二次函數(shù)動點問題(提高篇).

1、數(shù)學壓軸題二次函數(shù)動點問題21. 如圖，拋物線 y ax bxc ( a 0) 與 x 軸交于 A( 3，0) 、B 兩點，與 y 軸相交于點C(0 ，23 ) 當 x 4 和 x 2 時，二次函數(shù)y ax bx c ( a 0) 的函數(shù)值 y 相等，連結(jié)AC、BC（1）求實數(shù)a， b，c 的值；（2）若點M、 N同時從B點出發(fā)，均以每秒1 個單位長度的速度分別沿BA、 BC邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動當運動時間為t秒時，連結(jié)MN，將 BMN沿 MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點P 的坐標；（3）在（ 2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得以B，

2、 N， Q為頂點的三角形與 ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由9a3bc0解：（ 1）由題意得 c316a4bc4a 2b c解得 a3 ， b 2 3 ， c 3 33（2）由（ 1）知 y3x2 3x3 ，令 y 0，得 3 x2 3 x3 0223333解得 x1 3， x2 1A( 3， 0) ， B(1 ， 0) 又 C(0 ，3 ) ， OA 3，OB 1， OC3 ，AB 4， BC 2 tan ACO OA 3 ， ACO60°， CAO 30°OC同理，可求得CBO 60°， BCO 30°， ACB 90

3、76; ABC是直角三角形又 BM BN t ， BMN是等邊三角形 BNM 60°， PNM 60°， PNC 60° Rt PNC Rt ABC， PN AB NCBC由題意知 PN BN t ， NC BCBN 2 t ，t 4 2t2t 4 OM BM OB 4 1 1 333如圖 1，過點 P 作 PH x 軸于 H，則 PHPM· sin60 ° 4×32 3323MH PM· cos60 ° 4× 1 2 OH OM MH 1 2 132333點 P的坐標為 (1， 2 3 )3（3）存在由

4、（ 2）知 ABC是直角三角形，若BNQ與 ABC相似，則 BNQ也是直角三角形二次函數(shù) y 3223 x3 的圖象的對稱軸為x 1點 P在對稱軸上x 33PN x 軸， PN對稱軸又 QN PN， PN BN， QNBN BNQ不存在以點Q為直角頂點的情形如圖 2，過點 N作 QN對稱軸于Q，連結(jié) BQ，則 BNQ是以點 N為直角頂點的直角三角形，且 QN PN， MNQ30°48 3 PNQ 30°， QNPN3cos30o39283QN92 3AC tan60° 3 ，QNACBN43BCBNBC3當 BNQ以點 N為直角頂點時，BNQ與 ABC不相似如圖

5、3，延長 NM交對稱軸于點Q，連結(jié) BQ，則 BMQ120° AMP 60°， AMQ BMN 60°， PMQ 120° BMQ PMQ，又 PM BM，QM QM BMQ PMQ， BQM PQM 30° BNM 60°， QBN 90° CAO 30°， ACB 90° BNQ ABC當 BNQ以點 B 為直角頂點時，BNQ ABC設(shè)對稱軸與x 軸的交點為D DMQ DMP 60°， DMDM， Rt DMQRt DMP ，點Q與點P關(guān)于x軸對稱點的坐標為( 1，2 3)DQ PDQ3綜合

6、得，在拋物線的對稱軸上存在點Q(1，2 3)，使得以， ，Q為頂點的三角3BN形與相似ABC22. 如圖，已知拋物線y ax bx 3（ a0）與 x 軸交于點A(1 ，0) 和點 B( 3，0) ，與 y軸交于點 C（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x 軸交于點 M，問在對稱軸上是否存在點P，使 CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P 的坐標；若不存在，請說明理由；（ 3）如圖，若點 E 為第二象限拋物線上一動點，連接 BE、 CE，求四邊形 BOCE面積的最大值，并求此時 E 點的坐標 ab30a1解：（ 1）由題意得解得a b 0b29332所求拋物線的解

7、析式為y x 2x 3；（2）存在符合條件的點P，其坐標為P(1，10)或P( 1，10 )或 P( 1，6) 或 P( 1，5 ) ； 3（3）解法一：2過點 E 作 EF x 軸于點 F，設(shè) E( m， m 2m 3) （ 3 a 0）2則 EF m 2m 3， BF m 3，OF mS四邊形 BOCES S1BF EF1( EF OC)·OF BEF梯形 FOCE·22 1 ( m3)( m 2m 3) 1 ( m 2m 6)( m) 2222 3 m 9 m 9 3 ( m3)6322222228當 m 3 時， S 四邊形 BOCE最大，且最大值為63 28此時

8、y ( 32( 3)315此時 E 點的坐標為 ( 3152) 2×242，) 4解法二：過點E 作 EF x 軸于點 F，設(shè) E( x， y) （ 3 x 0）則 S 四邊形 BOCES BEF S 梯形 FOCE 1 BF· EF 1 ( EF OC)· OF22 1 (3 x) · y 1 (3 y)( x) 3 ( yx) 3 ( x 3x 3) 22222 3 ( x3 ) 632228當 x 3 時， S 四邊形 BOCE最大，且最大值為63 28此時 y ( 323) 315此時 E 點的坐標為 (3152) 2×(242， )

9、43. 如圖，已知拋物線2y ax bx c 與 x 軸交于 A、B兩點，與 y 軸交于點 C其中點 A 在 x軸的負半軸上，點C在 y 軸的負半軸上，線段2OA、OC的長（ OAOC）是方程 x 5x 4 0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x1（ 1）求 A、 B、 C三點的坐標；（ 2）求此拋物線的解析式；（ 3）若點 D是線段 AB上的一個動點（與點 A、 B不重合），過點 D作 DEBC交 AC于點 E，連結(jié) CD，設(shè) BD的長為 m， CDE的面積為 S，求 S 與 m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍 S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時D點坐標；若不存在，請說明理由

10、2解：（ 1） OA、 OC的長是方程x 5x 40 的兩個根， OA OCOA 1， OC 4點A在x軸的負半軸，點C在y軸的負半軸（ 1， 0），（ 0， 4）AC2拋物線 y ax bx c 的對稱軸為x 1由對稱性可得B點坐標為（ 3， 0）A、 B、 C三點的坐標分別是：A（ 1，0）， B（3， 0）， C（ 0， 4）（2）點（ 0， 4）在拋物線y ax2bxc圖象上，c4 4分C2將 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）代入 y ax bx 4 得a 4ab40解得39a3b 4 0b 83此拋物線的解析式為y4 x 8 x 423 3（ 3） BD m， AD 4 m222

11、22在 Rt BOC中， BC OB OC 3 4 25， BC 5DE BC， ADE ABC DE AD ，即 DE 4 m DE 20 5m BCAB544過點 E 作 EF AB于點 F，則 sin EDF sin CBA OC 4BC5 EF 4 ， EF 4 DE 4 × 20 5m 4 mDE5554SS S S 1(4 m) × 41(4 m)(4m) 12m 2m CDE ADC ADE2221 ( m 2) 2（ 0 m 4）22 10當 m 2 時， S 有最大值 22此時 OD OB BD 3 2 1此時 D點坐標為（ 1， 0）4. 如圖，拋物線y

12、 a( x 3)( x 1) 與 x 軸相交于 A、B兩點（點 A 在點 B 右側(cè)），過點A 的直線交拋物線于另一點C，點 C的坐標為 ( 2， 6) （1）求 a 的值及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2） P 是線段 AC上一動點，過點P作 y 軸的平行線，交拋物線于點M，交 x 軸于點 N求線段 PM長度的最大值；在拋物線上是否存在這樣的點M，使得 CMP與 APN相似？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標（不必寫解答過程）；如果不存在，請說明理由解：（ 1）由題意得6 a( 2 3)( 2 1) ， a 22拋物線的解析式為y 2( x 3)( x 1) ，即 y 2x 4x 6令 2

13、( x 3)( x 1) 0，得 x1 3， x2 1點 A 在點 B 右側(cè)， A(1 ，0) ， B( 3， 0)設(shè)直線 AC的函數(shù)關(guān)系式為ykx b，把 A(1 ， 0) 、 C( 2，6) 代入，得 kb0解得 k2 22k b 6b直線 AC的函數(shù)關(guān)系式為y 2x 2（2）設(shè) P 點的橫坐標為m( 2 m 1) ，2則 P( m，2m 2) ，M( m，2m 4m 6) PM 2m 4m 6 ( 2m 2) 2m 2m 4 2( m1)922222當 m 1 時，線段 PM長度的最大值為9 22存在 .M1(0 ， 6), M2( 1，55)48) 如圖1，當M為直角頂點時，連結(jié)CM，則CM PM， CMP ANP2點 C( 2， 6) ，點 M的縱坐標為6，代入 y 2x 4x 62得 2x 4x6 6， x 2（舍去）或x 0 M1(0 ， 6)（此時點 M在 y 軸上，即拋物線與y 軸的交點，此時直線MN與 y 軸重合，點 N與原點 O重合）) 如圖 2，當 C為直角頂點時，設(shè)2 2 m 1)M( m， 2m 4m 6)(過 C作 CH MN于 H，連結(jié) CM，設(shè)直線 AC與 y