均值不等式的加強(qiáng)及逆向

1、逆佝,滬禰fWyp叫2000年第17期數(shù)學(xué)通訊0 引一 3130逆佝,滬禰fWyp叫2000年第17期數(shù)學(xué)通訊逆佝,滬禰fWyp叫2000年第17期數(shù)學(xué)通訊論萃“文章編號(hào)：04H8 -7395(2000)17-(X)30-02文itf標(biāo)識(shí)瑪：A中圖分類號(hào)：O1223逆佝,滬禰fWyp叫2000年第17期數(shù)學(xué)通訊逆佝,滬禰fWyp叫2000年第17期數(shù)學(xué)通訊本文給出關(guān)于平均值幾仇的兩個(gè)新 的不等式及其等價(jià)形式，它們町看作均值不 等式的加強(qiáng)及逆向，有著許多有趣 的應(yīng)用*定理 設(shè) ea(6»0<a<6.r = I, 2,，5則有丄 工上-2a )上(1J -rt «

2、2a 2 n i=l>= I丄士(2占-工£2汀J小肝 n i = i-1即 (11 .r?)« 4fl H r=Jr= J1 n_S|A S _ (1 1n I嚴(yán) i二去丄丘亠(11 J弟(4)4d 丹=ii-(以上各式取等號(hào)的條件均為工1 =工產(chǎn)二工”證 易知，分別與(1)X2)等價(jià)、 下面用反向歸納法證明(I)式：當(dāng)n=2時(shí)(1)可比為- j 工2 尸(/“+y)2 -4“由工孔Ad知上式成立(當(dāng)且僅當(dāng)工|=工2 時(shí)取等號(hào)”設(shè)沢=2*(& WN)時(shí)(Q咸立，則旳= 2”和時(shí)有JFH 號(hào)(衛(wèi)-2J2j(yi -2a)2 + (y2-2a )2式中>r

3、)= (11= (11 工丄)以耳茂 由上面所證” =2時(shí)(1)式成立知(5)右式>(5/- 2a )2故由(5)-(7)式知當(dāng)n=2k+l時(shí)(1)式也成 立(當(dāng)且僅當(dāng)X! = x2 =七上+ 1時(shí)取等 號(hào)h設(shè)時(shí)(1)成立，即士(工廠2G決(li 斗)=2口 F (8) r = |r 若令沖=(II工,即工* = (II文示(9)| 2=則由(8),(9)兩式可得S ( xr 2a )3 + (x* - 2a )2j = iJ = I=k - 1)( II x, Fj - 2d 2 + (x* 2a)21I可見當(dāng)n = k- 時(shí)(J式也成立(當(dāng)且僅當(dāng) j(=牝二二毛_ 吋取等號(hào)).逆佝,

4、滬禰fWyp叫2000年第17期數(shù)學(xué)通訊逆佝,滬禰fWyp叫2000年第17期數(shù)學(xué)通訊收稿日期；2000-05-23作者簡介；陳勝利門94)、男.福建晉遼人、南安審五星中學(xué)高級(jí)教師,l2000年第17期數(shù)學(xué)通訊31綜上得證一同法可證(2)(略. 略作代換即可得到上述定理的如下 推論 設(shè)雞W趴i = 1，2,- 則有4/a4-耳丿云Tl J » Ii = I£-(11 x()i(io)n r = 1a - |W4 打S 一(1/ 計(jì)(11)n i = i* i當(dāng)且僅當(dāng)Q二工丄二二丘時(shí)取等號(hào)一茲舉數(shù)例說明上述不等式的若干應(yīng)用.例 1 設(shè) Xi G 1,1 ) , S Jr =

5、« 0 ,I - L刃)，試求±(T)：的最小值一F- 11 "工 丁解注意到二占號(hào)(T0崔1,于是據(jù)不等式(1)得次扁占"一1代而由均值不等式及題設(shè)有(說:宀共3 =1碼屈(1 一斗)從而知所求最小值為譏一 n a例2證明在ABU中，有Xa-(la )3b 十 c)2(12)CSa)3(Sa3-31Ia)護(hù)(13) )2S(ft - )2yS( b c2)2(14) 證 由 a + b>c , b + c >a ,c + a >6 知 a a 6tc<_Sa： a33, c3<(-ySa)3.從而由不等式(2人(4知Xa-

6、aiayl-a)2=>(10);4(-Sa)3"jSi?3- (Jla3)3 =>(遠(yuǎn)汙(為啟-31山)A2(遲涉一引屏)，即(13)式成立？而由恒等式S-E3- 3 1j = -S-r S(*)2(15)知(13)等價(jià)于(Sfl)4S(-c)2>2(Sfl2)SC&2-r2)2. 再由Za2>(Xa)2即得(14式.例3證明：在銳角ABC中，有為(方亠 c2)2 <(2Sa2)2S« 遠(yuǎn)心 一 c)2 孟 6EL 遠(yuǎn)(方(16)證在銳MABC中，有a2yb2 tc2<Z Ha 2 *從而掘不等式(4)有4(寺工巧丸*仃3)九 再由恒等式(15)及HaW(3龍/甘即知(16) 成立.最后我們指出，不等式(3)(4)還可推廣 為(應(yīng)用極限原理)如下的命題設(shè)召W a丄、0口 b