大學(xué)物理《普通物理學(xué)簡(jiǎn)明教程》第二章牛頓定律

1、 第二章 牛頓定律問(wèn)題解答2-1 一車輛沿彎曲公路運(yùn)行。試問(wèn)作用在車輛上的力的方向是指向道路外側(cè)，還是指向道路的內(nèi)側(cè)？解 車輛在彎曲的公路上運(yùn)行，即汽車作曲線運(yùn)動(dòng)，而物體做曲線運(yùn)動(dòng)需要一個(gè)指向曲率中心的向心力來(lái)維持，即作用在車輛上的力的方向指向道路的內(nèi)側(cè)。2-2 將一質(zhì)量略去不計(jì)的輕繩，跨過(guò)無(wú)摩擦的定滑輪。一只猴子抓住繩的一端，繩的另一個(gè)質(zhì)量和高度均與猴子相等的鏡子。開(kāi)始時(shí)，猴子與鏡在同一水平面上。猴子為了不看到鏡中猴子的像，它作了下面三項(xiàng)嘗試：（1）向上爬；（2）向下爬；（3）松開(kāi)繩子自由下落。這樣猴子是否就看不到它在鏡中的像了嗎？解 （1）當(dāng)猴子向上或向下爬時(shí)，猴子與鏡子受力如右圖所示。以

2、地面為參考系，取向上為軸正方向。由牛頓定律分別列出它們的動(dòng)力學(xué)方程 又 且猴子與鏡子的質(zhì)量相等，即由上可知，猴子與鏡子運(yùn)動(dòng)的加速度大小相等，方向也相同，即在相等的時(shí)間內(nèi)鏡子與猴子上升或下降的距離相等，它們始終處于同一水平面上。（2）當(dāng)猴子松開(kāi)繩子自由下落，此時(shí)猴子在其自身重力作用下自由下落。在相等時(shí)間內(nèi)它們下降相等的距離。由以上分析可知，在這三種過(guò)程中，猴子與鏡子始終處于同一平面上，所以猴子能看到鏡子中自己的像。2-3 如圖所示，輕繩與定滑輪間的摩擦力可略去不計(jì)，且。若使質(zhì)量為的兩個(gè)物體繞公共豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，兩邊能否保持平衡？解 三個(gè)物體的受力分析如下圖所示，對(duì)于右邊任意一個(gè)物體有又右邊繩中張力關(guān)

3、系有所以 可見(jiàn)豎直繩中張力正好等于左邊物體的重力，致使滑輪的兩邊能夠保持平衡。2-4 如圖所示，一半徑為的木桶，以角速度繞其軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。有一人緊貼在木桶壁上，人與木桶間的靜摩擦因數(shù)為. 你知道在什么情況下，人會(huì)緊貼在木桶壁上而不掉下來(lái)嗎？解 人受力分析如圖所示，他受到豎直向下的重力、沿壁向上的摩擦力，還有桶壁對(duì)他的支持力。其中支持力提供人隨木桶繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)所需的向心力。要使人緊貼在木桶壁上而不掉下來(lái)，即人受到的靜摩擦力與重力平衡，這就要求人與木桶間的最大靜摩擦力要大于人的重力，使人始終受到與自身重力平衡的靜摩擦力。由上分析可知 （1）而隨支持力（即角速度）變化而變化 （2）由（1）（2）式可得2-5

4、 一人站在電梯中的磅秤上，在什么情況下，他的視重為零？在什么情況下，他的視重大于他在地面上的體重？解 人在磅秤上的受力如右圖所示。由作用力與反作用力，人在磅秤上的視重等于磅秤對(duì)人的支持力的大小。要使視重大于人在地面上的體重，即此時(shí)人應(yīng)隨電梯有一個(gè)向上的加速度。即此時(shí)電梯向上加速運(yùn)動(dòng)。2-6 在升降機(jī)中有一只海龜，如圖所示。在什么情況下，海龜會(huì)“漂浮”在空中？解 海龜在升降機(jī)中受自身重力和升降機(jī)底面對(duì)它向上的支持力，海龜隨升降機(jī)一起運(yùn)動(dòng)，當(dāng)海龜所受的支持力為零即，海龜會(huì)“漂浮”在空中，此時(shí)海龜隨升降機(jī)向下加速運(yùn)動(dòng)，且加速度大小等于重力加速度值。2-7 為測(cè)量車廂的加速度，有人提出這樣一個(gè)辦法，在

5、車廂頂上懸掛一根長(zhǎng)為細(xì)繩，繩下系一質(zhì)量為的小球，并在豎直位置放一量角器（如圖所示）。通過(guò)測(cè)量繩與豎直線的擺角可測(cè)出車廂的加速度。你知道其物理原理嗎？解 小球隨車廂一起以加速度向前運(yùn)動(dòng)，以地面為參考系，建立坐標(biāo)系，小球受力如右圖所示。由牛頓定律，在軸、軸方向小球的動(dòng)力學(xué)方程為 （1） （2）由（1）（2）式可得，此時(shí)小球的加速度即車廂的加速度大小為由上式可見(jiàn)，只要測(cè)量出繩與豎直線的擺角即可得到車廂的加速度。習(xí)題解答2-1 一木塊能在與水平面成角的斜面上勻速下滑。若使它以速率沿此斜面向上滑動(dòng)，試證明它能沿該斜面向上滑動(dòng)的距離為.證明 以木塊為研究對(duì)象，其受力分析如圖所示。以沿斜面向上為軸正向，由牛

6、頓第二定律可得滑塊沿斜面下滑、上滑時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程為其中，物塊上滑時(shí)的加速度為一恒量，即物塊作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)物塊能上滑的最大距離為，此時(shí)速度為零。其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為由上述三式可得木塊能向上滑動(dòng)的距離為 2-2 假使地球自轉(zhuǎn)速度加快到能使赤道上的物體處于失重狀態(tài)，一晝夜的時(shí)間有多長(zhǎng)？解 赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其作圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力僅由重力提供時(shí)，物體處于失重狀態(tài)，即為地球半徑，此時(shí)地球自轉(zhuǎn)的角速度為所以地球自轉(zhuǎn)一晝夜所要的時(shí)間為2-3 一枚質(zhì)量為的火箭，在與地面成傾角的發(fā)射架上，點(diǎn)火后發(fā)動(dòng)機(jī)以恒力作用于火箭，火箭的姿態(tài)始終以與地面成的夾角飛行。經(jīng)后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，計(jì)算此時(shí)火箭的高度及

7、距發(fā)射點(diǎn)的距離。（忽略燃料質(zhì)量和空氣阻力）解 如圖，以地面為參考系，在火箭飛行的豎直平面內(nèi)建立坐標(biāo)系，由題意分析，火箭在飛行的過(guò)程中始終受重力和與水平面成角的恒定推力的作用，由牛頓定律得其動(dòng)力學(xué)方程為 將上式分解到、坐標(biāo)中得 （1） （2） 又由于加速度恒定不變，火箭在水平、豎直方向均作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可得，火箭經(jīng)過(guò)后到達(dá)位置點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， （3）由（1）（2）（3）式，可得 ，火箭距發(fā)射點(diǎn)的距離為 2-4 圖示一斜面，傾角為，底邊長(zhǎng)為，質(zhì)量為的物體從斜面頂端由靜止開(kāi)始向下滑動(dòng)，斜面的摩擦因數(shù)為. 試問(wèn)，當(dāng)為何值時(shí)，物體在斜面上下滑的時(shí)間最短？其數(shù)值為多少？解 如圖，取斜面頂點(diǎn)處為

8、原點(diǎn)，沿斜面向下為軸正方向。由牛頓定律，物體在軸方向有即 （1）又物體沿斜面向下做勻變速運(yùn)動(dòng)，所以有 由（1）式得 （2）當(dāng)物體在斜面上下滑時(shí)間最短時(shí)，有 ，由（2）式可得即 ，將值代入（2）式，可得下滑的最短時(shí)間為2-5 工地上有一吊車，將甲、乙兩塊混凌土預(yù)制板吊起送至高空。甲塊質(zhì)量為，乙塊質(zhì)量為. 設(shè)吊車、框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計(jì)。試求下述兩種情況下，鋼絲繩所受的張力以及乙塊對(duì)甲塊的作用力：（1）兩物塊以的加速度上升；（2）兩物塊以的加速度上升。從本題的結(jié)果，你能體會(huì)到起吊重物時(shí)必須緩慢加速的道理嗎？解 取豎直向上為軸正向，要求鋼絲繩所受的張力以及乙塊對(duì)甲塊的作用力，我們分別以甲、乙整體和乙

9、為研究對(duì)象，其受力分析如右。其中為框架整體所受的鋼絲繩對(duì)它的拉力，即繩中張力。是物體乙受到的物體甲對(duì)它的支持力。甲乙當(dāng)物塊以加速度上升時(shí)，由牛頓定律，對(duì)于甲、乙整體有 對(duì)于物體乙 由上兩式可得 （1） （2）（1）兩物塊以的加速度上升時(shí)，由以上（1）可得繩所受的張力的值為由（2）式得甲對(duì)乙的作用力的值為 由牛頓第三定律，乙對(duì)甲的作用力為（2）兩物塊以的加速度上升時(shí)，繩所受的張力值為乙對(duì)甲的作用力為 由上述結(jié)果可知，在起吊重物時(shí)，物體的加速度越大，繩中所需的張力越大，物體的加速度越小，繩中所需的張力越小。因此，起吊重物時(shí)必須緩慢加速，以確保起吊安全。2-6 如圖所示，已知兩物體A、B的質(zhì)量均為，

10、物體A以加速度運(yùn)動(dòng)，求物體B與桌面間的摩擦力。（滑輪與連接繩的質(zhì)量不計(jì)）解 物體和滑輪受力分析如右圖所示。由牛頓定律得物體A、B及滑輪的動(dòng)力學(xué)方程為其中，由牛頓第三定律有 ，綜合上式可得物體B與桌面的摩擦力為2-7 質(zhì)量為的長(zhǎng)平板以速度在光滑平面上作直線運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)將質(zhì)量為的木塊輕輕平穩(wěn)地放在長(zhǎng)平板上，板與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，求木塊在長(zhǎng)平板上滑行多遠(yuǎn)才能與板取得共同速度？解 木塊與平板的受力分析如右圖所示，以地面為參考系，由牛頓定律可得木塊與平板的動(dòng)力學(xué)方程分別為 （1） （2）且 （1）、（2）中、分別是木塊和平板相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的加速度。若以長(zhǎng)平板為參考系，平板運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檩S正方向，則木塊相對(duì)

11、于平板的加速度為，它相對(duì)于平板作初速度為的勻減速運(yùn)動(dòng)，直到停止在長(zhǎng)平板上，假設(shè)木塊在平板上滑行的距離為，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律， （3）由（1）、（2）及（3）式可得 2-8 在一只半徑為的半球形碗內(nèi)，有一粒質(zhì)量為的小鋼球，當(dāng)小球以角速度在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它距碗底有多高？解 由題意分析可得，小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由碗內(nèi)壁對(duì)它的支持力在水平面上的分量提供。取鋼球和碗中心軸線所在的平面為坐標(biāo)面，如圖建立坐標(biāo)系.取鋼球?yàn)楦綦x體，其受力分析如圖所示，其中支持力垂直于碗壁，且總在坐標(biāo)平面內(nèi)。其動(dòng)力學(xué)方程為其中 由以上三式可得，鋼球距碗底的高度為2-9 一質(zhì)量為的小球最初位于

12、如圖所示的A點(diǎn)，然后沿半徑為的光滑圓軌道ADCB下滑。試求小球到達(dá)點(diǎn)C時(shí)的角速度和對(duì)圓軌道的作用力。解 小球受力分析如圖所示，它受重力和軌道對(duì)它的支持力. 取自然坐標(biāo)系，由牛頓定律，小球的切向和法向運(yùn)動(dòng)方程為 （1） （2）又 ， 代入（1）式得 （3）又小球從A運(yùn)動(dòng)到C，速度由到，角度由到，對(duì)（3）式兩邊積分所以 則小球到達(dá)C點(diǎn)的角速度為 由（2）式得，此時(shí)小球受到軌道對(duì)它的支持力為由牛頓第三定律得，小球?qū)A軌道的作用力為2-10 輕型飛機(jī)連同駕駛員總質(zhì)量為. 飛機(jī)以的速率在水平跑道上著陸后，駕駛員開(kāi)始制動(dòng)，若阻力與時(shí)間成正比，比例系數(shù)，求：（1）后飛機(jī)的速率；（2）飛機(jī)著陸后后內(nèi)滑行的距離

13、。解 如圖，取飛機(jī)沿水平軌道運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檩S正方向。由牛頓定律，飛機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程為 （1）由題意可知，飛機(jī)所受的阻力大小與時(shí)間的關(guān)系為 （2）由（1）、（2）式得， 考慮到初始條件，將上式積分可得時(shí)刻飛機(jī)的速率為 當(dāng)時(shí)，飛機(jī)的速率為 又由可得時(shí)間內(nèi)飛機(jī)滑行的距離將代入上式可知飛機(jī)著陸后滑行的距離為 2-11 質(zhì)量為的跳水運(yùn)動(dòng)員，從高臺(tái)上由靜止跳下落入水中。高臺(tái)與水面距離為. 把跳水運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)，并略去空氣阻力。運(yùn)動(dòng)員入水后垂直下沉，水對(duì)其阻力為，其中為一常量。若以水面上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為軸，求：（1）運(yùn)動(dòng)員在水中的速率與的函數(shù)關(guān)系；（2）若，跳水運(yùn)動(dòng)員在水中下沉多少距離才能使其速率減少

14、到落水速率的？（假定跳水運(yùn)動(dòng)員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等。）解 （1）如右圖，運(yùn)動(dòng)員從高臺(tái)跳下作自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式當(dāng)他落到水面時(shí)速度為入水后，運(yùn)動(dòng)員受到其自身的重力，浮力和水對(duì)他的阻力的作用。由牛頓定律，運(yùn)動(dòng)員入水后的動(dòng)力學(xué)方程為其中，并且 代入上式整理得考慮到入水時(shí)的初速度，對(duì)上式兩邊積分所以運(yùn)動(dòng)員在水中的速率與的函數(shù)關(guān)系為（2）由第（1）問(wèn)關(guān)系式結(jié)果可得將及代入上式得此時(shí)運(yùn)動(dòng)員下沉的距離為 2-12 質(zhì)量為的物體，由地面以初速豎直向上發(fā)射，物體受到空氣的阻力為，且.（1）求物體發(fā)射到最大高度所需的時(shí)間；（2）最大高度為多少？解 （1）如圖，取地面上一點(diǎn)為原點(diǎn)，豎直向上為軸正方向。物體受到重力和阻力的作用由初速度豎直向上減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高處時(shí)速度為零。由牛頓定律，物體的動(dòng)力學(xué)方程為 （1）將阻力代入上式整理得 考慮到初始條件，對(duì)上式積分即物體發(fā)射到最大高處所需的時(shí)間約為.（2）將代入到（1）式整理得對(duì)上式積分可得物體上升的最大高度為即 2-13 質(zhì)量為的摩托車，在恒定的牽引力的作用下工作，它所受的阻力與其速率的平方成正比，它能達(dá)到的最大速率是. 試計(jì)算從靜止加速到所需的時(shí)間以及所走過(guò)的路程。解 由題意可設(shè)車所受的阻力與速度的函數(shù)關(guān)系為 ，摩托車在牽引力與