導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(一)（優(yōu)選課資）

1、一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的物理物理意義導(dǎo)數(shù)的物理物理意義2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法是:(1)()( );yf xxf x 求函數(shù)的增量(2):()( );yf xxf xxx求函數(shù)的增量與自變量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求極限，得導(dǎo)函數(shù)說明說明:上面的方上面的方法中把法中把x換換x0即即為求函數(shù)在點(diǎn)為求函數(shù)在點(diǎn)x0處的處的 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). 1青苗學(xué)班B幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則2青苗學(xué)班B二、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可

2、以得出一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可以得出一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.1. 函數(shù)函數(shù)y=f(x)=c (c為常數(shù)為常數(shù))xxfy)(. 22)(. 3xxfy3)(. 4xxfyxxfy1)(. 5xxfy)(. 63青苗學(xué)班B1.函數(shù)函數(shù) y = f (x) =c 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)y=cyxO ，因0 xccxxfxxfxy. 00limlim 00 xxxyy所以y=0表示函數(shù)y=x圖象上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0.若y=c表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù),則y=0則為某物體的瞬時(shí)速度始終為0,即一直處于靜止?fàn)顟B(tài).從幾何的角度理解：從幾何的角度理解：從物理的角度理解：從物理的角度理解：4青苗學(xué)班B2

3、.函數(shù)函數(shù) y= f (x)=x 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，因?yàn)? xxxxxxfxxfxy. 11limlim 00 xxxyy所以y=xyxOy=1表示函數(shù)y=x圖象上每一點(diǎn)處的切線斜率都為1.若y=x表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù),則y=1可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為1的勻速運(yùn)動(dòng).從幾何的角度理解：從幾何的角度理解：從物理的角度理解：從物理的角度理解：5青苗學(xué)班B探究在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)y=2x,y=3x,y=4x的圖象,并根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,求它們的導(dǎo)數(shù).(1)從圖象上看,它們的導(dǎo)數(shù)分別表示什么?(2)這三個(gè)函數(shù)中,哪一個(gè)增加得最快?哪一個(gè)增加得最慢?(3)函數(shù)y=kx(k0)增(減)的快慢與什么

4、有關(guān)?21-1-2-2-112xyy=xy=2xy=3xy=4x6青苗學(xué)班B函數(shù)函數(shù) y= f (x)= kx 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) xxfxxfxy 因?yàn)?limlim 00kkxyyxx所以，kxkxxkkxxkxxxk7青苗學(xué)班B3.函數(shù)函數(shù) y = f (x) = x2 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) xxxxxxfxxfxy22 因?yàn)閤xxxxx2222xx 2.22limlim 00 xxxxyyxx所以y=x2yxO8青苗學(xué)班B y =2x表示函數(shù)y=x2圖象上點(diǎn)(x,y)處切線的斜率為2x,說明隨著x的變化,切線的斜率也在變化.從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率來看,y=2x表明: 當(dāng)x0時(shí),隨著x的增加

5、,y=x2增加得越來越快. 若y=x2表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù),則y=2x可以解釋為某物體作變速運(yùn)動(dòng),它在時(shí)刻x的瞬時(shí)速度為2x.從幾何的角度理解：從幾何的角度理解：從物理的角度理解：從物理的角度理解：9青苗學(xué)班B4.函數(shù)函數(shù) y = f (x) = 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)x1 xxxxxxfxxfxy11 因?yàn)?，xxxxxxxxxx21.11limlim 2200 xxxxxyyxx所以10青苗學(xué)班B探究畫出函數(shù) 的圖象.根據(jù)圖象,描述它的變化情況,并求出曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程.xy121-1-2-2-112xy11青苗學(xué)班B5.函數(shù)函數(shù) y = f (x) = 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)x xxxxxxfx

6、xfxy 因?yàn)閤xxxxxxxxx，xxx1.211limlim 00 xxxxxyyxx所以12青苗學(xué)班B小結(jié)1.若 f (x)=c（c為常數(shù)）, 則f (x)=0 ；2.若 f (x)=x, 則f (x)=1 ；3.若 f (x)=x2 ,則f (x)=2x ； ；則若21,1. 4xxfxxf .21,. 5xxfxxf則若)(1是常數(shù)xx13青苗學(xué)班B這個(gè)公式稱為冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式這個(gè)公式稱為冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.事實(shí)上事實(shí)上 可以是任意實(shí)數(shù)可以是任意實(shí)數(shù). )()(Qxxfy1/xy推廣推廣:14青苗學(xué)班B基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.

7、nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=e ，則f(x)=e若f(x)=e ，則f(x)=e1 1若f(x)=log x，則f(x)=若f(x)=log x，則f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，

8、則f(x)=若f(x)=lnx，則f(x)=x x15青苗學(xué)班B練習(xí)：練習(xí)：1 1 求下列冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)35325)4()3(1)2(1xyxyxyxy）（16青苗學(xué)班B).2(,2)2(3fxy求已知).1(,)1(2fxxy求已知2:2:17青苗學(xué)班B法則法則1:兩個(gè)函數(shù)的和兩個(gè)函數(shù)的和(差差)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法則法則2:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)加上第一個(gè)

9、函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x法則法則3:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)函數(shù),減去第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)減去第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,再除以第二個(gè)函再除以第二個(gè)函數(shù)的平方數(shù)的平方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x18青苗學(xué)班B例例. 求函數(shù)求函數(shù)y=x3-2x2+3的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 推論推論:)()(/xcfxcf19青苗學(xué)班B1.已知曲線已知曲線C：f(

10、x)=x3求曲線求曲線C上橫坐標(biāo)為上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程的點(diǎn)處的切線方程2.求過點(diǎn)（求過點(diǎn)（2,0）與曲線）與曲線 相切的切線相切的切線方程方程xy120青苗學(xué)班B 3.已知已知P（-1，1），），Q（2，4）是曲線）是曲線y=x2上的兩點(diǎn)，求與直線上的兩點(diǎn)，求與直線PQ平行的曲線平行的曲線y=x2的切線方程。的切線方程。21青苗學(xué)班B看幾個(gè)例子:2log2.yx例3.已知x，求曲線在點(diǎn) 處的切線方程12(2)22ln2yx22青苗學(xué)班Bcos5.6yxx例4.已知，求曲線在點(diǎn) 處的切線方程315()226yx 41(1).;(2).yxyxx例5：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)54yx 1232yx

11、23青苗學(xué)班B10p例例6.假設(shè)某國(guó)家在假設(shè)某國(guó)家在20年期間的年平均通貨膨年期間的年平均通貨膨脹率為脹率為5%,物價(jià)物價(jià)p(元元)與時(shí)間與時(shí)間t(年年)有如下函有如下函數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系 ,其中其中 為為t=0時(shí)的時(shí)的物價(jià)物價(jià).假定某種商品的假定某種商品的 ,那么在第那么在第10個(gè)個(gè)年頭年頭,這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少少?(精確到精確到0.01)tptp%)51 ()(00p50p思考思考:如果上式中某種商品的如果上式中某種商品的 ,那么在那么在第第10個(gè)年頭個(gè)年頭,這種商品的價(jià)格上漲的速度大這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少約是多少?24青苗學(xué)班B練習(xí)練習(xí):求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):2212(1);(2);1(3)tan ;yxxxyxyx答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy 25青苗學(xué)班B四、小結(jié)四、小結(jié)