九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)及經(jīng)典例題

1、二次函數(shù)知識點總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念： 一般地，形如yax2bx ca ，b ，c是常數(shù)， a0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這（里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a 0 ，而 b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù) y ax2bx c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a ，b ，c是常數(shù)， a 是二次項系數(shù)，b 是一次項系數(shù)， c 是常數(shù)項二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：yax2 的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a00 ，0x0 時， y

2、隨 x 的增大而增大； x0 時， y 隨向上y 軸x 的增大而減??；x 0 時， y 有最小值 0 a00 ，0x0 時， y 隨 x 的增大而減?。?x0 時， y 隨向下y 軸x 的增大而增大；x 0 時， y 有最大值 0 2. y ax2 c 的性質(zhì)：上加下減。a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a0向上0 ，cy 軸x0 時， y 隨 x 的增大而增大； x 0 時， y 隨x 的增大而減小； x 0 時， y 有最小值 c a0向下0 ，cy 軸x0 時， y 隨 x 的增大而減小； x 0 時， y 隨x 的增大而增大； x 0 時， y 有最大值 c 3. ya x2h 的性

3、質(zhì)：左加右減。a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a0向上h，0X=hxh 時， y 隨 x 的增大而增大； x h 時， y 隨x 的增大而減小； x h 時， y 有最小值 0 a0向下h，0X=hxh 時， y 隨 x 的增大而減??； x h 時， y 隨x 的增大而增大； x h 時， y 有最大值 0 4. y a x2k 的性質(zhì)：ha 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a0h，kxh 時， y 隨 x 的增大而增大； xh 時， y 隨向上X=hx 的增大而減??；xh 時， y 有最小值 k a0h，kxh 時， y 隨 x 的增大而減小； xh 時， y 隨向下X=hx 的增大而增

4、大；xh 時， y 有最大值 k 三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式2h ，k ；y a x hk ，確定其頂點坐標 保持拋物線 yax2 的形狀不變，將其頂點平移到h ，k 處，具體平移方法如下：y=ax2向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k |個單位y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 ( h<0)】向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|個單位平移 |k|個單位平移 |k|個單位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|個單位

5、y=a(x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|個單位y=a( x-h)2+k2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ 值正右移，負左移；k值正上移，負下移 ”h概括成八個字“左加右減，上加下減”四、二次函數(shù)2與2的比較yaxhkya xb xc從解析式上看， yax2k 與 yax2bx c 是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，h2b2b ，kb 2即 ya xb4ac，其中 h4ac2a4a2a4a六、二次函數(shù) y ax2bxc 的性質(zhì)1.當 a0 時，拋物線開口向上，對稱軸為xb，頂點坐標為b ，4ac b22a2a4a當 xb時， y 隨 x 的增大

6、而減?。?a當 xb時， y 隨 x 的增大而增大；2a當 xb 時， y 有最小值 4ac b22a4a2. 當 a0 時，拋物線開口向下，對稱軸為xb ，頂點坐標為b ，4ac b2當 xb 時， y 隨2a2a4a2 ax 的增大而增大；當 xb 時， y 隨 x 的增大而減??；當 xb時， y 有最大值 4 ac b22a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式： yax 2bxc （ a ， b ， c 為常數(shù)， a0 ）；2.頂點式： ya ( xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a0 ）；3.兩根式（交點式） ： ya( x x1 )( x x2 ) （ a 0，

7、x1 ， x2是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與 x 軸有交點， 即 b24ac 0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 .八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項系數(shù) a 當 a0 時，拋物線開口向上， 當 a0 時，拋物線開口向下，a 的值越大，開口越小，反之 a 的值越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大；a 的值越大，開口越大2. 一次項系數(shù) b在二次項系數(shù)a 確定的前提下，b 決定了拋物線的對稱軸 （同左異右b 為 0 對稱軸為y

8、 軸）3. 常數(shù)項 c 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為正； 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點為坐標原點，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為 0 ； 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點在 x 軸下方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為負總結(jié)起來，c 決定了拋物線與y 軸交點的位置九、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點情況）：一元二次方程ax2bx c 0 是二次函數(shù) yax2bx c 當函數(shù)值 y0時的特殊情況 .圖象與 x 軸的交點個數(shù)： 當24ac0 時，圖象與 x 軸交于兩點 A x1 ，0 ，B x

9、2 ，0(x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方b程 ax2bxc0 a 0 的兩根 . 當0 時，圖象與 x 軸只有一個交點； 當0 時，圖象與 x 軸沒有交點 .1'當 a0 時，圖象落在x 軸的上方，無論x 為任何實數(shù)，都有y0；2'當 a0 時，圖象落在x 軸的下方，無論x 為任何實數(shù)，都有y02. 拋物線 yax2bxc 的圖象與y 軸一定相交，交點坐標為(0 ， c) ；二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題1. 二次函數(shù) y x2 4x 7 的頂點坐標是 ( )A.(2, 11)B.（ 2， 7）C.（ 2， 11）D.（ 2， 3）2. 把拋物線 y2x2

10、向上平移1 個單位，得到的拋物線是（）A. y2( x 1)2B.y2( x1)2 C.y2x21 D.y2x213. 函數(shù) ykx2k 和 yk (k0) 在同一直角坐標系中圖象可能是圖中的()x4.已知二次函數(shù)yax2bxc(a0) 的圖象如圖所示, 則下列結(jié)論 : a,b同號; 當 x 1和 x3 時 , 函數(shù)值相等 ; 4ab0 當 y2 時 ,x 的值只能取0. 其中正確的個數(shù)是 ()A.1 個B.2個C. 3個D. 4個5.已知二次函數(shù)yax2bxc(a0) 的頂點坐標（ -1 ， -3.2）及部分圖象 ( 如圖 ),由圖象可知關(guān)于x 的一元二次方程ax2bxc0 的兩個根分別是

11、x11.3和 x2（） . B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函數(shù)yax 2bx c 的圖象如圖所示，則點( ac,bc) 在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn) 第四象限7.方程 2xx22的正根的個數(shù)為（）xA.0 個B.1個C.2個 .3個8.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與 y 軸交于點 C, 且 OC=2.則這條拋物線的解析式為A. y x2x 2B.yx2x 2C. y x2x 2 或 yx2x 2D.yx2x 2 或 y x2x 2二、填空題9二次函數(shù) yx2bx3 的對稱軸是 x2 ，則 b_。10已知拋物線y=-2 （ x+3 ） 2+5 ，如果

12、y 隨 x 的增大而減小，那么 x 的取值范圍是 _.11一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點（1， 2），當 x 0 時，函數(shù)值 y 隨自變量 x 的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是（只寫一個即可） 。12拋物線 y2( x2)26的頂點為 C，已知直線 ykx 3 過點 C，則這條直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為。13. 二次函數(shù) y2x24x1 的圖象是由 y2x2bx c 的圖象向左平移 1 個單位 , 再向下平移2 個單位得到的 , 則 b=,c=。14如圖， 一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16 米，跨度是 40 米，在線段AB上離中心M處 5 米的地方，橋的高度是( 取

13、3.14).三、解答題：15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x 3 0 , 圖象經(jīng)過 (1,-6),且與 y 軸的交點為 (0,5).2(1)求這個二次函數(shù)的解析式 ;(2)當 x 為何值時 , 這個函數(shù)的函數(shù)值為 0?(3)當 x 在什么范圍內(nèi)變化時 , 這個函數(shù)的函數(shù)值y 隨 x 的增大而增大 ?第15題圖16. 某種爆竹點燃后，其上升高度h（米）和時間t （秒）符合關(guān)系式 h v0t1gt 2 （ 0<t 2），其中重力2加速度 g 以 10 米 / 秒 2 計算這種爆竹點燃后以v0=20 米 / 秒的初速度上升，（ 1）這種爆竹在地面上點燃后，經(jīng)過多少時間離地15 米？（ 2）在爆竹

14、點燃后的 1.5秒至 1.8 秒這段時間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由.17. 如圖，拋物線yx2bxc 經(jīng)過直線 yx3 與坐標軸的兩個交點 A、 B，此拋物線與 x 軸的另一個交點為（1）求此拋物線的解析式；（2）點 P為拋物線上的一個動點，求使的坐標。C，拋物線頂點為D.SAPC：SACD5 ：4的點 P18.紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結(jié)算，未售出的由廠家負責(zé)處理） 當每噸售價為260 元時，月銷售量為45 噸該建材店為提高經(jīng)營利潤，準備采取降價的方式進行促銷經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當每噸售價每下降10 元時，月銷售量就會增

15、加7.5 噸綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100 元設(shè)每噸材料售價為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）（1）當每噸售價是240 元時，計算此時的月銷售量；（2）求出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x 的取值范圍）；（ 3）該建材店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定為每噸多少元？（ 4）小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大 ”你認為對嗎？請說明理由二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練1、心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y 與提出概念所用的時間x（分）之間滿足函數(shù)關(guān)系：y = -0.1x2+2.6x + 43 (0 x30).（1）當 x 在什么范圍內(nèi)時，學(xué)生的接受能力逐步增強？當

16、x 在什么范圍內(nèi)時，學(xué)生的接受能力逐步減弱？（2）第 10 分鐘時，學(xué)生的接受能力是多少？（3）第幾分鐘時，學(xué)生的接受能力最強？2、如圖 , 已知 ABC是一等腰三角形鐵板余料, 其中 AB=AC=20cm,BC=24cm若.在 ABC上截出一矩形零件DEFG,使 EF在 BC上 , 點 D、 G分別在邊 AB、 AC上 .問矩形 DEFG的最大面積是多少?ADGBEFC3、如圖 , ABC中, B=90° ,AB=6cm,BC=12cm.點 P 從點 A 開始 , 沿 AB 邊向點 B 以每秒 1cm 的速度移動 ; 點 Q 從點 B 開始 , 沿著 BC邊向點 C 以每秒 2cm

17、的速度移動 . 如果 P,Q 同時出發(fā) , 問經(jīng)過幾秒鐘 PBQ的面積最大 ? 最大面積是多少 ?CQAPB4、如圖，一位運動員在距籃下4 米處跳起投籃， 球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5 米時，達到最大高度3.5 米，然后準確落入籃圈. 已知籃圈中心到地面的距離為3.05 米 .(1) 建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線的表達式;(2) 該運動員身高1.8 米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25 米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少 .y (0,3.5)3.05 mOx4 m5、如圖，要建一個長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50 m 長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔

18、墻的養(yǎng)雞場，設(shè)它的長度為x m.(1)要使雞場面積最大，雞場的長度應(yīng)為多少m？(2) 如果中間有n(n 是大于 1 的整數(shù) ) 道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場的長應(yīng)為多少m？比較 (1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？x6、某商場以每件20 元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量m(件) 與每件的銷售價x( 元 ) 滿足關(guān)系：m=140 2x.(1) 寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y 與每件的銷售價x 間的函數(shù)關(guān)系式;(2) 如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)圖像特征與 a、b、 c、符號的關(guān)系1、已知二

19、次函數(shù) yax 2bxc ，如圖所示，若 a0 ， c0 ，那么它的圖象大致是（）yyyyxxxxABCD2、已知二次函數(shù) yax 2bxc 的圖象如圖所示，則點 (ac,bc) 在 （）A第一象限B 第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限3、已知二次函數(shù) y = ax2y+ bx + c 的圖象如下，則下列結(jié)論正確的是（）Aab < 0Bbc < 0Ca + b + c > 0Da - b + c < 00x4、二次函數(shù) y=ax2 +bx+c（a0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：a>0； c>0；?b2-4ac>0，其中正確的個數(shù)是（）A0 個B1 個C2 個

20、D3 個c2）5、二次函數(shù) y=ax +bx+c 的圖像如圖 1，則點 M （b， a ）在（A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限6、二次函數(shù) yax2bxc 的圖象如圖所示，則（）A、 a0 ， b24ac0B、 a0 ， b24ac0C、 a0 ， b24ac0D、 a0 ， b24ac07、已知二次函數(shù)y=ax2）+bx+c 的圖象如圖所示，那么下列判斷不正確的是（A 、 ac 0B 、 a-b+c0C、 b=-4a2D、關(guān)于 x 的方程 ax+bx+c=0 的根是 x1=-1， x2=528、已知二次函數(shù)y=ax+bx+c（ a0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論： b 2 -4ac 0

21、； abc 0；8a+c 0；9a+3b+c 0其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A、1B、2C、3D、4二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題參考答案一，選擇題、1A2C3A4B 5 D 6 B 7 C 8 C二、填空題、9 b410 x -3 11如 y2 x24, y2x4 等（答案不唯一）12 113-8 71415三、解答題15 (1) 設(shè)拋物線的解析式為y ax2bx c , 由題意可得b32aabc6解得 a1 , b3,c5所以 y1 x23x55c22222(2)x1或-5 (2)x316（ 1）由已知得， 1520t110t 2 ，解得 t13, t 21 當 t3 時不合題意，舍去。所以當爆竹點燃

22、2后 1 秒離地 15 米（ 2）由題意得， h5t 220t 5(t2) 220 ，可知頂點的橫坐標t2 ，又拋物線開口向下，所以在爆竹點燃后的1.5 秒至 108秒這段時間內(nèi)，爆竹在上升17（ 1）直線 y x3 與坐標軸的交點93bc 0b2A（ 3， 0）， B（0， 3）則3解得c3c所以此拋物線解析式為yx22x3 （2）拋物線的頂點D（ 1， 4），與 x 軸的另一個交點C（ 1，0） . 設(shè) P(a,a22a 3)，則 (14a22a 3) : (144)5: 4 . 化簡得 a22a 3 522當 a22a3 0 時， a22a 3 5 得 a 4, a2P（ 4， 5）或

23、P（ 2， 5）當 a22a3 0 時， a22a35 即 a22a20 ，此方程無解綜上所述，滿足條件的點的坐標為（ 4， 5）或（ 2， 5）260 2407.5 =60（噸）（ 2） y ( x 100)(45260 x7.5) ，化簡得：18（ 1） 451010y3 x 2315x24000 （3）y3x 2315x240003( x210) 29075 444紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應(yīng)定為每噸210 元（ 4）我認為，小靜說的不對理由：方法一：當月利潤最大時，x 為 210 元，而對于月銷售額Wx( 45260x3( x160)219200來說，107.5)4當 x

24、為 160 元時，月銷售額W最大當 x 為 210 元時，月銷售額W不是最大小靜說的不對方法二：當月利潤最大時，x 為 210 元，此時，月銷售額為17325 元； 而當 x 為 200 元時，月銷售額為 18000 元 17325 18000，當月利潤最大時，月銷售額W不是最大小靜說的不對二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練參考答案1、 （ 1） 0 x13，13 x 30；（2）59；（3）13.2、過 A 作 AM BC 于 M, 交 DG 于 N,則 AM= 202122 =16cm.設(shè) DE=xcm,S 矩形 =ycm2,則由 ADG ABC,故 ANDG ,即 16 xDG ,故 DG= 3 (16-x).AMBC16242 y=DG·DE= 3 (16-x)x=- 3 (x 2-16x)=- 3 (x-8) 2+96,222從而當 x=8 時