2012全國各地中考數(shù)學(xué)解析匯編(按章節(jié)考點(diǎn)整理)-第28章(精)

1、（最新最全）2012 年全國各地中考數(shù)學(xué)解析匯編（按章節(jié)考點(diǎn)整理）第二十八章 相似與位似【解析】【點(diǎn)評】本題考查了見比設(shè)份的解題方法，以及分式中的因式分解，約分等。28.2 線段的比、黃金分割與比例的性質(zhì)（2011 山東省濰坊市，題號(hào) 8,分值 3） &已知矩形 ABCD 中，AB=1,在 BC 上取一點(diǎn) E ,沿 人丘將厶 ABE 向上折疊，使 B 點(diǎn)落在 AD 上的 F 點(diǎn)，若四邊形 EFDC 與矩形 ABCD 相似，則 AD=（ ）A. 5 -1 B.5 1 C.3D.222考點(diǎn)：多邊形的相似、一元二次方程的解法解答：根據(jù)已知得四邊形 ABEF 為正方形。因?yàn)樗倪呅?EFDC 與

2、矩形 ABCD 相似AD2-AD -1 = 0,解得仁.5AD =-2點(diǎn)評：本題綜合考察了一元二次方程和多邊形的相似，綜合性強(qiáng)。28.3 相似三角形的判定圖形的28.1 圖形的相似15. （2012 北京，15, 5)已知b，求代數(shù)式=-豐035a - 2b22a 4b的值.【答案】 設(shè)a=2k,b=3k,原式=5a -2b(a 2b)(a -2b)L(a-2b)5a2ba 2b10k -6k2k 6k4k 18k 2所以 DF:EF=AB:BC 即 (AD-1) :1=1:AD 整理得:由于 AD 為正，得到 AD=5，本題正確答案是B.（2012 山東省聊城，11，3 分）如圖， ABC

3、中，點(diǎn) D、E 分別是 AB、AC 的中點(diǎn)，下列 結(jié)論不正確的是（）AE AC解析：根據(jù)三角形中位線定義與性質(zhì)可知，BC=2DE ；因 DE/BC，所以 ADE ABC ,AD : AB=AE : AC，即卩 AD : AE=AB : AC，SS.所以選項(xiàng) D 錯(cuò)誤.SBC =4SDE答案：D點(diǎn)評：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半有三角形中位線，可以得出線段倍分關(guān)系、比例關(guān)系、三角形相似、三角形面積之間關(guān)系等（2012 四川省資陽市，10 , 3 分）如圖，在 ABC 中，/ C= 90將厶 ABC 沿直線 MN 翻得對應(yīng)高相等；由 MN / AB 得厶 CMN CAB 且相似比為 1:2

4、,故兩者的面積比為 1:4, 從 而得 SCMN:S四邊形MABN=1:3，故選 C.【答案】C【點(diǎn)評】本題綜合考查了直角三角形的面積算法、翻折的性質(zhì)、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似圖形的面積比等于相似比的平方等一些類知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)豐富；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)來解決問題的能力 難度較大B. ADE s ABCC.AD ABD.折后，C 恰好落在AB 邊上的點(diǎn) D 處，已知 MN / AB, MC = 6, NC =23，則四邊形MABN 的面積是A -6.3B-12、3C18、3CMN=63，再由翻折前后CMN DMNAA.BC=2DESABC二C【解（2012 湖北隨州，14,4 分

5、）如圖，點(diǎn) D,E 分別在 AB、AC 上，且/ ABC= / AED。若 DE=4 ,AE=5 , BC=8，則 AB 的長為_。10解析：ABC= / AED，/ BAC= / EADAED s ABC ,.AEDE， DE=10AB一CB答案：10點(diǎn)評：本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)。利用兩三角形的相似比， 通過已知邊長度求解某邊長度，是常用的一種計(jì)算線段長度的方法。28.4相似三角形的性質(zhì)(2012 重慶，12, 4 分)已知 ABCADEF ABC 的周長為 3,ADEF 的周長為 1，則 ABC 與厶DEF 的面積之比為_解析：相似三角形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比

6、等于相似比的平方，故可求出答案。答案：9： 1點(diǎn)評：本題考查相似三角形的基本性質(zhì)。(2012 浙江省衢州，15, 4 分)如圖，ABCD 中，E 是 CD 的延長線上一點(diǎn)，BE 與 AD 交于點(diǎn) F, CD=2DE.若厶 DEF 的面積為 a,則口 ABCD 中的面積為 _ .(用 a 的代數(shù)式表示)【解析】根據(jù)四邊形 ABCD 是平行四邊形，利用已知得出DEFsACEB , DEF ABF , 進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)分別得出CEB、 ABF 的面積為 4a、9a,然后推出四邊形 BCDF 的面積為 8a即可.【答案】12a【點(diǎn)評】此題主要考查相似三角形的判定、性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)

7、的理解和掌握， 解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理.(2012 山東省荷澤市，16(1),6 ) (1)如圖，/ DAB= / CAE ,請你再補(bǔ)充一個(gè)條件_ ,使得 AB(SADE 并說明理由4【解析】從已知條件中可得出一組角對應(yīng)相等，要判定兩個(gè)三角形相似，可以增加另外一組對應(yīng)相等或者是這兩角的兩邊對應(yīng)成比理由：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似 -6 分【點(diǎn)評】判斷兩個(gè)三角形相似的條件中兩角對應(yīng)相等兩三角形相似比較常用，在選擇方法-定要根據(jù)題目中或圖形中所給提供的條件進(jìn)行添加（湖南株洲市 6,20 題）（本題滿分 6 分）如圖，在矩形 ABCD 中，AB=6, BC=8 沿直線

8、 MN對折，使 A、C 重合，直線 MN 交 AC 于 O.問中的相似建立比例式，構(gòu)造出OM 的方程求解.【解】（1）證明：/A 與 C 關(guān)于直線 MN 對稱.AC_MN.M COM90 在矩形 ABCD 中，MB=90.M COMMB- 1分又MACB_MACB- - 2分COISCBA - 3分(2) 丫在 Rt CBA 中, AB_6, BC_8-AC_10- -4分二 OC_5T COSACBA- - 5分POC _ OMBC AB【答案】,/D /B 或 AED .ZC- 2 分COMMB 即可，求線段的長就是利用第（1）(1 )、求證： COMsCBA；OM_5-6分【點(diǎn)評】求證兩

9、個(gè)三角形相似的方法主要是兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似、兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等，兩三角形相似及三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似，求線段的長的方法，主要是 利用三角形相似及直角三角形的勾股定理(2012 湖南婁底，25, 10 分)如圖 13,在厶 ABC 中，ABAC,/ B=30 , BQ8, D 在邊 BC 上，E 在線段 DC 上，DE=4,ADEF 是等邊三角形，邊 DF 交邊 AB 于點(diǎn) M，邊 EF 交邊 AC 于 點(diǎn) N.(1) 求證： BMDsCNE(2) 當(dāng) BD 為何值時(shí)，以 M 為圓心，以 MF 為半徑的圓與 BC 相切？(3) 設(shè) BD，五邊形 ANEDM 的面積為 y,求

10、y 與 x 之間的函數(shù)解析式(要求寫出自變量 x 的取值范圍)；當(dāng) x 為何值時(shí)，y 有最大值？并求 y 的最大值.F【解析】(1)由 AB=AC, / B=30,根據(jù)等邊對等角，可求得/ C=/ B=30,又由 DEF 是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，易求得/MDB=/ NEC=120,ZBMD= / B=/ C=/CNE=30,即可判定： BMDsCNE；(2) 首先過點(diǎn) M 作 MH 丄 BC,設(shè) BD=x，由以 M 為圓心，以 MF 為半徑的圓與 BC 相切， 可得MH=MF=4-x，由(1)可得 MD=BD，然后在 Rt DMH 中，利用正弦函數(shù)，即可求得 答案；(3) 首先求得

11、厶 ABC 的面積，繼而求得 BDM 的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，可求 得厶 BCN的面積，再利用二次函數(shù)的最值問題，即可求得答案.【答案】(1)證明：/ AB=A(C / B=/ C=30 . / DEF 是等邊三角形，/ FDE=/ FED=60 ,/MDB/NEC=120,A/BMD/B=/C=/CNE=30,BMOACNE(2)過點(diǎn) M 作 MH 丄 BC,v以 M 為圓心，以 MF 為半徑的圓與 BC 相切， MH=MF 設(shè) BD=x,vDEF 是等邊三 角形，/ FDE=60,T/B=30, / BMD/ FDE-/ B=60 -30 =30 =/ B,ADM=BD=x MH=

12、MF=DF-MD=4-x 在 Rt DMH 中, sin / MDH=sin60 =MH=4-x=応，解得：乂二花一朋,MDx2當(dāng) BD=16_8、3 時(shí)，以 M 為圓心，以 MF 為半徑的圓與 BC 相切；(3)過點(diǎn) M 作 MHL BC 于 H,過點(diǎn) A 作 Ad BC 于 K,vAB=AC - BK=1BC=1X8=4。：/ B=30,AAK=BKtan / B=4X2 23=43, SAABCBC?AK=1 X8X4 3=163，由（2）得：MD=BD=x MH=M?Sin2- BMD CNE, - - SBDM：SCE薩BD（CE）CE=, y=SABC-SCEf-SBDM=”x）2

13、反。質(zhì)= Ea 更(xw4),當(dāng)x=2 時(shí)，y 有最大值，最大值為A2T ”2)2罟8.3-3【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí). 此題綜合性較強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.(2012 重慶，12, 4 分)已知 ABCADEF ABC 的周長為 3,ADEF 的周長為 1，則 ABC 與厶DEF 的面積之比為_解析：相似三角形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方，故可求出答案。答案：9: 1點(diǎn)評：本題考查相似三角形的基本性質(zhì)。(2012浙江省衢州， 15, 4分)如圖， ABCD中， E是C

14、D的延長線上一點(diǎn)， BE與AD交 于點(diǎn)F, CD=2DE.若厶 DEF 的面積為 a,則口 ABCD 中的面積為 _ .(用 a 的代數(shù)式表示)【解析】根據(jù)四邊形 ABCD 是平行四邊形，利用已知得出DEFsACEB , DEF ABF , 進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)分別得出CEB、 ABF 的面積為 4a、9a,然后推出四邊形 BCDF 的面積為 8a即可.【答案】12a【點(diǎn)評】此題主要考查相似三角形的判定、性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握， 解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理.(2012 山東省荷澤市，16(1),6 ) (1)如圖，/ DAB= / CAE ,

15、請你再補(bǔ)充一個(gè)條件,使得AAB(SA/ MDH=3X，SA BDMTI2化工DEF是等邊三角形且24DE=4, BC=8,.EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x ,2, Sx（4x）16. 3.32- X4#（4-x）22ADE 并說明理由【解析】從已知條件中可得出一組角對應(yīng)相等，要判定兩個(gè)三角形相似，可以增加另外一組對應(yīng)相等或者是這兩角的兩邊對應(yīng)成比理由：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似 -6 分【點(diǎn)評】判斷兩個(gè)三角形相似的條件中兩角對應(yīng)相等兩三角形相似比較常用，在選擇方法-定要根據(jù)題目中或圖形中所給提供的條件進(jìn)行添加（2012 山東泰安，17, 3 分）如圖，將矩形紙片 ABCD 沿 EF

16、 折疊，使點(diǎn) B 與 CD 的中點(diǎn) 重合，若AB=2，BC=3，則 FCB與BDG 的面積之比為（A.9 : 4B.3: 2C.4： 3D.16: 9【解析】設(shè) CF=x，貝 U BF=3-x，由折疊得BF=BF=3-X,在 Rt FCB中，由由勾股定理得CF2+CB2=FB*2,x2+l2=(3-x)2,解得 x=4,由已知可證 Rt FCBSRt BDG AR 所以 SFCB與 SABDG的面積為（4:1）2=16.39【答案】D.【點(diǎn)評】本題綜合考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的面積比等于相似比的平方。（2012年四川省德陽市，第11題、3分.）如圖，點(diǎn)D是ABC

17、的邊AB的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）.以BD BF為鄰邊作平行四邊形BDEF又APBE（點(diǎn)P、E在直線AB的同側(cè)），如果1，那么PBC的面積與厶ABC面積之BD AB4【答案】,/D /B 或 AED .ZC- 2 分C比為A.14B.35C.1534【解析】連接 FP,延長 AP 交 BC 的延長線于 H,過點(diǎn) A、P 分別作AM丄BC PN丄BC，垂足 M、N. 四邊形 BDEF 是平行四邊形，EFLAD，又 APBE, E、F、P 共線，即pFjAB ABH PFH,.PNPF3,SAPBCPN3AMAB4SAABC-AM_ 4【答案】D.【點(diǎn)評】此題應(yīng)用了平

18、行四邊形， 相似三角形和三角形面積的相關(guān)知識(shí), 線是解決本題的關(guān)鍵，（2012 山東省荷澤市，18,10 ）如圖，在邊長為 1 的小正方形組成的網(wǎng)格中， AB6HADEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，Pi，P2, P3, P4, P5是厶 DEF 邊上的 5 個(gè)格點(diǎn)，請按要求完成下列各題：（1）試證明三角形 ABC 為直角三角形；（2）判斷 ABC 和 DEF 是否相似，并說明理由；（3） 畫一個(gè)三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)為中的 3 個(gè)格點(diǎn)并且與 ABC 相似；（要求：用尺規(guī)作圖， 保留痕跡，不寫作法與證明）【解析】在網(wǎng)格中借助勾股定理求 ABC 三邊的長，然后利用勾股定理的逆定理來判斷ABC的形狀【答案】解：

19、（1）根據(jù)勾股定理，得 AB=2 5，AC= .5，BC=5四邊形 APEB 是平行四邊形,EP=AB 又BD一AB EF=DB=1AB=1PF, / PF=3AB,4434能夠合理作出輔助】1題圖顯然有AB2 AC2二BC2，根據(jù)勾股定理的逆定理得 ABC 為直角三角形(1) ABC 和厶 DEF 相似.根據(jù)勾股定理，得AB=2 5， AC = 5，BC=5DE =4 2，DF =2 2，EF= 2.10B.AB _ AC _ BC _5，DEDFEFr2AB8ADEF.(3)如圖： P2P4P5.【點(diǎn)評】在網(wǎng)格中計(jì)算線段的長，勾股定理是首先的計(jì)算方法，在網(wǎng)格中證明三角形相似, 常用的方法是

20、兩邊對應(yīng)成比且夾角相等或者三邊對應(yīng)成比例(2012 安徽，22 , 12 分)如圖 1，在 ABC 中，D、E、F 分別為三邊的中點(diǎn)， G 點(diǎn)在邊AB 上, BDG 與四邊形 ACDG 的周長相等，設(shè) BC=a、AC=b、AB=c.(1) 求線段 BG 的長；解：(2) 求證：DG 平分/ EDF;證：(3) 連接 CG,如圖 2，若 BDG 與厶 DFG 相似，求證：BG 丄 CG.證：解析：已知三角形三邊中點(diǎn)連線，利用三角形中位線性質(zhì)計(jì)算證明.(1)已知 ABC 的邊長，由三角形中位線性質(zhì)知11，根據(jù) BDG 與四邊形 ACDG 周長相等，DF = b, DE = c2 2.DE/ 彳 A

21、B,DF/ 彳 AC, 丄122又 BDG 與四邊形 ACDG 周長相等/P1F/P2C/P33P4X可得BGbc. (2)由(1)的結(jié)論，利用等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)可證 ( 3)利用2兩個(gè)三角形相似，對應(yīng)角相等，從而等角對等邊, 解(1)vD、C、F 分別是ABC 三邊中點(diǎn)DAEM K ffi Im 22 ft x 2BD=DG=CD，即可證明即 BD+DG+BG=AC+CD+DG+AGBG=AC+AG/ BG=AE AG:BG=AB AC=b c2 2(2) 證明：BG=b c, FG=BG- BF=b.c FG=DF,./ FDG=Z FGD又 DE/ AB/EDG2FGD/ FDG

22、=/ EDG DG 平分/ EDF(3) 在厶 DFG 中，/ FDG=/ FGD, DFG 是等腰三角形,BDG 與厶 DFG 相似，BDG 是等腰三角形，/B=ZBGD,/. BD=DG,則 CD= BD=DG. B、CG 三點(diǎn)共圓,/BGC=90 , BGL CG點(diǎn)評：這是一道幾何綜合題，在計(jì)算證明時(shí)，根據(jù)題中已知條件，結(jié)合圖形性質(zhì)來完成后面的問題可以結(jié)合前面問題來做(2012 山東泰安，28 , 10 分)如圖，E 是矩形 ABCE 的邊 BC 上一點(diǎn)，EF 丄 AE, EF 分別交 ACCD 于點(diǎn) M F, BGLAC,垂足為 G, BG 交 AE 于點(diǎn) Ho(1) 求證： ABE

23、ECF;(2) 找出與 ABH 相似的三角形，并證明；(3) 若 E 是 BC 中點(diǎn)，BC=2AB AB=2,求 EM 的長。川 -D【解析】(1 )由四邊形 ABCD 是矩形，可得/ ABE= / ECF=90 又由 EF 丄 AE，利用同角 的余角相等，可得/ BAE= / CEF,然后利用有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可證 得：ABEECF； (2)由 BG 丄 AC ,易證得/ ABH= / ECM，又由(1)中/ BAH= / CEM ,即可證得厶 ABHECM ； (3)首先作 MR 丄 BC ,垂足為 R,由 AB : BC=MR : RC=2，/AEB=45 即可求得 M

24、R 的長，又由 EM=MR，即可求得答案.Sin 45【答案】(1)證明：四邊形 ABCD 是矩形，/ ABE= / ECF=90 / AE 丄 EF,ZAEB+/FEC=90/ AEB+/BEA=90 /./BAE=/CEF,.ABE ECF.(2)ABHs ECM .證明：TBG 丄 AC，/ABG+ / BAG=90 ABH= / ECM，由(1)知，/ BAH= / CEM ,ABH ECM. ( 3)解：作 MR 丄BC，垂足為 R,TAB=BE=EC=2 ,A AB : BC=MR:RC=2，/ AEB=45 / MER=45 CRMRMR=ERRC 乜,23EM=MR=:sin

25、45c【點(diǎn)評】考查了矩形的性質(zhì)， 直角三角形的性質(zhì)、 相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等 知識(shí)解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握“有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似” 定理的應(yīng)用.（2012 貴州銅仁，8, 4 分如圖，六邊形 ABCDEFs六邊形 GHIJKL，相似比為 2:1，則下【解析】A、六邊形 ABCDEFs六邊形 GHIJKL ,E=ZK，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、六邊形 ABCDEFs六邊形 GHIJKL，相似比為 2 : 1 , BC=2HI，故本 選項(xiàng)正確；C、：六邊形 ABCDEFs六邊形 GHIJKL，相似比為 2: 1 ,六邊形 ABCDEF 的周長=六邊形 GHIJKL

26、的周長2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、六邊形 ABCDEFs六邊形 GHIJKL，相似比為 2： 1 , S六邊形ABCDEF=4S六邊形GHIJKL, 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.【解答】B.【點(diǎn)評】本題考查相似圖形的性質(zhì)兩個(gè)圖形相似，對應(yīng)角相等，邊長的比和周長的比都等 于相似比，面積比等于相似比的平方 解答此題應(yīng)注意相似圖形邊長的比、周長的比、面積 比與相似比之間的關(guān)系.A. 1 : 2B. 2 : 3A. / E=2 / KB. BC=2HIC.六邊形 ABCDEF 的周長=六達(dá)GHIJKL 的周長D.S六邊形 ABCDEF=2S六邊形 GHIJK（2012 陜西 5, 3 分）如圖，在ABC 中，AD,BE是

27、兩條中線，則SEDC: SABC()C. 1 : 3D. 1 : 4【解析】由題意可ED為:ABC的中位線，則 CEDsCAB列結(jié)論正確的是（）D8 題圖KH【答案】D【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的中線的定義、中位線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等難度中等（2012 湖北咸寧， 6， 3 分） 如圖， 正方形 心，相似比為 1 :2，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（1,廠A D（第 6 題）A.（.2，0）B.（3，3）C. （.2，、,2）D. （2, 2）2 2【解析】由已知得， E 點(diǎn)的坐標(biāo)就是點(diǎn)A 坐標(biāo)的._2 倍.【答案】C【點(diǎn)評】本題著重考查了位似圖形的坐標(biāo)特點(diǎn)，注意本題是冋向位似.（2012 山東日

28、照，8,3 分）在菱形 ABCD 中，E 是 BC 邊上的點(diǎn)，連接 AE 交 BD 于點(diǎn) F,若 EC=2BE,則BF的值是（）FDA.DkFB 1ECA.1B.1c.12345解析：如圖，由菱形ABCD 得 AD/ BE,，所以 BEF ADF,又由 EC=2BE,得 AD=BC=BE,故BF=BE=1FD AD 3解答：選 B .點(diǎn)評：本題主要考查了棱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)， 正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.SE DC: SABCED）2AB）1，故選 D.詔）2=1：4OABC 與正方形 ODEF 是位似圖形,0）,貝 U E 點(diǎn)的坐標(biāo)為（）.O 為位似中（2012 湖南省張家界市1

29、0 題 3 分）已知 ABC與DEF相似且面積比為 4 ： 25 ,貝VABC與DEF的相似比為 _【分析】相似三角形相似比等于面積比的算術(shù)平方根【解答ABC與DEF的相似比為4=2.255【點(diǎn)評】相似三角形面積比等于相似比的平方（2012 山東省濱州，18, 4 分）如圖，銳角三角形 ABC 的邊 AB , AC 上的高線 CE 和 BF相交于點(diǎn) D，請寫出圖中的兩對相似三角形： _（用相似符號(hào)連接）【解析】（1）由于/ BDE= / CDF / BED= / CFD=90 ，可得 BDECDF。由于/ A=/ A，/ AFB= / AEC=90。，可得厶 ABF ACE。解：（1 ）在厶

30、BDE 和厶 CDF 中/ BDE= / CDF / BED= / CFD=90 ,二厶 BDE CDF .（2）在厶 ABF 和厶 ACE 中，/ A= / A，/ AFB= / AEC=90 ,二厶 ABF ACE .【答案】BDE CDF , ABF ACE【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定方法.三角形相似的判定方法有，AA , AAS、ASA、SAS 等.（2012 貴州黔西南州，17, 3 分）如圖 5，在梯形 ABCD 中，AD/ BC,對角線 AC、BD 相交于點(diǎn) O,若 AD=1, BC=3, AOD 的面積為 3,則厶 BOC 的面積為 _.【解析】 由題意知 AD/BC,所以

31、/ OAD=ZOCB,/ ODA=ZOBC,所以 OAAOCB.又AD=1, BC=3,所以 OAD 與厶 OCB 的相似比為 1:3，面積之比為 1:9，而 AOD 的面積為 3, 所以 BOC 的面積為 27.【答案】27.【點(diǎn)評】理解相似三角形的相似比與周長比、面積比之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵.(2012貴州遵義，7,3分)如圖，在ABC 中，EF/ BC , | = - , S四邊形BCFE=8 ,則 SABC=EB 2解：-=-,EB 2.7=.，AB 1+2 3/ EF / BC, AEF s ABC ,解析：求出，1 的值，推出 AEFABC ,得出=-，把S四邊形BCFE=8

32、 代入求出即電AAEF AB77- 9AABC9 B.10 C.12 D.13可.%AEFSAA0C 9SAEF=SABC，TS四邊形BCFE=8,9(SAABC_8)=SAABC， 解得：SABC=9 .故選 A.答案：A點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用, 比的平方，題型較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目.注意：相似三角形的面積比等于相似(2012 湖北省恩施市，題號(hào) 20 分值 8 )如圖 8，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方形紙 片 ABCD先折出 BC 的中點(diǎn) E,再折出線段 AE,然后通過折疊使 EB 落在線段 EA 上，折出點(diǎn) B 的新位置 B1,因而 EB=EBo 類似的

33、，在 AB 上折出點(diǎn) B11使 AB11=AB。這是 B11就是 AB 的黃 金分割點(diǎn)。請你證明這個(gè)結(jié)論?！窘馕觥吭O(shè) BE=1，可知 BC=AB=2 AE=J5，由 EB=EB 得AB1=AB=J5-1,根據(jù)黃金分割意義AB1：AB=( 0)與 x 軸相交m于點(diǎn) B C,與 y 軸相交于點(diǎn) E,且點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè).(1) 若拋物線 C 過點(diǎn) M(2, 2)，求實(shí)數(shù) m 的值.(2) 在 的條件下，求 BCE 的面積.(3) 在 的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)H,使 BH+EH 最小，并求出點(diǎn) H 的坐標(biāo).(4) 在第四象限內(nèi)， 拋物線 C1 上是否存在點(diǎn) F,使得以點(diǎn) B、 C、

34、F 為頂點(diǎn)的三角與厶 BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，請說明理由./DEC=ZBCEBCECDE,BC=CE，/ x+2 0 x=m+2, F ( m+22(m+4 )，EC=Jm2+4， BC=m+2 ,【解析】(1)把 M(2, 2)代入 y=-1(x+2)(x-m)即可求出 m；( 2)求出 B、C、E 三點(diǎn)坐標(biāo)m即可求出 SxBCE；(3)利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”和軸對稱的性質(zhì)可探索解題思路；(4)分兩種情況來探討解題過程，最后利用相似三角形的性質(zhì)和方程思想來解決問題【答案】解：(1 )依題意把 M(2,2)代入 y二1(x+2)(x-m)得：2=-1(2+2)(2-m

35、)，解得 m=4.mm(2)由 y=0 得：-1(x+2)(x-4)=0 得 x1=-2 , X2=4/B (-2 , 0) C (4, 0).4由 x=0 得：y=2/E (0, 2)/SA BC=BCOE=x6X2=6.2 2(3) 當(dāng) m=4 時(shí)，C1的對稱軸為 x=1X(-2+4) =1，點(diǎn) B、C 關(guān)于直線 x=1 對稱連2EC 交對稱軸于點(diǎn) H，貝 U H 點(diǎn)使得 BH+EH 最小設(shè)直線 EC 的解析式為 y=kx+b ,把 E (0, 2)、C (4, 0)代入得 y=-x+2，把 x=1 代入得 H (1,3)2(4)分兩種情況：當(dāng)BE3ABCF 時(shí)，則/ EBC=ZCBF=4

36、5,BEBCBC BF即 BC2_ BE BF，作 FT 丄 x 軸于點(diǎn) T,.可設(shè) F (x, -x-2 )(x0),則-x-2=-1(x+2)(x-m)/x+2 0 x=2m, F (2m, -2m -2 ).m.m 22=2V2、2m 1解得m=2_2邁，又m0,Am=2 22.當(dāng) BE8 FCB 時(shí)，貝 UBCEC，/ EBC=Z CFB, BTFs COEBF BCTF OEBT OC可設(shè) F (x, -2(x+2 ) ( x 0),yt-、匚TJ*0尸BF=222m 2 i亠2m -2=2邁mBE=2、2BC=m+2 .2(x+2) =-1(x+2)(x-m)【點(diǎn)評】本題綜合考查了

37、二次函數(shù)性質(zhì)、軸對稱性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)等知識(shí)，但解題的 關(guān)鍵要充分運(yùn)用方程思想和分類思想，同時(shí)解題過程中大量的數(shù)學(xué)計(jì)算和代數(shù)式 變形也是不小的考驗(yàn).難度較大.(2012 河南，22，10 分)類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng) 常用到，如下是一個(gè)案例，請補(bǔ)充完整原題：如圖 1,在DABCD 中，點(diǎn) E 是 BC 邊上的中點(diǎn)，點(diǎn) F 是線段 AE 上一點(diǎn)，BF 的延長線交射線 CD 于點(diǎn) G，若AF，求CD的值.3EFCG(2)類比延伸式表示)，試寫出解答過程(3)拓展遷移如圖 3，梯形 ABCD 中，DC / AB，點(diǎn) E 是 BC 延長線上一點(diǎn)，AE 和 BD 相交于

38、點(diǎn) F，若AB BC，貝V AF的值是_ (用含a b的代數(shù)式a, b(a 0,b0)CD BEEF表示)整理得 0=16，顯然不成立綜上：在第四象限內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)BCE 相 似，F(xiàn),使得以點(diǎn) B、C F 為頂點(diǎn)的三角與厶(1)嘗試探究在圖 1 中，過點(diǎn)H，貝 U AB 和 EH 的數(shù)量關(guān)系,CG 和 EH 的數(shù)量關(guān)系是,CD的值是CG如圖 2,在原題的條件下，若AFEF則CD的值是二m(m一0) CG(用含m的代數(shù)2E 作EH/AB交BG于點(diǎn)/ x+2 0 x=m+2, F ( m+22(m+4 )，EC=Jm2+4， BC=m+2 ,解析：(“如圖 h 利用EH / AB得厶 EHFS

39、ABF 對應(yīng)邊成比例得 AB=3EH，然后利用中位線定理得 CG=2EH，又TCD=AB ,得出 CD 與 CG 的關(guān)系；(2) 與(1)方法道理都相同；(3) 此問是(1 )、(2)類比、拓展延伸，根據(jù)前面問題研究方法，要利用所給條件3AB =3EH ;CG =2EH;2AB BCCD_a,BE，所以添加如圖= b(a 0,b0)3，過點(diǎn) E 作EH/ AB 交 BD 的延長線于點(diǎn)H，則有BCBECD,AFAB，兩式相比就可得出EHEF-EHAFEFab缶3作EH/ AB 交 BG 于點(diǎn) H，則 EHFsAABFEH/ AB / CD , BEH BCG CG=2EHEH BEABEHAFE

40、F二 m, AB 二mEH/ AB=CD ,- CD 二 mEHCGCD mEH _mCG一2EH一2.（3）ab點(diǎn)評：這是一道幾何綜合題，利用平行線截三角形相似，對應(yīng)線段成比例，關(guān)鍵是研究問題的方法，類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方的滲透，這類題的一層一層推進(jìn)，但方法 總是類似的，原理是一樣的（1）如圖 1 點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn)，在線段 AC 上取點(diǎn) 比使厶 AMN 與厶 ABC 相似，求線段 MN 的長；（2）如圖 2,是由 100 個(gè)邊長為 1 的小正方形組成的 10X10 正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形，請你在所給的網(wǎng)格中畫出格點(diǎn) A1B1C1,使得 A1

41、B1C1與厶 ABC 全等（畫出一個(gè)即可，不需證明）試直接寫出在所給的網(wǎng)格中與 ABC 相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)，并畫出其中 的一個(gè)（不需證明）解析： 1、當(dāng)厶 AMNABC 時(shí)，易證 MN 為中位線，MN=1=3,-BC，2（2012 湖北武漢,24, 10 分）已知 ABC 中，AB = 25, AC = 45,BC = 6當(dāng)厶 AMNsACB 時(shí)，有人抽MN根據(jù) AM,AC,BC 的值，可求出 MN。AC BC2從整數(shù)邊 BC 出發(fā)，選定 BC,然后分別過 B、C 作邊 2、5、45長即可,關(guān)鍵在于怎樣在格點(diǎn)中找到面積最大的相似三角形，可考慮在格點(diǎn)中先畫出最長的三 角形最長邊（A

42、C 的對應(yīng)邊）一正方形對角線，從而找到最大三角形。解：1、如圖，當(dāng) AMN ACB 時(shí)，有AMMNAC BC（2012 山東日照，21, 9 分）如圖，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 上的一點(diǎn)，連結(jié) AE,作BF 丄 AE，垂足為 H,交 CD 于 F,作 CG / AE,交 BF 于 G.（1）求證 CG=BH; M 為 AB 中點(diǎn)，AB=2c5AM=5 BC=6 AC=45MN=32當(dāng)厶 AMN ABC 時(shí)，有/ ANMMC,.NMMA=丄BC一BA 2MN=I=3丄BC2.MN 的長為3或 322、（1）如圖 3 （答案不唯一）（2） 8 個(gè)，如圖 4 （答案不唯一）情況討論，學(xué)生

43、容易忽略；（2）問難度在于怎樣找到相似三角形中面積最大的以及找 出所有這樣的三角形的個(gè)數(shù)，解題時(shí)關(guān)鍵在于找到網(wǎng)格中的最長線段，讓它與三角形 最長邊對應(yīng)。題目難度較大。R2(2)FC =BF GF;FC2=GFAB2GB解析： 可證ABHABCG證CFGPBFC可得；(3)先證 BCGBFC得2BC =BF BG,結(jié)合 AB= BC 可得.證明： (1)vBF丄AE CG/ AE CGL BF CG BF在正方形 ABCD 中，/ ABH+ / CBG=90, / CBG+ / BCG=90,/ BAH+ / ABH =90o,/ BAH= / CBG, / ABH= / BCG,AB=BC,A

44、BHABCGCG=BH(2)/ BFC= / CFG, / BCF= / CGF=90o,CFG BFCFC GF,BF FC即FC2=BF- GF(3)由(2)可知，BC=BGBF,/ AB=BCA4BG，BFFC2=FG * BF=FGBC2BG * BF BG即FC2=GFAB2GB2點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）（2012， 黔東南州， 21） 如圖， OO 是厶 ABC 的外接圓, 線交 AC 的延長線于點(diǎn)Do（1）求證： AB3ABDC（2 ）若 AC=8 BC=6 求厶 BDC 的

45、面積。解析：第（1）小題要證三角形相似，由題意只需證兩角 相等即可的長，這樣就可以求出 BDC 的面積.解：證明：；AB 是圓 O 的直徑,ACB =90 -BD 是圓 O 的切線,ABD =90，A ABC =90 , ABC CBD =90 A CBD.又ACB DCB =90；.AB3ABDC.(2) AB3ABDC,ACBC CD9 -AC =8, BC =6, CD 二2119SBDCBC CD 6 -222點(diǎn)評：本題以基本圖形：三角形與圓相結(jié)合為背景，綜合考察了相似三角形的判定與性質(zhì)、的條件圓心 O 在 AB 上，過點(diǎn) B 作OO 的切第（2）小題要利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出

46、CD27勾股定理、直角三角形的面積計(jì)算等知識(shí)，是一道比較簡單的題目，能讓學(xué)生發(fā)揮自己的思維水平，難度較小.(2012 四川宜賓，24, 12 分)如圖，在 ABC 中，已知 AB=AC=5BC=6 且厶 ABC DEF將厶 ABC 重合在一起， ABC 不動(dòng)， DEF 運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn) E 在邊 BC 上沿 B到 C 的方向運(yùn)動(dòng)，且 DE 始終經(jīng)過點(diǎn) A,EF 與 AC 交于 M 點(diǎn)。(1)求證： AB0AECM;(2)探究：在厶 DEF 運(yùn)動(dòng)過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出 BE的長；若不能，請說明理由；(3)當(dāng)線段 AM 最短時(shí)，求重疊部分的面積。DBEC【解析】(1 )由

47、AB=AC，根據(jù)等邊對等角，可得/ B= / C，又由ABC 7 DEF 與三角形 外角的性質(zhì)，易證得/ CEM= / BAE，則可證得：ABE ECM ;(2) 首先由/ AEF= / B= / C，且/ AME / C，可得 AE 祺 M，然后分別從 AE=EM 與 AM=EM 去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；(3)首先設(shè) BE=x，由ABEECM，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得CM=-.:+ x= - - (x - 3)2+ .,，繼而求得 AM 的值，禾 U 用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段AM的最小值，繼而求得重疊部分的面積.【答案】(1)證明：AB=

48、AC/ B=ZC,又/AEF+ZCEMMAEC2B+ZBAE又厶 ABCADEF/-ZAEFZB,Z CEMZBAE,ABEAECM(2)解：TZAEFZB=ZC,且ZAMZCZAMZAEF；. AEMAM 當(dāng) AE=EIM 寸，貝 ABEECM CE=AB=5 BE=BC-EC=1當(dāng) AM=E 刪，MAEZMEAZMAEZBAEZMEAZCEM即ZCABZCAE又TZC=ZC,CAEACBA,.，.CEACAC CBCE=AC2_ 25，BE=6-25=1jCB 666(3)解：設(shè) BE=x 又AB0AECM二CM CE，二CM 6_x二CM=126=1+9又當(dāng) BE=x=3=1，點(diǎn) C 為

49、 BC 的中點(diǎn),BC2iz -v【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、 全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最 值問題.此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用是解此題的關(guān) 鍵.本小題也可以用幾何法求解。(2012 年廣西玉林市，10, 3)如圖，正方形 ABCD 的兩邊 BC AB 分別在平面直角坐標(biāo)系內(nèi) 的 x 軸、y軸的正半軸上，正方形 A B C D與正方形 ABCD 是以 AC 的中點(diǎn) 0為中心的 位似圖形，已知 AC=3 2，若點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1 ,2),則正方形 A B C D 與正方形 ABCD分析：延長 A B交 BC 于點(diǎn) E,根據(jù)大正方形的對角線長

50、求得其邊長，然后求得小正方形的邊長后即可求兩個(gè)正方形的相似比.解：在正萬形 ABCD, AC=3?2 BC=AB=3 延長 A B交 BC 于點(diǎn) E, 點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1 , 2),：OE=1, EC=A E=3-1=2,BE 一 AB_x+x (x 3)x55555:AM=5-CM=5-12+9=12+16，:當(dāng)x=3時(shí)，AM最短為16,_(x32_(x3) 一55555AEBC,：AE=AB2_BE2=4此時(shí),EFIAC,：EM=CE2_CM212，5B.正方形 A B C D的邊長為 1,正方形 A B C D與正方形 ABCD 勺相似比是1.故選 B.3點(diǎn)評：本題考查了位似變換和坐標(biāo)與

51、圖形的變化的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求得兩個(gè)正方形的邊長.(2012 年吉林省，第 25 題、10 分.)如圖，在 ABC 中, /A=90, AB=2cm,AC=4cm,動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)， 沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)， 動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 同時(shí) 出發(fā)，沿 BA 方向以 1cm/s 的速度向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) B 時(shí)，P, Q 兩點(diǎn)同 時(shí)停止運(yùn)動(dòng).以 AP 為一邊向上作正方形 APDE 過點(diǎn) Q 作 QF/ BC,交 AC 于點(diǎn) F. 設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t s,正方形 APDE 和梯形 BCFQt 合部分的面積為 Scn2.(1) 當(dāng) t

52、=_ s 時(shí)，點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 重合；(2) 當(dāng) t=_s 時(shí)，點(diǎn) D 在 QF 上;(3) 當(dāng)點(diǎn) P 在 Q, B 兩點(diǎn)之間(不包括 Q, B 兩點(diǎn))時(shí)，求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)125 ft【解析】(1)由于 P, Q 的運(yùn)動(dòng)速度相同都是 1cm/s，所以 P, Q 重合的點(diǎn)是 AB 的 中占I八、(2)由 QF| BC 可證 AQFAABC 得出比例式，問題得證.s(2)要分兩種情況：當(dāng)4時(shí)，重合部分的圖形是直角梯形.確定上下1 t 3底和高.需證 FE3AFAQP AQSAABC.當(dāng)4時(shí)，重合部分的圖形是六邊形.它的面積- t 23S = S正方形APDE- SAAQF-SDHG【答

53、案】(1)vP, Q 的運(yùn)動(dòng)速度都是 1cm/s, P, Q 在 AB 的中點(diǎn)重合.當(dāng) t=1s 時(shí)，P, Q 重合.(2)TQF| AC4AQ FAEG _ 4-3t2 -t一2(2 -t)EG=3t 2235GD=t-(t 2)=t -222QP=AP-AQS=9t2-2tAF AQ AB即AF 2 t4= 2 AF=4-2t又 DP| AF-DPPQAFAQ2 -2t4 2t2 tt =45(3)當(dāng)1vt4-時(shí)，如圖 1、圖 2. FQ|BCAF AQAC AB即 AF=4-2t, EF=4-3t又 DE| ABEGFEPG=4-2t, DG=t-(4-2t)=3t-4 -S = S =

54、 S正方形APDE- SAAQF- SDHG21213t-2(2-t)一 2一吋2)【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)， 利用分類討論思想進(jìn)行分析即可得出答案是解題關(guān)鍵.（2012 陜西 18， 6 分）如圖，在L ABCD中，/ABC的平分線BF分別與AC、AD交于當(dāng)4-tv2時(shí)，由 AFQAABC 得,竺AF=4-2x.AC AB1= 2(4-2t)(2-t)= (2-t)2& AQF同理由 CEHTACBA 可得 EH=1-1t23,HD=22； BP3ABAC 得C圖 1C圖3點(diǎn)E、F-（1）求證：AB=AF；（2）當(dāng)AB =3, BC =5時(shí)，求AE的值.AC【解析】（1）由等角對等邊來進(jìn)行證明；（2）由厶AEFscEB先求出AE，再求AEECAC【答案】解：（如圖，在L ABCD中，AD/BC，.2 =/3-TBF是乙ABC的平分線, . 1 2 - . 1=/3 - AB =AF-（2）：AEF CEB,2 3,AEFCEB，AE AF 3?EC - BC_5AE 3-AC 8【點(diǎn)評】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等角對等邊、相似三角形的性質(zhì)等難度中等（2012 陜西 25, 12 分）如圖，正三角形ABC的邊長