂蓋厚度 abo（2）2. 問題分析與模型由丁易拉罐尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)要研究到易拉罐各部分厚度問題，可設(shè)想一個(gè)易 拉罐所用材料是易拉罐外形體積減去內(nèi)部體積（見圖 2）。易拉罐用料=側(cè)面材料+底面材料+頂蓋材料222.2sv=（二（r b） 二 r ）（h+（1+二）b）+b 二 r ，二b二 r將上式化簡(jiǎn)，并以b,a為參數(shù)，看作r,h為自變量。有 sv（r, h） = 2二 rhb （1 ：）二 r2b 2二 r（1 ： ）b2 h二 b2 二（1 ： ）b3作簡(jiǎn)化，因

7、為bL r，則b2,b3很小，所以可將帶b2,b3的項(xiàng)忽略。有 sv（r,h） : s（r,h） =2二 rhb 二 r2（1 ： ）b記g（r,h） =r2h-v （v是已知的，即罐容積一定）。得數(shù)學(xué)模型min s（r, h），.、_ 2g(r,h) = r h -v = 0str 0h 03. 模型求解由約束條件g（r,h） =r2h_v =0 ,得h=代入目標(biāo)函數(shù)二 rs(r,h(r) = b 急， (1 -c )r2ILr2b3令 s =|(1 ：)二r -v =0得r = 3(1 ：)二因?yàn)?s = 4b 2二(1 W、)當(dāng) 0(r 0)所以r = 3 (1 y)二為極小值點(diǎn)。IL

8、r乂由丁極值點(diǎn)只有此一個(gè)，因此也是全局極小 乂由于 huJYO+ag）2 =（1 + a）,（十V） = （Ma ）r ,則由對(duì)問題二的前一解的結(jié)論,h=4r ,得4=1+o（,結(jié)論：a =3。4. 結(jié)果分析易拉罐頂蓋厚度是側(cè)面厚度的 3倍（a =3），與我們對(duì)355ml可口可樂等 易拉罐的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)完全一致（見問題（1）的解）。問題三：本題建立在易拉罐上面是一個(gè)正圓臺(tái)，下面是一個(gè)正圓柱體的基礎(chǔ)之上, 如圖（31. 符號(hào)說明R:易拉罐正圓柱體半徑（也即是正圓臺(tái)下底半徑）；r：易拉罐正圓臺(tái)上底半徑；hl:易拉罐正圓柱體高；V1 :易拉罐正圓柱體容積；h :易拉罐正圓臺(tái)局；V:易拉罐正圓臺(tái)容積。3.

9、 問題分析與模型因?yàn)樯鲜鼋鈫栴}二的結(jié)論（正圓柱體易拉罐用料最省的形狀和尺寸的最優(yōu) 設(shè)計(jì)是h=2D）已確定了圓柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐體積一定，則基本 的高與半徑可大致確定，即易拉罐的圓柱體部分確定。所以這里我們可以由此簡(jiǎn) 化問題為研究正圓臺(tái)部分的優(yōu)化設(shè)計(jì)。以常見的可口可樂等355ml易拉罐為例,易拉罐可取定 R=32mm,h1=110mm,于是測(cè)算出V=355ml.丁是問題三轉(zhuǎn)化為，已知易拉罐上部正圓臺(tái)體積 V一定，底半徑R 一定時(shí), 其上底半徑r和高h(yuǎn)為何值（或r與h比例是多少）正圓臺(tái)的表面積最小，如圖（4）:求正圓臺(tái)的面積得模型：正圓臺(tái)面積=頂蓋面積+圓臺(tái)側(cè)面積二 r2 二（r R）

10、、. h2 （R 一 r）2122=-：h （r2 rR R2）33Vh =2二（r2 rR R2）代入有2一一S二二 r 二（r R）9v222一22一 - （ R - r ）二（r rR R ）用數(shù)學(xué)軟件求S的最小值（其中如前分析取 V=35ml,R=3.2cm）,得： 當(dāng) r=1.467cm,h=1.93cm 時(shí)，結(jié)論：常見的正圓臺(tái)與正圓柱體結(jié)合的易拉罐，只考慮形狀和尺寸變化用 料最少的優(yōu)化設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)是：總高度與底直徑之比為2: 1,正圓臺(tái)的高與上底直徑之比約為2: 3 （即h: 2r 2 : 3）,相應(yīng)易拉罐上下底直徑之比為2r:2R ： 1:2。問題四：新設(shè)計(jì)現(xiàn)今常見的易拉罐都是圓柱形

11、，對(duì)丁一定容積的柱體，以正圓柱體的表面 積最小，且圓柱形的外形也較為美觀。但易拉罐流行至今幾十年都是圓柱形， 也 太常見有審美疲勞。因而我們考慮易拉罐基本造型有一個(gè)較大的變化，如創(chuàng)新設(shè) 計(jì)為了正四方柱體、正三面柱體、球體等。其實(shí)我們都知道球體是更省料的，像太白灑等灑的瓶子就是這樣。假設(shè)瓶口直徑為20,瓶頸高30 （類似丁礦泉水瓶口的設(shè)計(jì)），設(shè)球的半徑 為R,則：S=Si+S2=4tt R2+中咒 h得 S=28624.708mm2該值遠(yuǎn)小于以上計(jì)算結(jié)果，故此種設(shè)計(jì)更優(yōu)。四、模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)上述模型的建立從考慮材料厚度和不考慮厚度兩方面著手，不考慮底面厚度的模型顯然不夠好，與實(shí)際相差較大。本文的

12、優(yōu)點(diǎn)：1、本文根據(jù)問題要求，利用優(yōu)化的思想，一步一步地討論了模 型的建立情況，使所建立的模型極大地趨近丁實(shí)體。2、本文綜合考慮了影響易拉罐用料量的各種因素。本文的缺點(diǎn)：1、對(duì)丁模型中出現(xiàn)的實(shí)際的復(fù)雜問題作了很多簡(jiǎn)化，最終得到 的數(shù)值與所測(cè)數(shù)值有偏差。2、測(cè)量易拉罐的數(shù)據(jù)有誤差易拉罐的設(shè)計(jì)主要考慮的方面有；1、尺寸比例的經(jīng)濟(jì)性及科學(xué)性；2、人體工學(xué)；3、力學(xué)性質(zhì)；4、易拉罐內(nèi)部留有的空余部分；5、放置時(shí)運(yùn)輸時(shí)的穩(wěn)定性。我 們的模型中第1、3、5、方面已考慮到，與改進(jìn)模型需進(jìn)一步考慮 2、4、方面。 第三方面也可進(jìn)一步考慮。根據(jù)參考文獻(xiàn)8,罐底球面的強(qiáng)度取決丁以下幾個(gè) 因素：材料的彈性模量、底部直

13、徑、材料的強(qiáng)度、球面半徑。材料愈薄，強(qiáng)度愈 低，因此輕量化技術(shù)要求減少罐底直徑及設(shè)計(jì)特殊的罐底形狀。工藝試驗(yàn)表明， 罐底溝外壁火角若 大丁 40，將大大減小罐底耐壓。凸模圓弧 R不能小丁 3倍 的料厚。但R太大，將會(huì)減小強(qiáng)度。球面和罐底溝內(nèi)壁圓弧 R1,至少為3倍料 厚，減小罐底溝內(nèi)壁火角，將增加強(qiáng)度，生產(chǎn)中大多數(shù)采用10以下。參考文獻(xiàn)：1 鋁制易拉罐成型工藝及模型，機(jī)電商情網(wǎng)。訪問時(shí)間：2008.5.1。2 李淋窈訪問過 訪問時(shí) 問:2008.5.1。3 姜啟源，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2000。五、結(jié)束語數(shù)學(xué)模型，簡(jiǎn)單說就是用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象的過程。 數(shù)學(xué)模型有兩個(gè)很 重要的屆

14、性，一是合理性，二是簡(jiǎn)易性。建立數(shù)學(xué)模型的過程就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模。通過本次的建?；顒?dòng)了解到數(shù)學(xué)建模就是把現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問題加以提煉抽象得到一個(gè)數(shù)學(xué)的模型，然后，我們?cè)趯?duì)該模型進(jìn)行進(jìn)一步的求解，把抽象的 東西返還到現(xiàn)實(shí)中。其實(shí)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型過程的本質(zhì)就是：對(duì)實(shí)際現(xiàn)象的定量研究， 而對(duì)實(shí)際現(xiàn)象的定量研究的重要性和挑戰(zhàn)在丁怎樣去建立能夠更好地了解該現(xiàn) 象，并且可以應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來解決的數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)問題）.實(shí)際現(xiàn)象通常都是極 為復(fù)雜的，因此不經(jīng)過理想化和簡(jiǎn)化是很難進(jìn)行定量研究的.因此，數(shù)學(xué)建模的全過程大體上可歸納為以下步驟：1. 對(duì)某個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行觀察、分析2. 對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行的抽象、簡(jiǎn)化，作出假設(shè)3. 確

15、定要建立的模型中的變量和參數(shù)。4. 根據(jù)某種“規(guī)律”（已知的各學(xué)科中的定律，甚至是經(jīng)驗(yàn)的規(guī)律）建立變量和參數(shù)問確定的數(shù)學(xué)關(guān)系試這是一個(gè)非常具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題；5. 解析或近似地求解該數(shù)學(xué)問題.這往往涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論和方法，近似方 法和算法；6. 數(shù)學(xué)結(jié)果能否展示、解釋甚至預(yù)測(cè)實(shí)際問題中出現(xiàn)的現(xiàn)象，或用某種方法來驗(yàn)證結(jié)果是否正確，這也是很不容易的；比如拿B題的過程來說吧，易拉罐就是現(xiàn)實(shí)生活中的東西，然后我們逐步進(jìn) 行抽象成圓柱體，到進(jìn)一步圓柱體的變形體，設(shè)參數(shù) ,然后解析或近似地求解 該數(shù)學(xué)問題，到最后驗(yàn)證結(jié)論的合理性。如果合理就得最有解，如不合理需返回 第一步重新考慮對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化。這就是一個(gè)完整的建模過程。從我們小組對(duì)本次的試題的把握過程來看，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)建模中存在以下幾 個(gè)難點(diǎn)：1. 對(duì)實(shí)際生活中的名詞術(shù)語不熟悉。如在選題的過程中，A題我們之所以沒選其中很重要的原因就是對(duì)于專業(yè)語言不熟悉。2. 怎樣從實(shí)際情況出發(fā)做出合理的假設(shè)，從而得到可以執(zhí)行的合理的數(shù)