導數(shù)的計算(一)（優(yōu)選課資）

1、一、復習一、復習1.導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義導數(shù)的物理物理意義導數(shù)的物理物理意義2.求函數(shù)的導數(shù)的方法是求函數(shù)的導數(shù)的方法是:(1)()( );yf xxf x 求函數(shù)的增量(2):()( );yf xxf xxx求函數(shù)的增量與自變量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求極限，得導函數(shù)說明說明:上面的方上面的方法中把法中把x換換x0即即為求函數(shù)在點為求函數(shù)在點x0處的處的 導數(shù)導數(shù). 1青苗學班B幾種常見函數(shù)的導數(shù)幾種常見函數(shù)的導數(shù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則式及導數(shù)的運算法則2青苗學班B二、幾種常見函數(shù)的導數(shù)二、幾種常見函數(shù)的導數(shù)根據(jù)導數(shù)的定義可

2、以得出一些常見函數(shù)的導數(shù)公式根據(jù)導數(shù)的定義可以得出一些常見函數(shù)的導數(shù)公式.1. 函數(shù)函數(shù)y=f(x)=c (c為常數(shù)為常數(shù))xxfy)(. 22)(. 3xxfy3)(. 4xxfyxxfy1)(. 5xxfy)(. 63青苗學班B1.函數(shù)函數(shù) y = f (x) =c 的導數(shù)的導數(shù)y=cyxO ，因0 xccxxfxxfxy. 00limlim 00 xxxyy所以y=0表示函數(shù)y=x圖象上每一點處的切線的斜率都為0.若y=c表示路程關于時間的函數(shù),則y=0則為某物體的瞬時速度始終為0,即一直處于靜止狀態(tài).從幾何的角度理解：從幾何的角度理解：從物理的角度理解：從物理的角度理解：4青苗學班B2

3、.函數(shù)函數(shù) y= f (x)=x 的導數(shù)的導數(shù) ，因為1 xxxxxxfxxfxy. 11limlim 00 xxxyy所以y=xyxOy=1表示函數(shù)y=x圖象上每一點處的切線斜率都為1.若y=x表示路程關于時間的函數(shù),則y=1可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動.從幾何的角度理解：從幾何的角度理解：從物理的角度理解：從物理的角度理解：5青苗學班B探究在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)y=2x,y=3x,y=4x的圖象,并根據(jù)導數(shù)定義,求它們的導數(shù).(1)從圖象上看,它們的導數(shù)分別表示什么?(2)這三個函數(shù)中,哪一個增加得最快?哪一個增加得最慢?(3)函數(shù)y=kx(k0)增(減)的快慢與什么

4、有關?21-1-2-2-112xyy=xy=2xy=3xy=4x6青苗學班B函數(shù)函數(shù) y= f (x)= kx 的導數(shù)的導數(shù) xxfxxfxy 因為.limlim 00kkxyyxx所以，kxkxxkkxxkxxxk7青苗學班B3.函數(shù)函數(shù) y = f (x) = x2 的導數(shù)的導數(shù) xxxxxxfxxfxy22 因為xxxxxx2222xx 2.22limlim 00 xxxxyyxx所以y=x2yxO8青苗學班B y =2x表示函數(shù)y=x2圖象上點(x,y)處切線的斜率為2x,說明隨著x的變化,切線的斜率也在變化.從導數(shù)作為函數(shù)在一點的瞬時變化率來看,y=2x表明: 當x0時,隨著x的增加

5、,y=x2增加得越來越快. 若y=x2表示路程關于時間的函數(shù),則y=2x可以解釋為某物體作變速運動,它在時刻x的瞬時速度為2x.從幾何的角度理解：從幾何的角度理解：從物理的角度理解：從物理的角度理解：9青苗學班B4.函數(shù)函數(shù) y = f (x) = 的導數(shù)的導數(shù)x1 xxxxxxfxxfxy11 因為，xxxxxxxxxx21.11limlim 2200 xxxxxyyxx所以10青苗學班B探究畫出函數(shù) 的圖象.根據(jù)圖象,描述它的變化情況,并求出曲線在點(1,1)處的切線方程.xy121-1-2-2-112xy11青苗學班B5.函數(shù)函數(shù) y = f (x) = 的導數(shù)的導數(shù)x xxxxxxfx

6、xfxy 因為xxxxxxxxxx，xxx1.211limlim 00 xxxxxyyxx所以12青苗學班B小結1.若 f (x)=c（c為常數(shù)）, 則f (x)=0 ；2.若 f (x)=x, 則f (x)=1 ；3.若 f (x)=x2 ,則f (x)=2x ； ；則若21,1. 4xxfxxf .21,. 5xxfxxf則若)(1是常數(shù)xx13青苗學班B這個公式稱為冪函數(shù)的導數(shù)公式這個公式稱為冪函數(shù)的導數(shù)公式.事實上事實上 可以是任意實數(shù)可以是任意實數(shù). )()(Qxxfy1/xy推廣推廣:14青苗學班B基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.

7、nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=e ，則f(x)=e若f(x)=e ，則f(x)=e1 1若f(x)=log x，則f(x)=若f(x)=log x，則f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，

8、則f(x)=若f(x)=lnx，則f(x)=x x15青苗學班B練習：練習：1 1 求下列冪函數(shù)的導數(shù)求下列冪函數(shù)的導數(shù)35325)4()3(1)2(1xyxyxyxy）（16青苗學班B).2(,2)2(3fxy求已知).1(,)1(2fxxy求已知2:2:17青苗學班B法則法則1:兩個函數(shù)的和兩個函數(shù)的和(差差)的導數(shù)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法則法則2:兩個函數(shù)的積的導數(shù)兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)加上第一個

9、函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù) ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x法則法則3:兩個函數(shù)的積的導數(shù)兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)函數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù) ,再除以第二個函再除以第二個函數(shù)的平方數(shù)的平方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x18青苗學班B例例. 求函數(shù)求函數(shù)y=x3-2x2+3的導數(shù)的導數(shù). 推論推論:)()(/xcfxcf19青苗學班B1.已知曲線已知曲線C：f(

10、x)=x3求曲線求曲線C上橫坐標為上橫坐標為1的點處的切線方程的點處的切線方程2.求過點（求過點（2,0）與曲線）與曲線 相切的切線相切的切線方程方程xy120青苗學班B 3.已知已知P（-1，1），），Q（2，4）是曲線）是曲線y=x2上的兩點，求與直線上的兩點，求與直線PQ平行的曲線平行的曲線y=x2的切線方程。的切線方程。21青苗學班B看幾個例子:2log2.yx例3.已知x，求曲線在點 處的切線方程12(2)22ln2yx22青苗學班Bcos5.6yxx例4.已知，求曲線在點 處的切線方程315()226yx 41(1).;(2).yxyxx例5：求下列函數(shù)的導數(shù)54yx 1232yx

11、23青苗學班B10p例例6.假設某國家在假設某國家在20年期間的年平均通貨膨年期間的年平均通貨膨脹率為脹率為5%,物價物價p(元元)與時間與時間t(年年)有如下函有如下函數(shù)關系數(shù)關系 ,其中其中 為為t=0時的時的物價物價.假定某種商品的假定某種商品的 ,那么在第那么在第10個個年頭年頭,這種商品的價格上漲的速度大約是多這種商品的價格上漲的速度大約是多少少?(精確到精確到0.01)tptp%)51 ()(00p50p思考思考:如果上式中某種商品的如果上式中某種商品的 ,那么在那么在第第10個年頭個年頭,這種商品的價格上漲的速度大這種商品的價格上漲的速度大約是多少約是多少?24青苗學班B練習練習:求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù):2212(1);(2);1(3)tan ;yxxxyxyx答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy 25青苗學班B四、小結四、小結