初二動(dòng)點(diǎn)問題

1、初二動(dòng)點(diǎn)問題1.如圖，在直角梯形ABCD中， AD BC ， B=90°， AD=24cm， AB=8cm，BC=26cm，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 開始沿 AD 邊向 D 以 1cm/s 的速度運(yùn)動(dòng)； 動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 開始沿 CB 邊向 B 以 3cm/s 的速度運(yùn)動(dòng) P、Q 分別從點(diǎn) A 、C 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端 點(diǎn) 時(shí) ， 另 外 一 點(diǎn) 也 隨 之 停 止 運(yùn) 動(dòng) ， 設(shè) 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) 間 為 ts （1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為 平行四邊形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形？（ 3）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形PQCD 為直角梯形？分析：（1）四邊形PQCD

2、為平行四邊形時(shí)PD=CQ（2）四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)QC-PD=2CE（3）四邊形PQCD為直角梯形時(shí)QC-PD=EC所有的關(guān)系式都可用含有t 的方程來表示，即此題只要解三個(gè)方程即可解答：解：（1）四邊形PQCD平行為四邊形PD=CQ24-t=3t解得：t=6即當(dāng)t=6時(shí)，四邊形PQCD平行為四邊形（2）過D作DEBC于E則四邊形ABED為矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四邊形PQCD為等腰梯形QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即當(dāng)t=7（s ）時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形（3）由題意知：QC-PD=EC時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形即3t-（24-

3、t）=2解得：t=6.5（s）即當(dāng) t=6.5 （s）時(shí)，四邊形PQCD 為直角梯形點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中2.如圖， ABC 中，點(diǎn) O 為 AC 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) O 作直線 MN BC ，設(shè) MN 交 BCA的外 角 平分線 CF于 點(diǎn)F，交ACB內(nèi)角平分線 CE于 E （1）試說明EO=FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O 運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形 AECF是矩形并證明你的結(jié)論；（ 3）若 AC 邊上存在點(diǎn) O，使四邊形 AECF 是正方形，猜想 ABC 的形狀并證明你的結(jié)論分析：（ 1）根據(jù) CE 平分 ACB ，MN BC ，找到相等的角，即OEC= E

4、CB ，再根據(jù)等邊對等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO（ 2）利用矩形的判定解答，即有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形（ 3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答解答：解：（1）CE平分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF（2）當(dāng)點(diǎn) O運(yùn) 動(dòng) 到AC中點(diǎn)處時(shí)，四邊 形AECF是矩形如圖AO=CO，EO=FO，四邊形AECF為平行四邊形，CE平分ACB，ACE=ACB，同理，ACF=ACG， ECF= ACE+ ACF=（ ACB+ ACG） =×180°=90° ，四邊形AECF是矩形（

5、3）ABC是直角三角形四邊形AECF是正方形，ACEN，故AOM=90°，MNBC，BCA=AOM，BCA=90°， ABC 是直角三角形點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用平行線的性質(zhì) “等角對等邊 ”證明出結(jié)論（ 1 ），再利用結(jié)論（ 1）和矩形的判定證明結(jié)論（ 2 ），再對（ 3）進(jìn)行判斷解答時(shí)不僅要注意用到前一問題的結(jié)論，更要注意前一問題為下一問題提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運(yùn)用3.如圖，直角梯形ABCD中， AD BC ， ABC=90° ，已知AD=AB=3 ， BC=4 ，動(dòng)點(diǎn) P 從B 點(diǎn)出發(fā)， 沿線段 BC 向點(diǎn) C 作勻速運(yùn)動(dòng)

6、； 動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) D 出發(fā)，沿線段 DA 向點(diǎn) A 作勻速運(yùn)動(dòng)過 Q 點(diǎn)垂直于 AD 的射線交 AC 于點(diǎn) M，交 BC 于點(diǎn) NP、Q 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒 1 個(gè)單位長度當(dāng) Q 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 A 點(diǎn)， P、 Q 兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)Q 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（ 1） 求NC，MC的 長 （ 用t的代數(shù)式表示） ；（ 2） 當(dāng)t 為 何 值 時(shí)，四邊形 PCDQ構(gòu)成平行四邊形 ；（ 3）是否存在某一時(shí)刻，使射線QN 恰好將 ABC的面積和周長同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由；（ 4）探究： t 為何值時(shí)， PMC 為等腰三角形分析：（ 1）依據(jù)題意易知四邊形ABNQ是矩形

7、 NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ， BC 、 AD已知， DQ 就是 t，即解； AB QN， CMN CAB ， CM ： CA=CN ： CB ，（ 2 ）CB、CN 已知，根據(jù)勾股定理可求 CA=5 ，即 可表 示CM ；四邊 形 PCDQ構(gòu)成平行四邊形就是PC=DQ ， 列方 程4-t=t即 解 ；（ 3）可先根據(jù) QN 平分 ABC 的周長，得出 MN+NC=AM+BN+AB，據(jù)此來求出t 的值然后根據(jù)得出的 t 的值，求出 MNC 的面積，即可判斷出 MNC 的面積是否為ABC 面積的 一 半 ， 由 此 可 得 出 是 否 存 在 符 合 條 件 的 t值 （4）

8、由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)MP=MC時(shí)，那么PC=2NC ，據(jù)此可求出 t的值當(dāng) CM=CP時(shí)，可根據(jù)CM和CP的表達(dá)式以及題設(shè)的等量關(guān)系來求出t 的值當(dāng) MP=PC 時(shí)，在直角三角形MNP 中，先用 t 表示出三邊的長，然后根據(jù)勾股定理即可得出t的值綜上所述可得出符合條件的t的值解答 :解：（1）AQ=3-tCN=4-（3-t）=1+t在RtABC中，AC2=AB2+BC2=32+42AC=5在RtMNC中，cosNCM=，CM=（2）由于四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形PC=QD，即4-t=t解得t=2（ 3）如果射線 QN 將ABC的周長平分，則有：MN+NC=A

9、M+BN+AB即：（1+t）+1+t=（3+4+5）解得：t=（5分）而MN=NC=（1+t）SMNC=（1+t）2=（1+t）2當(dāng)t=時(shí)，S MNC=（1+t）2=×4×3 不 存 在 某 一 時(shí) 刻 t ， 使 射 線 QN恰好將ABC的面積和周長同時(shí)平分（4）當(dāng)MP=MC時(shí)（如圖1）則有：NP=NC即PC=2NC4-t=2（1+t）解得：t=當(dāng)CM=CP時(shí)（如圖2）則有：（1+t）=4-t解得：t=當(dāng)PM=PC時(shí)（如圖3）則有：在RtMNP中，PM2=MN2+PN2而MN=NC=（1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3（1+t）2+（2t-3）2=

10、（4-t）2解得：t1=，t2=-1（舍去）當(dāng) t=， t=， t=時(shí)， PMC為等腰三角形點(diǎn)評(píng)：此題繁雜，難度中等，考查平行四邊形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)考查學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法4.如圖，在矩形ABCD中， BC=20cm ， P，Q，M，N 分別從 A ，B ，C，D 出發(fā)沿 AD ，BC ，CB ， DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止 已知在相同時(shí)間內(nèi)，若 BQ=xcm （x0），則 AP=2xcm，CM=3xcm ，DN=x2cm （ 1）當(dāng) x 為何值時(shí)，以 PQ ， MN 為兩邊，以矩形的邊（ AD 或 BC ）的一部分為

11、第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；（ 2 ） 當(dāng)x為 何 值 時(shí) ， 以P ， Q ， M ， N為 頂 點(diǎn) 的 四 邊 形 是 平 行 四 邊 形 ；（ 3）以 P ，Q， M ，N 為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，請說明理由分析：以 PQ ，MN 為兩邊，以矩形的邊（AD 或 BC ）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形的必須條件是點(diǎn)P、 N 重合且點(diǎn)Q、 M 不重合，此時(shí)AP+ND=AD即 2x+x2=20cm， BQ+MCBC即 x+3x20cm ；或者點(diǎn) Q、M 重合且點(diǎn) P、N 不重合， 此時(shí) AP+NDAD即 2x+x220cm ，BQ+MC=BC 即 x+3x=20c

12、m 所以可以根據(jù)這兩種情況來求解x 的值以 P ， Q，M ，N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的話，因?yàn)橛傻谝粏柨芍c(diǎn)Q 只能在點(diǎn) M的左側(cè)當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) N 的左側(cè)時(shí)， AP=MC ，BQ=ND ；當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) N 的右側(cè)時(shí)， AN=MC ，BQ=PD 所以可以根據(jù)這些條件列出方程關(guān)系式如果以 P，Q，M ，N 為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形， 則必須使得 AP+NDAD即 2x+x220cm ，BQ+MC BC 即 x+3x 20cm ， AP=ND 即 2x=x2 ， BQ=MC即 x=3x ， x0這些條件不能同時(shí)滿足，所以不能成為等腰梯形解答：解：（ 1）當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) N 重合或點(diǎn)Q 與

13、點(diǎn) M 重合時(shí)，以PQ ，MN 為兩邊，以矩形的邊（AD或 BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形當(dāng)點(diǎn)P 與點(diǎn)N重合時(shí)，由x2+2x=20，得x1=-1 ， x2=-1 （舍去） 因 為BQ+CM=x+3x=4（-1）20，此時(shí)點(diǎn)Q與 點(diǎn) M不重合所以x=-1符合題意當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，由x+3x=20，得x=5此時(shí)DN=x2=2520，不符合題意故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合所以所求x的值為-1（2）由（1）知，點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，由20-（x+

14、3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4當(dāng)x=4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形所 以 當(dāng) x=2或 x=4時(shí)，以 P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形（3）過點(diǎn) Q，M分別作 AD的垂線，垂足分別為點(diǎn) E，F(xiàn)由于2xx，所以點(diǎn)E一定在點(diǎn)P的左側(cè)若以 P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，則點(diǎn)F一定在點(diǎn)N的右側(cè)，且PE=NF，即2x-x=x2-3x解得x1=0（舍去），x2=4由 于 當(dāng)x=4時(shí) ， 以P，Q，M，N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，所以以 P， Q ，M ，N 為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形點(diǎn)評(píng)：本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點(diǎn)5.如

15、圖，在梯形 ABCD 中， AD BC ， B=90°，AB=14cm ，AD=15cm ，BC=21cm ，點(diǎn) M 從點(diǎn) A 開始，沿邊 AD 向點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s ；點(diǎn) N 從點(diǎn) C 開始，沿邊 CB 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，速度為 2cm/s 、點(diǎn) M、 N 分別從點(diǎn) A 、 C 出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MNCD是平行四邊形？（ 2）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 MNCD 是等腰梯形？分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊相等，求得t值；（ 2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，下底減去上底等于 12 ，求解即可解答：解

16、：（ 1 ） MD NC ，當(dāng) MD=NC ，即 15-t=2t ， t=5 時(shí)，四邊形MNCD是平行四邊形；（ 2）作 DE BC ，垂足為 E，則 CE=21-15=6 ，當(dāng) CN-MD=12 時(shí)，即 2t-（ 15-t ）=12 ，t=9時(shí)，四邊形MNCD 是等腰梯形點(diǎn)評(píng)：考查了等腰梯形和平行四邊形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題是中考的重點(diǎn)內(nèi)容6.7.如圖，在直角梯形ABCD 中， AD BC ， C=90°，BC=16 ，DC=12 ，AD=21 ，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) D 出發(fā)，沿射線DA 的方向以每秒2 個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，在線段CB 上以每秒1 個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B

17、 運(yùn)動(dòng)， P、Q 分別從點(diǎn)D、C 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) B 時(shí)，點(diǎn) P 隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（ s）（ 1）設(shè) BPQ 的面積為S，求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系；（ 2）當(dāng) t 為何值時(shí)，以B、 P、 Q 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？分析：（ 1）若過點(diǎn) P 作 PM BC 于 M ，則四邊形 PDCM 為矩形，得出 PM=DC=12 ，由 QB=16-t ，可知：s=PM× QB=96-6t；（ 2）本題應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，若PQ=QB ，將各數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間PQ=BQ t 求出；，在Rt PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，若 BP=BQ求出；若 PB=P

18、Q，在 Rt PMB 中，由 PB2=BM2+PM2， BP=BQ ，將數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間， PB2=PM2+BM2，PB=PQ ，將數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t 求出t解答：解：（ 1 ）過點(diǎn) P 作 PM BC 于 M ，則四邊形PDCM 為矩形 PM=DC=12 ， QB=16-t ， s=?QB?PM=（ 16-t ） ×12=96-6t （ 0t ）（ 2）由圖可知， CM=PD=2t ，CQ=t ，若以 B 、P 、Q 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：若 PQ=BQ ，在 Rt PMQ 中， PQ2=t2+122，由 PQ2=BQ2得 t2+122= （ 16-t ）

19、2，解得；若 BP=BQ ，在 Rt PMB 中， PB2= （ 16-2t ）2+122 ，由 PB2=BQ2得（ 16-2t ）2+122=（ 16-t ） 2，此方程無解， BPPQ 若 PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（ 16-2t ） 2+122得， t2=16 （不合題意，舍去）綜上所述，當(dāng)或時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形點(diǎn)評(píng)：本題主要考查梯形的性質(zhì)及勾股定理在解題（2）時(shí)，應(yīng)注意分情況進(jìn)行討論，防止在解題過程中出現(xiàn)漏解現(xiàn)象8.9.直線 y=-34x+6與坐標(biāo)軸分別交于A 、 B 兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、 Q 同時(shí)從 O 點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止點(diǎn)Q 沿線段 OA 運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1 個(gè)單位長度，點(diǎn)P沿路線 O? B? A運(yùn)動(dòng)（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）設(shè)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t （秒）， OPQ 的面積為S，求出 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 3）當(dāng) S= 485 時(shí)，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)O、 P、 Q 為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)M 的坐標(biāo)分析：（1）（ 2）因?yàn)槭?分 別 令 OA=8 ，OB=6秒 ， 點(diǎn)y=0，x=0，即可求出A、B，利用勾股定理可得AB=10 ，進(jìn)而可求出點(diǎn)Q 由P的速度是2，從而可的 O坐 標(biāo) ；到A的時(shí)間求 出 ，當(dāng) P 在線段 OB 上運(yùn)動(dòng)（或 0t 3）時(shí)，OQ=t ，OP=2t