理論力學(xué)虛位移原理

1、.虛位移原理虛位移原理虛位移原理虛位移原理建立獨(dú)立于牛頓力學(xué)體系的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件。牛頓力學(xué)體系矢量力學(xué)。矢量力學(xué)。描述的力學(xué)量都用矢量表示 如：矢徑，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。分析力學(xué)體系標(biāo)量力學(xué)標(biāo)量力學(xué)。描述的物理量為標(biāo)量。如廣義坐標(biāo)， 能量，功等。 虛位移原理以分析力學(xué)為基礎(chǔ)，建立系統(tǒng)平衡的充要條件，比牛頓力學(xué)建立的平衡條件具有更廣泛的意義。 本章僅僅闡述虛位移原理在求解靜力平衡問題靜力平衡問題中的應(yīng)用。事實(shí)上，虛位移原理建立的平衡準(zhǔn)則還應(yīng)用于動(dòng)力學(xué)建立質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)與受力的關(guān)系、固體力學(xué)中物體變形的分析等。.質(zhì)點(diǎn)系的位形、約束方程及分類質(zhì)點(diǎn)系的位形、約束方程及分類 質(zhì)點(diǎn)

2、系中全部質(zhì)點(diǎn)空間位置的坐標(biāo)描述，稱為該質(zhì)質(zhì)點(diǎn)系中全部質(zhì)點(diǎn)空間位置的坐標(biāo)描述，稱為該質(zhì)點(diǎn)系的位形。點(diǎn)系的位形。 質(zhì)點(diǎn)系的位形可以由直角參考坐標(biāo)系統(tǒng)確定，質(zhì)點(diǎn)系的位形可以由直角參考坐標(biāo)系統(tǒng)確定，也可以由與質(zhì)點(diǎn)系也可以由與質(zhì)點(diǎn)系自由度自由度對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)確定。廣義坐標(biāo)確定。虛位移原理用于建立虛位移原理用于建立約束系統(tǒng)約束系統(tǒng)的平衡條件的平衡條件.XYOABxAyA平面一般運(yùn)動(dòng)，3自由度，廣義坐標(biāo)：,AAyx定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，單自由度，廣義坐標(biāo)：xByB.對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的限制稱為約束對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的限制稱為約束。用數(shù)學(xué)方程表示，稱為約束方程約束方程。約束與約束方程約束與約束方程y滑塊滑道質(zhì)點(diǎn)被限制在某曲面上運(yùn)動(dòng)

3、，約束方程為該曲面方程0),(zyxf0y約束方程約束方程.Byx),(txfv 滑塊 B 的約束方程vx 當(dāng)v=C（常數(shù)）時(shí)，約束方程Cx 或ACtx當(dāng)v=0時(shí)，約束方程0 x 或Ax 當(dāng)v=f（x，t）不可積分函數(shù)時(shí)，約束方程),(txfx .約束的分類約束的分類幾何約束幾何約束：只限制質(zhì)點(diǎn)的幾何位置的約束。運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束：約束方程包含質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)（對(duì)時(shí)間）的導(dǎo)數(shù)。定常約束定常約束：約束條件與時(shí)間無(wú)關(guān)，即約束方程中不顯含時(shí)間t。非定常約束非定常約束：約束條件與時(shí)間有關(guān)，即約束方程中顯含時(shí)間t。完整約束完整約束：包括幾何約束和可化成幾何約束的運(yùn)動(dòng)約束。非完整約束非完整約束：不可化成幾何約束的運(yùn)

4、動(dòng)約束。理想約束理想約束：約束力做功恒等于零的約束。：約束力做功恒等于零的約束。.自由度和廣義坐標(biāo)自由度和廣義坐標(biāo)自由度：描述在幾何約束條件下質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量的個(gè)數(shù)。對(duì)于n個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，可用3n個(gè)直角坐標(biāo)（xi ，yi，zi）i=1，2，3n，描述每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)所在的位置稱為質(zhì)點(diǎn)系的位形。整個(gè)系統(tǒng)有3n個(gè)自由度。對(duì)于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的非自由質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)其有S個(gè)約束方程，表明描述質(zhì)點(diǎn)系位形的3n個(gè)直角坐標(biāo)不獨(dú)立。這時(shí)，可以選取獨(dú)立的k個(gè)參數(shù)表示質(zhì)點(diǎn)系的位形，而Snk3kqqq21,設(shè)為描述系統(tǒng)位形的獨(dú)立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)。.XYZ),(111zyx),(222zyx兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)

5、點(diǎn)系兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系約束方程約束方程2221221221)()()(lzzyyxx自由度數(shù)自由度數(shù)5123k廣義坐標(biāo)，取廣義坐標(biāo)，取,111zyx.一般地，具有一般地，具有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)用矢徑表示為個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)用矢徑表示為),(21kqqqiirr ni, 2 , 1表示每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)表示每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)),(21kqqqxxii),(21kqqqyyii),(21kqqqzzii注意，一般情況下，廣義坐標(biāo)是時(shí)間注意，一般情況下，廣義坐標(biāo)是時(shí)間 t t 的函數(shù)。的函數(shù)。kqqq,21其中其中即為選定的即為選定的k個(gè)廣義坐標(biāo)個(gè)廣義坐標(biāo).約束方程2121211:ly

6、xM01z222212212)()( :lyyxxM02z系統(tǒng)自由度2423kXY),(1111zyxM),(2222zyxM12取廣義坐標(biāo)21,質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo):111111sincoslylx)sin(sin)cos(cos212112212112llyllx.實(shí)位移與虛位移實(shí)位移與虛位移實(shí)位移：質(zhì)點(diǎn)系發(fā)生的為約束允許的真實(shí)位移。實(shí)位移：質(zhì)點(diǎn)系發(fā)生的為約束允許的真實(shí)位移。設(shè)一個(gè)具有k個(gè)自由度的，由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)由矢徑 ri 表示其位置，而ri可以用廣義坐標(biāo)表示如下：),(21tqqqkiirr ni, 2 , 1 在t時(shí)刻，外力作用下，經(jīng)歷無(wú)限小時(shí)間間隔t 質(zhì)點(diǎn)系中每一

7、個(gè)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生微小位移dri（i=1，2，n）。顯然，表示系統(tǒng)位形的廣義坐標(biāo)也將產(chǎn)生一組微小增量 dqj （j=1，2，k）。 稱為系統(tǒng)廣義實(shí)位移系統(tǒng)廣義實(shí)位移。滿足條件dtddqqdjkjjiiirrr1ni, 2 , 1（1）（2） 位移滿足位移滿足約束條件約束條件和和初始條件初始條件.虛位移：在實(shí)位移概念的基礎(chǔ)上，不考慮主動(dòng)力的作用（產(chǎn)生位虛位移：在實(shí)位移概念的基礎(chǔ)上，不考慮主動(dòng)力的作用（產(chǎn)生位移的動(dòng)力）和初始條件，僅僅滿足移的動(dòng)力）和初始條件，僅僅滿足約束條件約束條件的位移。的位移。與實(shí)位移的物理意義比較，虛位移是一種假設(shè)的、可能產(chǎn)生的位移。兩者的共同點(diǎn)是：在一定的條件下（定常、完整約束）

8、在一定的條件下（定常、完整約束）實(shí)位移必是虛位移中的一組。實(shí)位移必是虛位移中的一組。虛位移與時(shí)間無(wú)關(guān)，對(duì)應(yīng)k個(gè)自由度的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，質(zhì)點(diǎn)位置矢徑),(21kqqqiirr ni, 2 , 1虛位移表示如下：jkjjqq1iirrni, 2 , 1顯然，虛位移與時(shí)間無(wú)關(guān)。.確定系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)間虛位移的關(guān)系確定系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)間虛位移的關(guān)系 如前所述，具有k個(gè)自由度的，由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，質(zhì)點(diǎn)間的位置關(guān)系不是完全獨(dú)立的，因此，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位移并不完全獨(dú)立。把每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位移用獨(dú)立的廣義坐標(biāo)表示，分析中通常需要建立非獨(dú)立的質(zhì)點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系建立非獨(dú)立的質(zhì)點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系，方法如下：1、虛速度法虛速度

9、法：方法等同于“平面運(yùn)動(dòng)剛體上兩點(diǎn)間的速度關(guān)系平面運(yùn)動(dòng)剛體上兩點(diǎn)間的速度關(guān)系”。把“點(diǎn)的虛位移”視為“點(diǎn)的速度”，應(yīng)用“基點(diǎn)法”、“速度投影定理”和“速度瞬心法”以及“復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度關(guān)系”，確定兩點(diǎn)間的虛位移關(guān)系。2、解析法解析法：在固定參考系中，將確定點(diǎn)的位置的直角坐標(biāo)表示為選定的獨(dú)立廣義坐標(biāo)的函數(shù)，對(duì)其求變分變分。.ABCDE試確定D、B、E、C點(diǎn)虛位移與廣義坐標(biāo) 的關(guān)系。設(shè)AD=DB=BE=EC=l.ABCDE解：系統(tǒng)是單自由度，取為廣義坐標(biāo)。1、解析法XYsincoslylxDDsin2cos2lylxBBsinsinsin2cos3coscos2lllylllxEE0cos4cos2c

10、os2CCylllx由于AB=BC建立圖示坐標(biāo)系統(tǒng).sincoslylxDDsinsinsin2cos3coscos2lllylllxEE0cos4cos2cos2CCylllx求變分cossinlylxDDsin2cos2lylxBBcos2sin2lylxBBcos3sin3lylxEE0sin4CCylx負(fù)號(hào)表示角增加時(shí)，虛位移方向與坐標(biāo)方向相反。.各點(diǎn)虛位移關(guān)系，如D點(diǎn)虛位移與C點(diǎn)虛位移的關(guān)系cossinlylxDD0sin4CCylxCDxx41CDxycot41ABCDEXY.（2）虛速度法DrBrABCDECrlrDlrB2速度投影定理cos)22cos(CBrrsin2cos2

11、sinBBCrrr各點(diǎn)虛位移方向如圖2BDrrsinrrDC4.60OABO1CO2EAB=BC=AC=O1B=O2C=OA=a,求：此瞬時(shí)OE的虛位移與O1B虛位移之間的關(guān)系。OEBO1.OEBO160OABO1CO2EpBrCrAreArrArarBBO1虛速度法：根據(jù)約束，確定Br，Cr方向如圖于是剛體ABC的速度瞬心在 p 點(diǎn)。確定Ar的方向如圖注意rAeAArrrareAOE各虛位移間關(guān)系3BArrOEAeAarr2OEBO321.力和功力和功元功和有限功元功rFdWd有限功ABdWrFkjiFzyxFFFkjirdzdydxddzFdyFdxFdWdzyxrFABzyxdzFdyF

12、dxFW)(rrd微分加微分加“ ”表示逆過(guò)程在某些表示逆過(guò)程在某些情況（如耗散系統(tǒng)）中不成立。情況（如耗散系統(tǒng)）中不成立。XYZrFABrd.特殊力系做功的計(jì)算1、匯交力系合力做功iRFF合力主矢 iABABABRWdddWrFrFrFii合力在有限路徑做功等于分力在有限路徑上做功之和合力在有限路徑做功等于分力在有限路徑上做功之和.2、內(nèi)力做功內(nèi)力的特點(diǎn)：成對(duì)出現(xiàn)，大小相等，方向相反M1M2XYZF12F21r1r2r12設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)M1， M2 相互作用力F12 ，F(xiàn)211212FF則有元功2211rFrF12ddWd2)()(11221122112rFrrFrrFdddd當(dāng) M1 與 M2

13、 間距不變時(shí)，即 r12 等于常數(shù)0Wd剛體內(nèi)的兩點(diǎn)剛體內(nèi)的兩點(diǎn)當(dāng) M1 與 M2 間距改變時(shí)，即 r12 不等于常數(shù)0Wd變形體內(nèi)的兩點(diǎn)變形體內(nèi)的兩點(diǎn).3、彈性力做功l0 彈簧原長(zhǎng)k 彈簧剛度系數(shù)0ll 定義彈簧變形量lllklF1)(0彈性恢復(fù)力1FF2 上式表明，彈性恢復(fù)力的方向總與變形方向相反。l0l0l1l0l2F1F2r1r2l12彈性力大小kFe彈性力方向與變形方向相反與變形方向相反l0l Fel0l Fe.彈性恢復(fù)力做功彈性恢復(fù)力做功dlllkWd)(0或dklldllkWd)()(00有限功)(21222121kdkW1rrl2lFrrFrFrF1111ddddWd)(122

14、2dlld lllldlllkWd1)(0l0l0l1l0l2F1F2r1r2l12lllklF1)(0彈性恢復(fù)力1FF2.4、約束力做功光滑平面約束，柔繩約束Ndr由于約束力作用線與位移方向由于約束力作用線與位移方向恒垂直，因此做功恒等于零。恒垂直，因此做功恒等于零。光滑鉸鏈約束固定鉸約束點(diǎn)處位移恒等于零，因此做功恒等于零；固定鉸約束點(diǎn)處位移恒等于零，因此做功恒等于零；活動(dòng)鉸可移動(dòng)方向約束力恒垂直，因此做功恒等于零?；顒?dòng)鉸可移動(dòng)方向約束力恒垂直，因此做功恒等于零。中間鉸處約束力做功恒等于零自行分析凡是約束反力做功恒等于零的約束稱為凡是約束反力做功恒等于零的約束稱為理想約束理想約束.有勢(shì)力做功

15、有勢(shì)力做功 有勢(shì)力的大小和方向是位置的單值函數(shù)。如重力重力，彈性力彈性力，萬(wàn)有引力萬(wàn)有引力等都是有勢(shì)力。有勢(shì)力有勢(shì)力做功僅與力作用的起止位置有關(guān)而與移動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。有勢(shì)力的作用空間稱為有勢(shì)力場(chǎng)有勢(shì)力場(chǎng)重力：gGmz )(彈性力：lllklF1)(0有勢(shì)力作用的質(zhì)點(diǎn)位置的改變將引起有勢(shì)力做功稱為勢(shì)能函數(shù)。勢(shì)能函數(shù)。),(),(0),(zyxAzyxAdzyxVrF質(zhì)點(diǎn)所處的空間位置),(zyxA),(0zyxA選定的參考位置（勢(shì)能零點(diǎn)）.重力勢(shì)能函數(shù)重力勢(shì)能函數(shù)：GzzGWzzmgzzmgmgdzV)()(000彈性勢(shì)能函數(shù)：彈性勢(shì)能函數(shù)：)(21202kWVEE有勢(shì)力做功等于負(fù)勢(shì)能函數(shù)。有勢(shì)力做

16、功等于負(fù)勢(shì)能函數(shù)。當(dāng)取彈簧原長(zhǎng)為勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)當(dāng)取彈簧原長(zhǎng)為勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)221kWVEE物理意義是：有勢(shì)力做正功時(shí)系統(tǒng)勢(shì)能減少；有勢(shì)力做負(fù)功時(shí)系統(tǒng)勢(shì)能增加。.平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系做功平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系做功平面運(yùn)動(dòng)剛體上作用力系Fi (i=1,2,n)設(shè)Fi 的作用點(diǎn)Di ,其元功為iDirFdWdi以剛體上一點(diǎn)A為基點(diǎn),則有iADArvvvvADADii于是dddtdiAD)(iiADAADrkrrvrddddWdiii)()(iiADAADAirkFrFrkrFdmdddAiii)()(iAADAFrFkFrrFidmdWdAii)(iAFrFxyDiAdAdriDrdAdiDrAdrFi.dmdW

17、dAii)(iAFrF力系Fi (i=1,2,n)的元功dmdWdWdniAniinii111)()(iAFrF其中nii1FFR力系的主矢niAAmM1)(iF力系對(duì)A點(diǎn)的主矩dMdWdAARrF平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的元功當(dāng)選A點(diǎn)為速度瞬心速度瞬心 p 時(shí)dMWdp.作用于平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的有限功為dMdWAlARrF注意：對(duì)于有限功dMWp一般不成立特殊情況：特殊情況：平動(dòng)剛體平動(dòng)剛體ARrFdWd定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體（設(shè)設(shè)A為轉(zhuǎn)動(dòng)軸）dMWdA.實(shí)功與虛功實(shí)功與虛功實(shí)功實(shí)功（廣義）力在（廣義）實(shí)位移上做功（廣義）力在（廣義）實(shí)位移上做功。當(dāng)力系在自身引起的實(shí)位移上做功時(shí)，實(shí)功恒為正值

18、。當(dāng)力系在非自身引起的實(shí)位移上做功時(shí)，實(shí)功可為正值，也可為負(fù)值。虛功虛功（廣義）力在（廣義）虛位移上做功廣義）力在（廣義）虛位移上做功。做虛功的力與位移可以毫不相關(guān)，所以虛功可以為正值，也可以為負(fù)值。虛功表示W(wǎng)d對(duì)應(yīng)表示實(shí)元功W表示虛元功虛功的計(jì)算與實(shí)元功相同。有限虛功沒有意義，一般不考慮。虛功的計(jì)算與實(shí)元功相同。有限虛功沒有意義，一般不考慮。.勻質(zhì)圓盤重P，半徑R，其輪心與一彈簧相連。彈簧剛度系數(shù)為k初始長(zhǎng)度為l0 。系統(tǒng)在常力偶M0 作用下，在傾角為的斜面上保持平衡，求：系統(tǒng)虛元功。M0P.l0l解：解： 系統(tǒng)為單自由度，選取圓盤轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。圓盤受力分析如圖，給圓盤一個(gè)微小的虛位移PM

19、0FeNF與各力對(duì)應(yīng)的虛功為（1）sinlPWP（2）0MWMlllkWeF)(0（3）（4）0NW理想約束理想約束純滾動(dòng)圓盤摩擦力做功等于零純滾動(dòng)圓盤摩擦力做功等于零ls（5）sRRFWF0 Fvdt.M0Pl0l建立虛位移 ， l 之間的關(guān)系Rl sinPRWP0MWMRllkWeF)(0于是系統(tǒng)總虛功)sin(0RkPRMWWi其中0ll .虛位移原理（虛功原理）虛位移原理（虛功原理） 具有定常、完整、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，保持靜止平衡的充分具有定常、完整、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，保持靜止平衡的充分必要條件是：必要條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力在平衡位置附近的虛位移上作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力在平衡位置附

20、近的虛位移上所做的虛功之和等于零所做的虛功之和等于零。011niiniiWWirF 與牛頓力學(xué)不同之處在于，虛位移原理給出質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)（包括剛體系統(tǒng)）保持平衡的充分必要條件。.虛位移原理在求解靜力學(xué)平衡問題中的應(yīng)用虛位移原理在求解靜力學(xué)平衡問題中的應(yīng)用mgmgMAB圓盤半徑R，AB桿長(zhǎng)l ，桿與墻面光滑接觸，圓盤做純滾動(dòng)。在桿處于水平位置時(shí)保持平衡。求：所加力偶 M 的大小。.mgmgMABC解：各主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移如圖pBr12Ar虛功11MW BrmgWsin2CrCmWrg32232cos2)290sin(2lmglmgWmgABCpArBr2Cr.mgmgMABCpBr12ArCr虛位移

21、之間的關(guān)系代入虛功方程1RrB2sin lrB12sinlR11MW 12sinmgRW113sin22cossin2cos2RmglRlmgW1)sin22cossin(RmgmgRMWi系統(tǒng)虛元功系統(tǒng)虛元功.虛位移原理0)sin22cossin(1RmgmgRMWi0sin22cossinRmgmgRM得于是)sin22cos(sin mgRMmgmgMABCpBr12ArCr.設(shè)：AE=AB=l ，DB=CE=2l ，初始位置角度為0 ，E點(diǎn)只能沿Y軸運(yùn)動(dòng)，彈簧剛度系數(shù)為k， 當(dāng)= 0時(shí)，彈簧為原長(zhǎng)。求：保持平衡狀態(tài)時(shí)P、Q與的關(guān)系。ABCDEXYPQ.XYABCDEPQ解：應(yīng)用解析法A

22、點(diǎn)縱坐標(biāo)：sin3lyAB點(diǎn)橫坐標(biāo)：cos2lxBC點(diǎn)橫坐標(biāo)：cos2lxC求變分（給一個(gè)虛位移）cos3lyAsin2lxBsin2lxCAyBxCx.求虛功求虛功ABCDEXYPQAyBxCxcos31lPyPWAcos3lyAsin2lxBsin2lxC彈性力虛功，設(shè)0)cos(cos20lkkFe方向如圖FeFesin)cos(cos4022klWsin23lQxQWC.03)(4202coslPsincoscosklsinlQ虛位移原理0iW0321WWW)cos(cos2cot230lkPQ.已知:OA=AB=l ,C為AB中點(diǎn), 彈簧OB的剛度系數(shù)為k 。AB上作用主動(dòng)力偶M和主

23、動(dòng)力F, 方向垂直向上, 作用點(diǎn)C ，不計(jì)桿件自重。設(shè)系統(tǒng)在圖示位置處于平衡狀態(tài), 求彈簧變形量。30MFOABC.解:系統(tǒng)單自由度,其中AB作平面一般運(yùn)動(dòng),p為速度瞬心30MFOABCArBrCrp以AB桿轉(zhuǎn)動(dòng)角為廣義坐標(biāo),寫出M, F和Fe 所做的虛功:MW130cos22lFWFrC30sin23lkWeBrF虛位移原理:0iW0)43(lkFlMklMFl 43.虛位移原理用于求解約束反力虛位移原理用于求解約束反力aaaPbMABCD試求圖示結(jié)構(gòu)A截面的約束反力。.aaaPbMABCDFAxFAyMA解：解：A截面約束反力如圖。結(jié)構(gòu)自由度為零，為求解約束反力，逐個(gè)解除對(duì)應(yīng)約束反力的約束

24、。.FAxaaaPbMABCD求解FAx 解除對(duì)應(yīng)約束后，給一個(gè)與FAx 對(duì)應(yīng)的虛位移AxrAxrDrBrCr各點(diǎn)虛位移ADCBrrrr系統(tǒng)虛功0BrPBW0MWM0AAxirFW0AxF.aaaPbMABCDFAyp解除對(duì)應(yīng)FAy 的約束，給一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的虛位移AyrAyrCrBrDrDC對(duì)應(yīng)各力虛功AAyArFWBBrPWarMMWCMCBArrr注意各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系虛功方程0)(AAyraMPFaMPFAy.解除與MA 對(duì)應(yīng)的約束，各點(diǎn)虛位移如圖 aaaPbMABCDMAACrBrDrDC虛功方程0DCBAAMrPM)23(MPaMA0)23(AAMPaM即ABar3AACDCaaa

25、r22虛位移間的關(guān)系.應(yīng)用虛位移原理求解靜力學(xué)平衡問題分析過(guò)程應(yīng)用虛位移原理求解靜力學(xué)平衡問題分析過(guò)程1）確定系統(tǒng)自由度數(shù)，選定與之對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)。確定系統(tǒng)自由度數(shù)，選定與之對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)。 若求解約束力（這時(shí)系統(tǒng)自由度數(shù)為零），則放松與之對(duì)應(yīng)的約束，代之以約束力并將其視為主動(dòng)力。3）給廣義坐標(biāo)一個(gè)虛位移給廣義坐標(biāo)一個(gè)虛位移 qj，建立與（廣義）主動(dòng)力對(duì)，建立與（廣義）主動(dòng)力對(duì)應(yīng)的（廣義）虛位移應(yīng)的（廣義）虛位移 rp 和和 qj 的關(guān)系的關(guān)系。4）求（廣義）主動(dòng)力在對(duì)應(yīng)的（廣義）虛位移求（廣義）主動(dòng)力在對(duì)應(yīng)的（廣義）虛位移 rp 上做的上做的虛功。虛功。5）建立系統(tǒng)虛功方程。建立系統(tǒng)虛功方程

26、。2）分析系統(tǒng)中每一個(gè)剛體（約束許可）的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。分析系統(tǒng)中每一個(gè)剛體（約束許可）的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。.PABCDEKaaaa求圖示結(jié)構(gòu)C截面的約束反力.PABCDEKaaaaXC解：1）求C截面水平約束力放松C截面水平方向約束，代之以約束力XC.PABCDEKaaaarCrB給C截面水平方向一個(gè)虛位移rCB點(diǎn)虛位移rB方向如圖B點(diǎn)為CB桿速度瞬心，即rB = 0于是D點(diǎn)虛位移rD方向如圖rDAB桿不動(dòng)，DK桿E點(diǎn)虛位移rE方向如圖rEC為DK桿速度瞬心， DK桿角位移DKDKararCDDK2虛功方程02CCDKrXaP)(PXC即Kr2CDrr大小.PABCDEKaaaaYC求C截面垂直約束力YC

27、放松C截面垂直方向約束，代之以約束力YC.A點(diǎn)為CB桿速度瞬心，于是D點(diǎn)虛位移rD方向如圖另一方面，由基點(diǎn)法DDEErrrCBAE給C截面垂直方向一個(gè)虛位移rCB點(diǎn)虛位移rB方向如圖，CBAB？CBADDDreEEErrrr于是PABCDEKaaaaCBABrB rCeErrErrEDrD注意：21tan52tan11cos251tan1tansin25522aaAD2aAE E點(diǎn)虛位移reEEErrr（AB建動(dòng)系，DK桿上E為動(dòng)點(diǎn)）.CBeEar2CBDar5DDreEEErrrreEDEDrrrcos45cos向軸投影：解出：CBDeEEDaarrr)cos102()cos(25223)sin(cos22)45cos(cos注意：CBEDar得：于是CBKDar2rEreErAPKrEDDEDECBKDrrD45.虛功方程CBCCCYaYrYWC20PYWWWC0CYCBCar2cosDKDKyrrrPABCDEKaaaa rCCBYCrKyKDrrD)cos(DKDKyPrrPrPW0)5252(CBaaPCBDar5CBKDar2.有勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件和