MXT-15.6-實系數(shù)一元二次方程(1)(2)

1、課題：§ 15.6-實系數(shù)一元二次方程（1）（2）教學(xué)目的：1、掌握實系數(shù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，并會解實系數(shù)一元二次方程 和因式分解。2、培養(yǎng)類比推理的思想方法。3、培養(yǎng)學(xué)生探索精神。教學(xué)重點：在復(fù)數(shù)集內(nèi)解實系數(shù)一元二次方程。教學(xué)難點：共輾虛根的應(yīng)用。教學(xué)過程：第一課時:引入：對實系數(shù)一元二次方程 ax2 + bx+c=0 （a、b、cC R,且aw0）有哪些認(rèn)識?力判別式：當(dāng)=b2-4ac>。時，方程有兩個不等的實數(shù)根；當(dāng)=b2-4ac= 0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)=b2-4ac< 0時，方程有沒有實數(shù)根。韋達定理：設(shè)方程的兩個根為Xi、X2,則有X1 + X

2、2 = , Xi - X2=aa求根公式：當(dāng)/>0時，方程兩根為 X= T ±v'b2-4ac2a思考：在復(fù)數(shù)集范圍內(nèi)是否仍然成立？當(dāng)0即b2-4ac<0時，由 aX2 + bX+ c= 0 知道:/ bb2 4ac-(x+ )2=-一: v 02a 4a22b 4ac2-的平方根為土4a2方程有一對共軻虛根.4ac b2i2aX=_b_±必更二6i (求根公式)2a 2a顯然，仍然滿足韋達定理：X + X2= b , X1 . X2=-aa結(jié)論：（1）實系數(shù)一元二次方程有虛根必定成對出現(xiàn)；（2）實系數(shù)一元二次方程aX2+bX + c=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)總有

3、兩個解X1、X2,總可以進行因式分解：aX2+bX+c=a（X X1） （x X2）例1在復(fù)數(shù)集中解方程：x2-4x+8=0分析：設(shè)2 = 2+舊（a, bC R）,利用復(fù)數(shù)相等的充要條件也可以求解。解：,/!= 16 32= 16<0,方程的解為X1=4±L = 2+2i ; X2=4 = 22i22練習(xí)：教材P. 79一練習(xí)15.6 1、2、3、4例2已知方程x2-px+ 1 = 0 (pCR)的兩根為Xi、X2,若| X1-X2|= 1,求實數(shù) p的值。(教材上利用求根公式求解 )解：由韋達定理可知：Xl+X2=p, xi - X2= 1(1)當(dāng)=p24>0時，即p

4、v2或p>2時，存在兩個實數(shù)根 X1、X2| X1 X2|= 1 /. | X1 X2|2 = 1即有(X1 一 X2)2=(X1 + X2)24X1X2 = p24= 1解得p= ± 5(2)當(dāng)=p24V0 時，即一2vpv2 時，存在X1、X2互為共軻虛根，即 X1 =X2, X2 =X1| X1 X2|= 1| X1 X2|2 = 1即有(X1 -X2)(X1X 2) =(X1 -X2)(X1 X2 )= (X1 X2)(X2 X1)=(X1 X2)2= (X 1+X2) 24X1X2= (p24)= 1解得p=± - 3由(1)(2)可知：p=± J

5、3或 p= ± 55(2)另解：當(dāng)=p24V0時，即一2vp<2時，方程有一對共軻虛根，可設(shè) X1 = a+bi, X2= a bi(a, bC R).一 , 1一 | X1-X2|= |2 bi |= |2 b|= 1 即b=± 2X1-X2 = a2+b2 = a2+l = 1 a = ± 2L3.42當(dāng)兩根為53±4i時，p=c3；當(dāng)兩根為一 日士11時，p=-6則 p = ± J3例3若關(guān)于x的方程2X2+3aX+a2-a= 0至少有一個根的模為1,求實數(shù)a。解：9a28(a2a)= a2+8a(1)當(dāng)/>0,即aw 8或a

6、>0時，方程有實根|x| = 1，當(dāng) x=1 時，有 a2+2a+ 2=0, a無解當(dāng) x = 1 時，有 a2 4a+2= 0,得 a= 2±2(2)當(dāng)<0時，即一8vav0時，方程有一對共軻虛根x、x , xx = |x|2=1xx = 1(a2a)=1 解得 a= 2(舍去)，a=- 12由(1)(2)可知：a= 2±4萬或 a=1第一課時作業(yè)布置：教材P. 80一習(xí)題15.616第二課時:2例1設(shè)“、3是實系數(shù)方程 ax2+bx+c=0 (aw0)的兩根，”是虛數(shù)且 上是實數(shù),求-的值。解：，' a是虛數(shù)，.方程存在一對共軻虛根，即3= a ,

7、a = 3222一22223土是實數(shù)， (),即一a，即衛(wèi)=2 ,=1BB3aB33.(_1)(上+i)= 0BB2B.aWB,即/W1, ，j+1=0 則 j=工±型1BB2BB22例 2已知復(fù)數(shù) Z1、Z2 滿足 | Z1 |= | Z2| = 1 ,且 Z1 + Z2 = 1 + i ,求 Z1、Z2 的值。 22(S1995-21/25)解一：設(shè) Z1=a+bi, Z2=c+ di (a、b、c、d C R)13 | Z1|= | Z2|= 1 ,且 Z1+ Z2= + i，a2+b2=1, c2+d2=1, a+c=1, b + d= 23 (解方程組要老半天) 22解得：

8、a= 1, b= 0, c= 1 , d = 或者 a= 1 , b=, c= 1, d= 02222則 Z1 = 1 , Z2 = 1 + i 或者 Z1= + 3 i, Z2= 122221 .3:、，斛一: , | Z1 + Z2| = | 十 i| = 1 , . . ( Z1 + Z2)( zi + Z 2 ) 12 2 | Zi|= | Z2|= 1 ,Z1 Z2 + Z1 Z2= 一 1 1Z1Z2、Z1Z2 為共軻復(fù)數(shù)，Re(z1Z2 )= Re(Z1 Z2)=2一_ 一_3 | Z1 Z2|=| Z1 |Z2|= | Z1| Z2|=1, ,. Im( Z1 Z2)= 土 2

9、11 + 3 .1,1 + .3.Z1 Z2= 士 i , , , Z2 = Z1 Z1 Z2 = Z1 (± i)尋找 Z1、Z2 關(guān)系2222得 Z1+Z2=Z1+Z1 ( 1 土 i) = 1 +2 i2222f-f-則 Z1 = 1 , Z2 = + i 或者 Z1 = + i, Z2= 12222變式：已知復(fù)數(shù)Zi、Z2滿足|Z1| = |Z2|=|Z1 +Z2|= 1 ,求z1的值。Z2解：設(shè)立=t (t C),得 Z1 = tZ2Z2Z1 . 崗=| 一 | = 1 且1Z1 + Z2|= | t Z2+ Z2|= |t + 1| Z2| = |t + 1| = 1 Z

10、2設(shè) t = a+ bi, a、b C R,a2+b2= 1 且(a + 1) 2+b2= 1解得 t= 1 ± xli 即亙=1 ± Y!i 22Z222解三：: |Z1+z2|=|1+?3i| = 1,./CAC為等邊三角形，. 7 ,1 j 3 .- Z1 + Z2 =十i,，Z1、Z2、Z1 + Z2對應(yīng)的點 A、B、C在單位圓上ZCCA = 600-Z1 + Z2對應(yīng)的點C坐標(biāo)為（j, y-）, 可知/ CO<= 600,則點A或點B在x軸上 坐標(biāo)為（1, 0）,對應(yīng)復(fù)數(shù)為1 若 z1= 1,則/ AOB= 120°,點 B 坐標(biāo)為(1 ,出)，即

11、 Z2= - - + i2222同理：Z2=1,則 Z1= 1 + 型 i例3設(shè)z是虛數(shù)，z> = z + 1是實數(shù)，且一 1 v 3 vZ2。求|z|的值及Re（z）的取值22一bi22(1+a)2 +b2范圍；（2）設(shè)科=上土。求證：科是純虛數(shù)；（3）求科2的最小值。1S1996-22解：(1)設(shè) z1 = a+ bi, a、bCR, bw01. ab - 3 = a+ bi+= (a+ 2 )+ (b- - )ia + bi a2 + b2a2 + b2 3是實數(shù)，且 bw0, .a2+b2=1,即 |z|=1由 3= 2a且一1vcov 2 知：一1<2<1 即一1

12、<Re(z)v1222小、1-z1-a-bi 1-a -b 2bi(2)=1+z1 + a + bi- 1 <a< 1, bw0w是純虛數(shù)2=2a+ 1L = 2(a+ 1)+， 32d 2(3) co-2= 2a+b 2 = 2a+(1+a)(1 + a)''' _lva<1,a+ 1>0 則co ji >12當(dāng)a+ 1 =即a = 0時，w (1?有最小值為1。1 + a第二課時作業(yè)布置：(1)已知復(fù)數(shù) Z1=cos 0 i, z2=sin 0 + i,求 | z1 z2| 的最大值和最小值.S200317最大值為3最小值為<2 . 2，(2)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程 | z |2 (z z)i - S200518z i.2 i22(3)復(fù)數(shù) z 滿足 4z + 2z = 3 J3 + i, w = cos 0 isin