專題15 半倍角模型-2020-2021學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)全一冊(cè)重點(diǎn)題型通關(guān)訓(xùn)練（人教版）（解析版）

1、專題15 半倍角模型【導(dǎo)入】如圖，已知ABC中，BAC90°，ABAC，D、E是BC邊上的點(diǎn)，將ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到ACD（1）求DAD的度數(shù)（2）當(dāng)DAE45°時(shí)，求證：DEDE；【解答】解：（1）將ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到ACDDADBAC，BAC90°，DAD90°；（2）證明：ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到ACD，ADAD，DADBAC90°，DAE45°EADDADDAE90°45°45°，EADDAE，在AED與AED中，AE=AE，EAD=EAD'，AD=AD'，AEDAED（SAS

2、），DEDE【方法點(diǎn)睛】圖形分析（關(guān)鍵點(diǎn)）：共頂點(diǎn)的兩邊相等（旋轉(zhuǎn)必備條件），夾角的一半（旋轉(zhuǎn)角的一半，旋轉(zhuǎn)后形成角平分線）OA=OB，2=1+3把OBF旋轉(zhuǎn)至OBF此時(shí)OE平分FOF.即2=1+4【例1】如圖，E是正方形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心把ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（1）在圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）若旋轉(zhuǎn)后E點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為M，點(diǎn)F在BC上，且EAF45°，連接EF求證：AMFAEF；若正方形的邊長為6，AE35，則EF（1）解：如圖，ABM為所作；（2）證明：ABCD 是正方形，BAD90°，ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABM，AM

3、AE，MAE90°，又EAF45°，MAF45°，MAFEAF，在AMF和AEF中，AM=AE，MAF=EAF，AF=AF，AMFAEF.解：AMFAEF，EFMF，即MEBF+MB，而BMDE，EFBF+DE，在RtADE中，DE（35）2623，CE633，設(shè)EFx，則BFx3，CF6（x3）9x，在RtCEF中，CF2+CE2EF2，（9x）2+32x2，解得x5，解EF5【例2】如圖，在ABC中，ACBC，ACB，點(diǎn)D、E在AB邊上（點(diǎn)D在點(diǎn)E的右側(cè)），且ACB2DCE將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到線段CF，連結(jié)AF、EF【感知】如圖，當(dāng)60°

4、時(shí)，則CBDCAF，CDECFE（不需要證明）【探究】如圖，當(dāng)90°時(shí)，（1）EAF的度數(shù)為（2）線段AE、ED、DB之間什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由【應(yīng)用】（3）如圖，當(dāng)120°，BCD15°時(shí)，請(qǐng)直接寫出BCD、DCE、ACE這三個(gè)三角形的面積比【解答】解：（1）在ABC中，ACBC，ACB，90°，ACB2DCE，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，ACBC，BACB45°，由旋轉(zhuǎn)知，CDCF，DCF90°，ACFBCD，在ACF和BCD中，AC=BC，ACF=BCD，CF=CD，ACFBCD（SAS），CAFB45&#

5、176;，AFDB，EAFBAC+CAF90°；故答案為：90°；（2）AE2+DB2DE2，理由如下：90°，ACB2DCE，DCF90°，DCE45°，F(xiàn)CE90°45°45°，DCEFCE，在DCE和FCE中，CD=CF，DCE=FCE，CE=CE，DCEFCE（SAS），DEEF，在RtAEF中，AE2+AF2EF2，又AFDB，AE2+DB2DE2（3）如圖3，將BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，連接AF，EF，ABC是等腰三角形，ACB120°，ACBC，BACB30°，由旋

6、轉(zhuǎn)知，CDCF，DCF120°，ACFBCD，在ACF和BCD中，AC=BC，ACF=BCD，CF=CD，ACFBCD（SAS），CAFB30°，AFDB，AFCBDC180°BBCD135°，EAFBAC+CAF60°，DCF120°，DCE60°，F(xiàn)CE120°60°60°，DCEFCE，在DCE和FCE中，CD=CF，DCE=FCE，CE=CE，DCEFCE（SAS），DEEF，CFEADEB+BCD45°，AFE90°，在RtAEF中，EAF60°，AEF3

7、0°，EF3AF，AE2AF，DEEF3AF，BDAFSBCD：SCDE：SACEBD：DE：AEAF：3AF：2AF1：3：2【例3】已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，ABC120°，MBN60°，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)（1）當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)（如圖1），試猜想線段AE、CF、EF之間存在的數(shù)量關(guān)系為（不需要證明）；（2）當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證

8、明【解答】解：（1）AE+CFEF，理由如下：延長DC至點(diǎn)K，使CKAE，連接BK，在BAE與BCK中，BA=BC，BAE=BCK，AE=CK，BAEBCK（SAS），BEBK，ABEKBC，F(xiàn)BE60°，ABC120°，F(xiàn)BC+ABE60°，F(xiàn)BC+KBC60°，KBFFBE60°，在KBF與EBF中，BK=BE，KBF=EBF，BF=BF，KBFEBF（SAS），KFEF，AE+CFKC+CFKFEF；（2）解：AECFEF，理由如下：延長DC至G，使CGAE，由（1）可知，BAEBCG（SAS），BEBG，ABEGBC，GBFGBCFBC

9、ABEFBC120°+FBC60°FBC60°，GBFEBF，BGBE，GBFEBF，BFBF，GBFEBF，EFGF，AECFCGCFGFEF【專題過關(guān)】1. 已知在ABC，ABAC，D、E是BC邊上的點(diǎn)，將ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到ACD，連結(jié)DE若DEDE，BAC90°，DE2BD，判斷DEC形狀，并加以證明【解答】解：DEC是等腰直角三角形；證明：BAC90°，ABAC，BACBACD45°，DCE45°+45°90°，由（2）知，DEDE，DE2BD，D'E2BD，ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到ACD

10、，BDCD'，D'E2CD'，在RtD'EC中，cosCED'CD'D'E22，CED'45°，CD'E90°CED'45°CED'，DEC是等腰直角三角形2.如圖，在ABC中，BAC140°，ABAC，D，E在BC上，DAE70°，ADE45°，試仿照（1）的方法，利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換，探究BD，DE，CE之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【解答】可證，AECAFB，BFCE，AFDAED（SAS），F(xiàn)DDE，ADE45°，ADF45

11、6;，故BDF90°，在RtBDF中，由勾股定理，得BF2BD2+DF2，CE2BD2+DE23. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4），B（4，4），點(diǎn)M，N是射線OC上兩動(dòng)點(diǎn)（OMON），且運(yùn)動(dòng)過程中始終保持MAN45°，小明用幾何畫板探究其中的線段關(guān)系（1）探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)M，N均在線段OB上時(shí)（如圖1），有OM2+BN2MN2他的證明思路如下：第一步：將ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得APO，連結(jié)PM，則有BNOP第二步：證明APMANM，得MPMM第一步：證明POM90°，得OM2+OP2MP2最后得到OM2+BN2MN2請(qǐng)你完成第二步三角形全等

12、的證明（2）繼續(xù)探究：除（1）外的其他情況，OM2+BN2MN2的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由【解答】解：（1）如圖1中，將ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得APO，連結(jié)PM，則有BNOP點(diǎn)A（0，4），B（4，4），OAAB，OAB90°，NAPOAB90°，MAN45°，MANMAP，MAMA，ANAP，MANMAP（SAS）（2）如圖2中，結(jié)論仍然成立理由：如圖2中，將ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得APO，連結(jié)PM，則有BNOPNAPOAB90°，MAN45°，MANMAP，MAMA，ANAP，M

13、ANMAP（SAS），MNPM，ABNAOP135°，AOB45°，MOP90°，PM2OM2+OP2，OM2+BN2MN24.如圖，在梯形ABCD中，ADBC（BCAD），D90°，BCCD12，ABE45°，若AE10求CE的長度【解答】解：過B作DA的垂線交DA的延長線于M，M為垂足，延長DM到G，使MGCE，連接BG，易知四邊形BCDM是正方形，則BEC與BGM中，BC=BM，C=BMG=90°，EC=GM，BECBMG（SAS），MBGCBE，BEBG，ABE45°，CBE+ABMMBG+ABM45°，即

14、ABEABG45°，在ABE與ABG中，BE=BG,ABE=ABG，AB=AB，ABEABG（SAS），AGAE10，設(shè)CEx，則AM10x，AD12（10x）2+x，DE12x，在RtADE中，AE2AD2+DE2，100（x+2）2+（12x）2，即x210x+240；解得：x14，x26故CE的長為4或65. 如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，且EAF45°，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到ABQ，連接EQ（1）求證：EA是QED的平分線；（2）已知BE1，DF3，求EF的長【解答】證明：（1）將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

15、后，得到ABQ，QBDF，AQAF，BAQDAF，EAF45°，DAF+BAE45°，QAE45°，QAEFAE，在AQE和AFE中，AQ=AF，QAE=FAE，AE=AE，AQEAFE（SAS），AEQAEF，EA是QED的平分線；（2）由（1）得AQEAFE，QEEF，ADFABQ，四邊形ABCD是正方形，ADBABD45°，ABQ45°，QBEABQ+ABD90°，在RtQBE中，QB2+BE2QE2，又QBDF，EF2BE2+DF21+910，EF10【專題提高】6. 如圖，AEF中，EAF45°，AGEF于G，且G

16、F2，GE3，則SAEF【答案】15【解析】證明：如圖，將AEG沿AE折疊得到AEB，將AFG沿AF折疊得到AFD，延長BE和DF相交于點(diǎn)CADAGAB，DAGF90°，BAGE90°，DAFGAF，BAEGAE，EAF45°FAG+GAE，DAF+BAE45°，DAB45°+45°90°，即BDDAB90°，ADAB，四邊形ABCD是正方形由折疊知，RtABERtAGE，RtADFRtAGF，BEEG3，DFFG2，EF5，設(shè)AGx，則ABBCCDAGx，CECBBEx3，CFx2CE2+CF2EF2，（x3）2+（x2）252解得x16，x21（舍去）AG6AEF的面積12EFAG12×5×6157. 如圖，在ABC中，CAB120°，ABAC，EAD60°，BC3+3，若以BD、DE、EC為邊的三角形是直角三角形時(shí)，求BE的長【解析】如圖，將AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到AFB，AECAFB，AFAE，ABFACB，ECBF，EAF120°CAB120°，ABAC，ABCACBABF30°FBD60°，EAF120°，EAD60°，DAEDAF60