2012年高考真題匯編——理科數(shù)學：10：圓錐曲線2

1、2012高考真題分類匯編：圓錐曲線三、解答題部分19.【2012高考江蘇19】（16分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值【答案】解：（1）由題設知，由點在橢圓上，得，。由點在橢圓上，得橢圓的方程為。（2）由（1）得，又， 設、的方程分別為，。 。 。 同理，。 （i）由得，。解得=2。 注意到，。 直線的斜率為。 （ii）證明：，即。 。 由點在橢圓上知，。 同理。 由得， 。 是定值。 20.【2012高考真題浙江

2、理21】(本小題滿分15分)如圖，橢圓C：(ab0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分()求橢圓C的方程；() 求ABP的面積取最大時直線l的方程【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。【答案】()由題：； (1)左焦點(c，0)到點P(2，1)的距離為： (2)由(1) (2)可解得：所求橢圓C的方程為：()易得直線OP的方程：yx，設A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中y0x0A，B在橢圓上，設直線AB的方程為l：y(m0)，代入

3、橢圓：顯然m且m0由上又有：m，|AB|點P(2，1)到直線l的距離表示為：SABPd|AB|m2|，當|m2|，即m3 或m0(舍去)時，(SABP)max此時直線l的方程y21.【2012高考真題遼寧理20】(本小題滿分12分) 如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，。點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點。 ()求直線與直線交點M的軌跡方程; ()設動圓與相交于四點，其中，。若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值?！敬鸢浮俊军c評】本題主要考查圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標準方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系和交軌法在求解軌跡方程組的運用。本題考查綜合性較強，運算量較大。在求

4、解點的軌跡方程時，要注意首先寫出直線和直線的方程，然后求解。屬于中檔題，難度適中。22.【2012高考真題湖北理】（本小題滿分13分）設是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點，點在直線上，且滿足. 當點在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線（）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標； （）過原點且斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，它在軸上的射影為點，直線交曲線于另一點. 是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. 【答案】（）如圖1，設，則由，可得，所以，. 因為點在單位圓上運動，所以. 將式代入式即得所求曲線的方程為. 因為

5、，所以當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為，；當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為，. （）解法1：如圖2、3，設，則，直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得.依題意可知此方程的兩根為，于是由韋達定理可得，即.因為點H在直線QN上，所以.于是，. 而等價于，即，又，得，故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有. 圖2 圖3 圖1O D xyAM第21題解答圖 解法2：如圖2、3，設，則，因為，兩點在橢圓上，所以 兩式相減可得. 依題意，由點在第一象限可知，點也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三點共線，所以，即. 于是由式可得.而等價于，即，又，得，

6、故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有. 23.【2012高考真題北京理19】（本小題共14分）【答案】解：（1）原曲線方程可化簡得：由題意可得：，解得：（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：，解得：由韋達定理得：，設，方程為：，則，欲證三點共線，只需證，共線即成立，化簡得：將代入易知等式成立，則三點共線得證。24.【2012高考真題廣東理20】（本小題滿分14分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：的離心率e=，且橢圓C上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3.（1）求橢圓C的方程；（2）在橢圓C上，是否存在點M（m,n）使得直線：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A

7、、B，且OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及相對應的OAB的面積；若不存在，請說明理由【答案】本題是一道綜合性的題目，考查直線、圓與圓錐曲線的問題，涉及到最值與探索性問題，意在考查學生的綜合分析問題與運算求解的能力。25.【2012高考真題重慶理20】（本小題滿分12分（）小問5分（）小問7分） 如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為，線段 的中點分別為，且 是面積為4的直角三角形.（）求該橢圓的離心率和標準方程；（）過 做直線交橢圓于P，Q兩點，使，求直線的方程【答案】【命題立意】本題考查橢圓的標準方程，平面向量數(shù)量積的基本運算，直線的一般式方程以及直線與

8、圓錐曲線的綜合問題.26.【2012高考真題四川理21】(本小題滿分12分) 如圖，動點到兩定點、構(gòu)成，且，設動點的軌跡為。（）求軌跡的方程；（）設直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍?！敬鸢浮勘绢}主要考查軌跡方程的求法，圓錐曲線的定義等基礎知識，考查基本運算能力，邏輯推理能力，考查方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想 27.【2012高考真題新課標理20】（本小題滿分12分）設拋物線的焦點為，準線為，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點；（1）若，的面積為；求的值及圓的方程；（2）若三點在同一直線上，直線與平行，且與只有一個公共點，求坐標原點到距離的比值.【答案】（1

9、）由對稱性知：是等腰直角，斜邊 點到準線的距離 圓的方程為 （2）由對稱性設，則 點關(guān)于點對稱得： 得：，直線 切點 直線坐標原點到距離的比值為.28.【2012高考真題福建理19】如圖，橢圓E：的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率.過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且ABF2的周長為8.（）求橢圓E的方程.（）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相較于點Q.試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.【答案】本題主要考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、平面向量的應用等基礎知

10、識，考查推理論證能力、基本運算能力，以及函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.29.【2012高考真題上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐標系中，已知雙曲線：（1）過的左頂點引的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及軸圍成的三角形的面積；（2）設斜率為1的直線交于、兩點，若與圓相切，求證：；（3）設橢圓：，若、分別是、上的動點，且，求證：到直線的距離是定值.【答案】過點A與漸近線平行的直線方程為，,則到直線的距離為.設到直線的距離為.【點評】本題主要考查雙曲線的概念、標準方程、幾何性質(zhì)及其直線與雙曲線的關(guān)系、橢圓的標準方程和圓的有關(guān)性質(zhì).特別要注意直線與雙曲線的關(guān)系問

11、題，在雙曲線當中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為，它的漸近線為，并且相互垂直，這些性質(zhì)的運用可以大大節(jié)省解題時間，本題屬于中檔題 30.【2012高考真題陜西理19】本小題滿分12分）已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率。（1）求橢圓的方程；（2）設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓和上，求直線的方程。 【答案】 31.【2012高考真題山東理21】（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準線的距離為.（）求拋物線的方程；（）是否存在點，使得直線與拋物線相切于點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說

12、明理由；（）若點的橫坐標為，直線與拋物線有兩個不同的交點，與圓有兩個不同的交點，求當時，的最小值.【答案】32.【2012高考真題江西理21】 （本題滿分13分）已知三點O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線C上任意一點M（x，y）滿足.（1） 求曲線C的方程；（2） 動點Q（x0，y0）（-2x02）在曲線C上，曲線C在點Q處的切線為l向：是否存在定點P（0，t）（t0），使得l與PA，PB都不相交，交點分別為D,E，且QAB與PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值。若不存在，說明理由?！敬鸢浮俊军c評】本題以平面向量為載體，考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系以及分類討論的數(shù)

13、學思想. 高考中，解析幾何解答題一般有三大方向的考查.一、考查橢圓的標準方程，離心率等基本性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長問題，定點，定值，探討性問題等；二、考查拋物線的標準方程，準線等基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長問題，中點坐標公式，定點，定值，探討性問題等；三、橢圓，雙曲線，拋物線綜合起來考查.一般橢圓與拋物線結(jié)合考查的可能性較大，因為它們都是考綱要求理解的內(nèi)容.33.【2012高考真題全國卷理21】（本小題滿分12分）（注意：在試卷上作答無效）已知拋物線C：y=(x+1)2與圓M：（x-1）2+()2=r2(r0)有一個公共點，且在A處兩曲線的切線為同一直線l

14、.（）求r；（）設m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點為D，求D到l的距離.【答案】34.【2012高考真題天津理19】（本小題滿分14分）設橢圓的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點.（）若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率；（）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足【答案】35.【2012高考真題湖南理21】（本小題滿分13分）www.z%zstep.co*&m在直角坐標系xOy中，曲線C1的點均在C2：（x-5）2y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.（）求曲線C1的方程；（）設P(x0,y0)（y0±3）為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D.證明：當P在直線x=4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值.【答案】（）解法1 ：設M的坐標為，由已知得，易知圓上的點位于直線的右側(cè).于是，所以.化簡得曲線的方程為.解法2 ：由題設知，曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，故其方程為.（）當點P在直線上運動時，P的坐標為，又，則過P且與圓相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為.于是整理得 設過P所作的兩條切線的斜率分