第五章-貝塞爾函數(shù)講解PPT課件

1、2021/7/241 第五章 貝塞爾函數(shù)2021/7/2425.1 5.1 貝塞爾方程貝塞爾方程 在利用分離變量法求解其它偏微分方程的定解問(wèn)題時(shí)，會(huì)導(dǎo)在利用分離變量法求解其它偏微分方程的定解問(wèn)題時(shí)，會(huì)導(dǎo)出其它形式的常微分方程的邊值問(wèn)題，從而得到各種各樣的坐標(biāo)出其它形式的常微分方程的邊值問(wèn)題，從而得到各種各樣的坐標(biāo)函數(shù)函數(shù)-特殊函數(shù)特殊函數(shù)。如貝塞爾函數(shù)、勒讓德多項(xiàng)式等。如貝塞爾函數(shù)、勒讓德多項(xiàng)式等2021/7/243 在在2.32.3節(jié)分析了圓域內(nèi)的二維拉譜拉斯方程的定解，溫度是穩(wěn)定分節(jié)分析了圓域內(nèi)的二維拉譜拉斯方程的定解，溫度是穩(wěn)定分布，與時(shí)間沒(méi)有關(guān)系。布，與時(shí)間沒(méi)有關(guān)系。分離變量分離變量

2、在極坐標(biāo)系中：在極坐標(biāo)系中： 02202221100r ruuurrrrrruf( , )( )( )u rR r2110RRRrr 化簡(jiǎn)引入常量化簡(jiǎn)引入常量22220 xyRuuf200r RrRR 歐拉方程歐拉方程2021/7/2445.1.1 5.1.1 貝塞爾方程的導(dǎo)出貝塞爾方程的導(dǎo)出 假設(shè)半徑為假設(shè)半徑為R R的圓形薄盤，上下面絕熱，圓盤邊界上的溫度的圓形薄盤，上下面絕熱，圓盤邊界上的溫度始終保持為零度，且初始溫度已知，求圓盤內(nèi)溫度的分布規(guī)律。始終保持為零度，且初始溫度已知，求圓盤內(nèi)溫度的分布規(guī)律。 由于溫度是不是穩(wěn)定分布，而是瞬時(shí)分布，即可表示這由于溫度是不是穩(wěn)定分布，而是瞬時(shí)分布

3、，即可表示這222200,xxyytxyRtauuuuux y2021/7/245分離變量分離變量( , , , )( , ) ( )u x y z tV x y T t化簡(jiǎn)引入常量化簡(jiǎn)引入常量200 xxyyVVVTa THelmholtz方程 (5.5)222221100r RVVVVrrrrV為了求為了求Helmholtz方程方程 (5.5)，可在極坐標(biāo)中進(jìn)行求解，可在極坐標(biāo)中進(jìn)行求解(5.7)(5.8)解：解： 采用分離變量采用分離變量2021/7/246再次分離變量再次分離變量( , )( ) ( )V rF r G2100FFFrrGG (5.9) (5.10) 由于溫度函數(shù)由于溫

4、度函數(shù)u(x,y,t)u(x,y,t)是單值的，所以是單值的，所以v(x,y)v(x,y)也是單值，因此也是單值，因此 應(yīng)是以應(yīng)是以2 2 為周期的函數(shù)。因此，為周期的函數(shù)。因此， , ,方程方程(5.10)(5.10)的解為：的解為：( )G2n01( )2Ga2( )cossinnnGanbn2021/7/2472210nFFFrr2n將將 代入代入(5.9)(5.9)式得到式得到(5.11)n階貝塞爾方程階貝塞爾方程xr令令 ，記，記F(r)=y(x)F(r)=y(x)，則，則(5.11)(5.11)轉(zhuǎn)化為：轉(zhuǎn)化為：2220 x yxyxny(5.12)貝塞爾方程貝塞爾方程 0F 由于圓

5、盤上的溫度是有限的，如圓心。因此，由于圓盤上的溫度是有限的，如圓心。因此， , ,結(jié)合邊界條結(jié)合邊界條件，件，(5.11)(5.11)式可定義為求解以下定解問(wèn)題。式可定義為求解以下定解問(wèn)題。2220r FrFrnF 00F RF (5.12)為二階變系數(shù)常為二階變系數(shù)常 微分方程，其解稱貝塞爾函數(shù)或柱函數(shù)微分方程，其解稱貝塞爾函數(shù)或柱函數(shù)2021/7/2482220 x yxyxny(5.12)貝塞爾方程求解貝塞爾方程(5.12)，假設(shè)如下冪級(jí)數(shù)解： 000s kkky xa xa(5.13)將(5.13)代回貝塞爾方程(5.12)，整理得到：2222101222210sss kkkksna

6、xsna xsknaax2021/7/249故有：故有：由于由于 ，可得，可得 , ,需要分別討論：需要分別討論：00a 12snsn 2202212220100kksnasnasknaa(5.14)(5.15)(5.16)情形情形1 1：n n不為整數(shù)和半奇數(shù)，則不為整數(shù)和半奇數(shù)，則s s1 1-s-s2 2=2n=2n也不為整數(shù)。取也不為整數(shù)。取s s1 1=n=n代代入入(5.15)式得到式得到a1=0,代入代入(5.16)式得到：式得到：213502kkaaaaaknk(5.17)2021/7/2410 212012!1nmmnmnmxyxmnxmJ(5.18)J Jn n(x)(x)

7、稱為稱為n n階第一類貝塞爾函數(shù)階第一類貝塞爾函數(shù)將所求的系數(shù)代回將所求的系數(shù)代回(5.13)(5.13)式得到式得到第一個(gè)特解第一個(gè)特解202112!12mmmaam nnnm 引入引入 函數(shù)并利用其遞推式：函數(shù)并利用其遞推式： ，則一般項(xiàng)的系，則一般項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)椋簲?shù)變?yōu)椋?1nnn 202112!1mmmaamnm 2021/7/2411取取s s2 2=-n=-n時(shí)時(shí)：0121nan 222012!1nmmnnmmxyxJxmnm (5.19)可以得到方程可以得到方程另一個(gè)特解另一個(gè)特解J J-n-n(x)(x)稱為稱為-n-n階第一類貝塞爾函數(shù)階第一類貝塞爾函數(shù)2021/7/2412Y

8、 Yn n(x)(x)稱為稱為n n階第二類貝塞爾函數(shù)，諾伊曼函數(shù)階第二類貝塞爾函數(shù)，諾伊曼函數(shù)Jn(x) 和和J-n(x)線性無(wú)關(guān)，故貝塞爾方程線性無(wú)關(guān)，故貝塞爾方程(5.12)的通解可表的通解可表示為：示為： nny xJxAxBJ(5.20)cot,cscAnBn 令 ，則 (5.20)可寫成 cossinnnnJxnJxYxn(5.21)第二個(gè)線性無(wú)關(guān)特解貝塞爾方程貝塞爾方程(5.12)(5.12)的通解可表示為：的通解可表示為： nny xJxCDYx(5.22)2021/7/2413情形情形2 2：n n為整數(shù)，則為整數(shù)，則s s1 1-s-s2 2=2n=2n也為整數(shù)。與前面相同

9、處理，當(dāng)也為整數(shù)。與前面相同處理，當(dāng)n=0n=0時(shí)，方程的一個(gè)解為：時(shí)，方程的一個(gè)解為： 22012!nmnmmnmJxmnmx(5.23) 22012!1nmmnmmnxmnJmx 1nnnJxJx cosilims naananJxaJxYxa(5.21)2021/7/2414 可見(jiàn)，不論可見(jiàn)，不論n n是不明為整數(shù)，貝塞爾方程是不明為整數(shù)，貝塞爾方程(5.12)(5.12)的通解都可的通解都可以表示為：以表示為： nny xJxCDYx情形情形3 3：n n為半奇數(shù)后面討論。為半奇數(shù)后面討論。2021/7/241505101520-0.500.51Jn（x）2021/7/24160510

10、1520-35-30-25-20-15-10-505Yn（x）2021/7/24170246810012345Kn（x）2021/7/24180246810050010001500200025003000In（x）2021/7/2419 22012!1nmmnmmnxnxmmJ(5.18)5.2 5.2 貝塞爾函數(shù)的遞推式貝塞爾函數(shù)的遞推式 1nnnndx Jxx Jxdx 由(5.18)式可以得到第一類貝塞爾函數(shù)遞推式： 1nnnndxJxxJxdx 1nnnJxJx 2021/7/2420 112nnnnJxJxJxx 112nnnJxJxJx 1nnnndx Nxx Nxdx 1nnnn

11、dxNxxNxdx 第二類貝塞爾函數(shù) 112nnnnNxNxNxx 112nnnNxNxNx2021/7/2421半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù) 122012sin32!2mnmmxxxmxmJ 122cosxxJx2021/7/2422246810-0.4-0.20.20.40.60.8150JJ 2021/7/24235.1.2.虛宗量貝塞耳方程虛宗量貝塞耳方程 階虛宗量貝塞耳方程n22222()0d RdRxxxnRdxdxix22222()0d RdRnRdd220( )( 1)()!(1)2nkknknkixJknk220()!(1)2nknnkkixiknk201( )( )( )! (1)

12、2nnknnkxIxiJixknk定義：201( )()!(1)2nnknkxJiknk201( )( )( )! (1) 2nnknnkxIxi Jixknk通解：)()()(2211xICxICxy2021/7/24245.3 5.3 貝塞爾函數(shù)展開(kāi)為級(jí)數(shù)貝塞爾函數(shù)展開(kāi)為級(jí)數(shù)由于圓盤上溫度的定解問(wèn)題可表示：由于圓盤上溫度的定解問(wèn)題可表示： 22200,0r FrFrnF rF RF 貝塞爾方程貝塞爾方程(5.32)(5.32)的通解可表示為：的通解可表示為： nny xJxYCDx(5.32)(5.33)2021/7/24250nJR(5.34)由于由于(5.34)(5.34)式可知：當(dāng)式

13、可知：當(dāng) 取不同值時(shí)，取不同值時(shí)，J Jn n(x)(x)有零值有零值, ,即即貝塞爾貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)。由于由于 為無(wú)窮大，由邊界條件可以得到為無(wú)窮大，由邊界條件可以得到D=0D=0，再利用另一，再利用另一個(gè)條件可以得到：個(gè)條件可以得到： 0nY1. J1. Jn n(x)(x)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn), ,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱分布。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱分布。2. J2. Jn n(x)(x)的零點(diǎn)和的零點(diǎn)和J Jn+1n+1(x)(x)的零點(diǎn)是彼此相間分布，且的零點(diǎn)是彼此相間分布，且J Jn n(x)(x)的零的零點(diǎn)更靠近坐標(biāo)原點(diǎn)。點(diǎn)更靠近坐標(biāo)原點(diǎn)。3. 3. 當(dāng)當(dāng)x x趨于無(wú)窮大時(shí)，趨于無(wú)窮

14、大時(shí)，J Jn n(x)(x)兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離接近于兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離接近于。2021/7/242605101520-0.500.51J0(x)J1(x)2021/7/2427利用上述關(guān)于貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)的結(jié)論，可設(shè)貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)的結(jié)論，可設(shè) 為為Jn(x)的正零點(diǎn)，則由（的正零點(diǎn)，則由（5.34）可得：）可得： 1,2,nmmL 1,2,nmRmL即即 21,2,nnmmmRL與這些固有值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)F可表示為： 1,2,nmmnFrJrmRL2021/7/2428二、正交關(guān)系二、正交關(guān)系貝塞耳方程是施圖姆劉維爾本征值方程：貝塞耳方程是施圖姆劉維爾本征值方程：0222RRmdRddxdm

15、n在區(qū)間在區(qū)間(0,R)(0,R)上帶權(quán)上帶權(quán)r r正交：正交： 00nnRmknnrJr Jr drmkRR2021/7/2429三三 貝塞耳函數(shù)的模貝塞耳函數(shù)的模定義積分：定義積分： 200nRmnrJr drR的平方根，為貝塞爾函數(shù)的平方根，為貝塞爾函數(shù) 的模：的模： nmnJrR 222102nRnmnnmRrJr drJR2021/7/2430四四 傅立葉傅立葉-貝塞耳級(jí)數(shù)貝塞耳級(jí)數(shù)在求解貝塞耳方程時(shí)，往往要把已知函數(shù)在求解貝塞耳方程時(shí)，往往要把已知函數(shù)按貝塞耳函數(shù)按貝塞耳函數(shù)展開(kāi)為級(jí)數(shù)。展開(kāi)為級(jí)數(shù)。如果如果f(r)為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間(0,R)內(nèi)的分段連續(xù)函數(shù)，且積分內(nèi)的分段連續(xù)函數(shù)，且積分 的值有限，則它必可以展開(kāi)為以下級(jí)數(shù)形式：的值有限，則它必可以展開(kāi)為以