高等數(shù)學(xué)：8-4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、1復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則全微分形式不變性全微分形式不變性小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的多元復(fù)合函數(shù)的 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用2一、一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則法則(鏈導(dǎo)法則鏈導(dǎo)法則)證證),()(tttu 則則);()(tttv ，獲得增量獲得增量設(shè)設(shè)tt 1. 中間變量為中間變量為一元函數(shù)一元函數(shù))(),(),(tvtuvufz 的情形的情形.定理定理,)()(可導(dǎo)可導(dǎo)都在點(diǎn)都在點(diǎn)及及如果函數(shù)如果函數(shù)ttvtu ),(),(vuvufz在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)函數(shù)函數(shù) ,)(),(可導(dǎo)可導(dǎo)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)

2、在對(duì)應(yīng)點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)tttfz 且且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算: tzdd多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), tuuzdd.ddtvvz 3 z tz,ddtutu ,ddtvtv 可微可微)( ovBuAz 由于函數(shù)由于函數(shù)),(),(vuvufz在點(diǎn)在點(diǎn) 有有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) vvzuuz,21vu ,0, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) vu0, 021 tvvztuuztvtu 21 ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t0, 0 vu tzt0lim多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 tuuzddtvvzdd tzdd4復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的中間變

3、量多于兩個(gè)中間變量多于兩個(gè)的情況的情況.定理推廣定理推廣 tzdduvwtz導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)tzdd變量樹圖變量樹圖 三個(gè)中間變量三個(gè)中間變量),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu uz vz tudd wz tvdd twdd 稱為稱為多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則5項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)問問:每一項(xiàng)每一項(xiàng)中間變量中間變量函數(shù)對(duì)函數(shù)對(duì)中間變量中間變量的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)該中間變量對(duì)其該中間變量對(duì)其指定自變量指定自變量的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù)或?qū)?shù)).的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù). 函數(shù)對(duì)某自變量的偏導(dǎo)數(shù)之結(jié)構(gòu)函數(shù)對(duì)某自變量的偏導(dǎo)數(shù)之結(jié)構(gòu)),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu 多元復(fù)合

4、函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 tzdduz vz tudd wz tvdd twdd 6例例 設(shè)設(shè) 求求xydd這是冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這是冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但用但用全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式較簡便較簡便.法二法二 xyddyuvx,)(cossin xxy 解解 法一法一,cos xu 令令)(cosln)sin(1xuuxvuvv tancosln)(cos2sin1xxxx vuy 則則可用可用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法計(jì)算計(jì)算.,sin xv xuuyddxvvydd 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則7多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則),(),(),(yxvyxuvuf

5、z ).,(),(yxyxfz 復(fù)合函數(shù)為復(fù)合函數(shù)為,xvvzxuuzxz ),(),(),(yxyxvyxu都在點(diǎn)都在點(diǎn)及及如果如果 ,的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和和具有對(duì)具有對(duì)yx在對(duì)在對(duì)且函數(shù)且函數(shù)),(vufz ),(vu應(yīng)點(diǎn)應(yīng)點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)),(),(yxyxfz 的兩個(gè)的兩個(gè)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(yx偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在, 且可用下列公式計(jì)算且可用下列公式計(jì)算 兩個(gè)中間變量兩個(gè)中間變量 兩個(gè)自變量兩個(gè)自變量具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),2.的情形的情形.zzuz vyuyv y 8uvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 變量樹圖變量樹圖uv多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

6、則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ( , ),( , )zfx yx y9解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cos()sin(yxyxxexy 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例例 ,sinyxvxyuvezu 設(shè)設(shè).yzxz 和和求求10中間變量多于兩個(gè)的情形中間變量多于兩個(gè)的情形 xz yz類似地再推廣類似地再推廣,),(),(),(yxwyxvyxu 設(shè)設(shè),),(的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和和處具有對(duì)處具有對(duì)都在點(diǎn)都在點(diǎn)yxyx復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)),(),(),(yxy

7、xyxfz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(yx的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在, 且可用下列公式計(jì)算且可用下列公式計(jì)算:三個(gè)中間變量兩個(gè)自變量三個(gè)中間變量兩個(gè)自變量vuwzwvuyx xuuz xvvzxwwz yuuz yvvzywwz 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則11例例 設(shè)設(shè),1222wvuz xz 解解22232()()uxvxwyuvw自己畫變量樹自己畫變量樹uwvuuz2)(2123222 xxu2 求求,2222yxvyxu .2xyw xwwzxvvzxuuzxz 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則12只有一個(gè)中間變量只有一個(gè)中間變量),(),(yxuyxuf

8、z 其其中中即即,),(yxyxfz xz yz兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.的情形的情形.xwwzxvvzxuuzxz 把復(fù)合函數(shù)把復(fù)合函數(shù),),(yxyxfz 中的中的y看作不變而對(duì)看作不變而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)),(yxufz 把把中的中的u及及y看作不變看作不變而對(duì)而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)ywwzyvvzyuuzyz xuufuv w xv xw yv. 1, 1, 0, 0 yw,xf yuuf.yf 13sin(),uzzexyuxyx而求yz 解解xfxuufxz yfyuufyz zuxyxy變量樹圖變量樹圖sin()cos(

9、)uuexyyexy)sin(yxeu 例例多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則)cos(yxeu x 14 例例 設(shè)設(shè) f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,22xu 求求.2txu 變量樹圖變量樹圖ursxtxssfxrrf 或記或記 sfxtrfx 22 u對(duì)中間變量對(duì)中間變量 r,s 的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ),(22xttxfu 注注從而也是從而也是自變量自變量x, t 的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù). 解解),(srf都是都是x, t 的函數(shù)的函數(shù), 對(duì)抽象函數(shù)在求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)對(duì)抽象函數(shù)在求偏導(dǎo)數(shù)時(shí), 一定要設(shè)中間變量一定要設(shè)中間變量.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則sr x

10、u12,ffffrs,ffrs15sfxtrfx 22xu .2442322422222sfxtsfxtsrfxtrfxrf rfxu 222ursxt變量樹圖變量樹圖,22xu 求求.2txu rs 設(shè)設(shè) f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(22xttxfu x2 )2xt sfxt 322xt 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 srf 2)2x rsf 2(22rf x2 (22sf 2xt 16rs.21242232222222sfxtrsfxtsfxsrfrfxt ursxt變量樹圖變量樹圖 txu2,22xu 求求.2txu 設(shè)設(shè) f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階

11、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(22xttxfu sfxtrfx 22xu sfx 212xt )122xsf trfx2(222 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則)1x (rsf 2t 2 2fr s 17多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則解解具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且滿足且滿足, 12222 vfuf),(21,),(22yxxyfyxg 又又.2222ygxg 求求vu,xvfyufxg 2003年考研數(shù)學(xué)三年考研數(shù)學(xué)三, 8分分).( yvfxufyg 故故 22xg.2222222222vfvfyvufxyufxyg ,22222222vfvfxvufxyu

12、fy yufy22( )2xvuf vf ),2yuvf xvfx22( 22yx ( , )f u v18由由例例,)1(22 yuxu.)2(2222yuxu sin,cosryrx 解解 ),(yxfu現(xiàn)將現(xiàn)將22 yuxu2222yuxu , r用用),( rF 把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換為把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系中的形式中的形式:),(yxfu 設(shè)設(shè) 的所有的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),)sin,cos( rrf函數(shù)函數(shù)),(yxfu 換成極坐標(biāo)換成極坐標(biāo) 及及r的函數(shù)的函數(shù):及及 以及函數(shù)以及函數(shù)),( rFu , r對(duì)對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)來表達(dá)來表達(dá).多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

13、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則19復(fù)合而成復(fù)合而成. xu2ryurxru ruxyruru sincos cos xrrx sin (1)看成由看成由),(yxfu xyarctan ,22yxr ),( rFu 及及 xrruxu 22)1( yuxu多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則20 yu2rxuryru ruru cossin sin yrry cos 2221 urru得得22 yuxu yrruyu xyarctan ,22yxr ),( rFu ruxy xururu sincos 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則21ruruxu sincos (2) 22xu

14、r sin ruxyru u)sincos(rurux ru2ru 2),(yxfu 設(shè)設(shè) 的所有的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)x 2222)2(yuxu cos多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則22ru xr x )sin( 22 u x xr sin)1(2r x xr r1 cos cos xrrx sin 22 ururrurrurru222222222cossin2sinsincossin2cos同理可得同理可得(自己練自己練) ururrurrurruyu222222222222cossin2coscoscossin2sin多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

15、 sin yrry cos 23兩式相加兩式相加,得得:22222222211 urrurruyuxu)(1222 ururrrr多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則24多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例例假設(shè)流體中一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為假設(shè)流體中一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為),(zyxvvvv 其中其中),(tzyxfvx ),(tzyxgvy );,(tzyxhvz 由于質(zhì)點(diǎn)隨流體運(yùn)動(dòng)由于質(zhì)點(diǎn)隨流體運(yùn)動(dòng),故其位置故其位置),(zyx也隨時(shí)間也隨時(shí)間t 而變化而變化.).(),(),(tzztyytxx 即即試求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度試求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度.dd,dd,dd tvtvtvazy

16、x1dddddddd tvtzzvtyyvtxxvtvxxxxx答案答案.4321fzfyfxf 時(shí)變加速度時(shí)變加速度位變加速度位變加速度25 已知已知f(t)可微可微,證明證明 滿足方程滿足方程)(22yxfyz .112yzyzyxzx 提示提示)(tfyz t, y 為中間變量為中間變量, x, y 為自變量為自變量.,)()(22tftfxyxz .)()(2)(122tftfytfyz 引入中間變量引入中間變量,則則,22yxt 令令多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則26二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性),(vufz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有

17、則有全微分全微分;dddvvzuuzz ,),(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yxvyxu 則有全微分則有全微分,dddyyzxxzz xvvzxuuz yvvzyuuz yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz 全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則27解解0)2(d zxyeze)(dxyexy zezd)2(yexexeyezzxyzxyd)2(d)2(d xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例例, 02 zxyeze已知已知.yzxz 和和求求zd2 zezd 0 )dd(xyyxexy 通過全微分求所有一階偏導(dǎo)數(shù)通過

18、全微分求所有一階偏導(dǎo)數(shù),比鏈比鏈導(dǎo)法則求偏導(dǎo)數(shù)有時(shí)會(huì)顯得靈活方便導(dǎo)法則求偏導(dǎo)數(shù)有時(shí)會(huì)顯得靈活方便.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則281994年研究生考題年研究生考題,計(jì)算計(jì)算,3分分,),(),(均均連連續(xù)續(xù)可可微微設(shè)設(shè)gfxyxgvxyxfu xvxu 求求)1()(ygfyfxvxuxyx 答案：答案：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則291989年研究生考題年研究生考題,計(jì)算計(jì)算,5分分,)(),()2(二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)其其中中設(shè)設(shè)tfxyxgyxfz .,),(2yxzvug 求求有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù) 解解,2yxt 設(shè)設(shè) xz yxz20( vugy2

19、ttuvvvvfxgxygg 1 vg 0 uugxguv vg )xgvv ,xu xyv tf 2 ug y 2( 1)ttf 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則301990年研究生考題年研究生考題,計(jì)算計(jì)算,5分分yxz 2求求 解解 xz yxz2xyfvcos xyvsin xycos vfx cossin xfvv sin xfuv uvuufxyxf )cossin2(2vvvfxfxxy coscossin,2yxu 設(shè)設(shè)2 uf)1( 2 uuf( 1)vuf 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),(2, sin ),( ,

20、)zfxy yxf u v設(shè)其中311992年研究生考題年研究生考題,計(jì)算計(jì)算,5分分yxz 2求求 解解,sin yeux 22yxv xzxfv2 yxz2yefxucos )2yfuv x2yyef yyexuuxsin(2cossin2 uxvvuvf yefxyfyx cos4)cosyexsin )2yfvv 設(shè)設(shè)yefxusin yefxuucos( 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),22(sin ,),( , )xzf ey xyf u v設(shè)其中有(cosxvuf ey32) )1 ,1(,1()1(ff )(dd3xx 1)1 ,1( fxxdd)(32 3 ),(,(1xxfxf )(,(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 351 ,1)1 ,1( f,),(,()(xxfxfx ,2)1 , 1( xf求求.1)(dd3 xxx ),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)處可微處可微, ,且且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),3)1 , 1( yf解解2 3)32( 2001年考研數(shù)學(xué)一年考研數(shù)學(xué)一, 6分分多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則由題設(shè)由題設(shè)1 x1 x